Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференциальное исчисление функции однойСтр 1 из 2Следующая ⇒
Дифференциальное исчисление функции одной Действительной переменной
Тема № 1. Производная функции
Определение производной
Пусть функция определена на интервале . Выполним следующие действия: - произвольной точке с координатой придадим приращения , получим точку ; - вычислим значения функции в этих точках, и найдем соответствующее приращение функции, т.е. (см. рис); - составим отношение и найдем его предел при .
О
Рисунок 1
Определение производной. Если существует предел отношения (приращения функции к приращению аргумента ), когда то его называют производной функции в точке и обозначают , , , , , , , т.е.
.
Операцию нахождения производной называют дифференцированием, а функцию, имеющую производную - дифференцируемой. Нижний индекс 0 выбран для удобства. Как очевидно, эта формула имеет место для любой точки из области определения функции. Значение производной в точке обозначают: , , , . Операцию нахождения производной по определению называют непосредственным дифференцированием. На основании определения найдем производные от некоторых основных элементарных функций. Начнем со степенных функций. Примеры. Найти производные функций по определению. 1. . Решение. Какую бы точку мы не взяли и какое бы приращение не предавали, приращение функции всегда будет равно нулю, т.е. , следовательно . Говорят, производная от константы равна нулю. 2. . Решение. Функция определена на всей оси. Возьмем произвольную точку и , где приращение аргумента. Найдем приращение функции . Составим отношение , и найдем его предел когда , получаем , т.е. . 3. . Решение. Функция определена на всей оси. Возьмем произвольную точку и , где приращение аргумента. Найдем приращение функции . Найдем предел отношения , когда . Индекс 0 выбран для удобства, опуская его, можем записать . 4. . Решение. Функция определена на всей оси. Возьмем произвольную точку и , где приращение аргумента. Найдем приращение функции Найдем предел отношения , когда . Опуская индекс 0, можем записать . 4. Продолжая увеличивать натуральную степень , с использованием формулы бинома Ньютона для нахождения приращения функции , находя предел отношения когда , получим формулу для нахождения производной от степенной функции в общем виде
. Таким образом, . Данная формула остается справедливой для дробных и отрицательных степеней и в общем случае для любого действительного . Например. 1) . 2) . Говорят, производная от корня квадратного равна дроби единица разделить на два таких корня.
5. . Решение. Функция определена на всей оси. Возьмем произвольную точку и . Найдем приращение функции Найдем предел отношения , когда Здесь для раскрытия неопределенности мы воспользовались эквивалентностью бесконечно малых функций, а именно , при , или, что очевидно первым замечательным пределом . Таким образом, получили .
5. . Получить самостоятельно по аналогии.
6. . Решение. Функция определена на всей оси. Возьмем произвольную точку , придадим приращение аргументу , получим точку и найдем приращение функции Найдем предел отношения , когда . Здесь для раскрытия неопределенности мы воспользовались эквивалентностью бесконечно малых функций, а именно , при , или вариантом первого замечательного предела, а именно . Опуская индекс 0, можем записать . Говорят, производная от экспоненты равна этой же экспоненте.
7. . Решение. Функция определена на полуоси . Возьмем произвольную точку , придадим приращение аргументу , получим точку , найдем приращение функции . Найдем предел отношения , когда . Здесь для раскрытия неопределенности мы воспользовались эквивалентностью бесконечно малых функций, а именно , при . Опуская индекс 0, можем записать . Прервемся пока на процедуре нахождения производной от основных элементарных функций по определению. Рассмотрим в чем состоит геометрический, механический и общефизический смысл производной, изучим свойства производной, которые называют правилами дифференцирования, определим производную от сложной и обратной функций и затем вернемся к нахождению производных от оставшихся основных элементарных функций которые занесем в таблицу и выучим наизусть.
Производная сложной функции
Сложная функция это функция от функции (суперпозиция функций), например
, т.е. , а . Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную по которая находится по формуле . Дифференциальное исчисление функции одной Действительной переменной
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-09; просмотров: 416; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.41.187 (0.024 с.) |