Краткие сведения о функциях Уолша. Свойства функций Уолша.

Существуют различные способы задания ФУ. Наиболее часто используются способы задания их через другие функции – функции Родемахера:

Эта функция принимает значение ±1. Функции Родемахераортонормированны:

Но они несимметричны и через них вводят ФУ, свободные от этих недостатков.

; W - порядок ФУ

w_i – i-тый разряд номера W в двоичной системе счисления

W=6, n=3,

Эти вычисления можно представить в виде таблицы.

θ   θ   θ   θ   θ   θ   θ   θ

W W0 W1 W2 W3 τ1(θ) τ2(θ) τ3(θ)             τ1^0τ2^0 τ3^0 τ1^1τ2^0 τ3^0 τ1^1τ2^0 τ3^0 τ1^0τ2^1 τ3^0 τ1^0τ2^1 τ3^1 τ1^1τ2^1 τ3^1 τ1^1τ2^0 τ3^1 τ1^0τ2^0 τ3^1 wal(0,θ) wal(1,θ) wal(2,θ) wal(3,θ) wal(4,θ) wal(5,θ) wal(6,θ) wal(7,θ)

Свойства функций Уолша:

1) функция ортонормированна на интервале от 0 до 1:

2) свойство мультипликативности: перемножение ФУ дает ФУ:

3) ФУ могут служить ортогональным базисом для негармонического спектрального представления сигналов.

Способы нумерации функций Уолша. Генерирование функций Уолша.

Способ нумерации называется упорядочиванием. Различают ФУ, упорядоченные по Уолшу, Адамару и Пэли. В любом из этих способов количество функций остается неизменным N=2ⁿ и отличаются они только правилом определения степеней функций Родемахера. Также используется способ, основанный на матрице Адамара. Матрица Адамара – квадратичная матрица порядка N→H_N такая, что . Все эти матрицы можно вычислять рекуррентным способом:

;

Используя эти матрицы функции Адамара определяют так: ФА определяется последовательностью прямоугольных импульсов, длительность которых 1/N, амплитуда равна 1, а полярность соответствует элементу матрицы Адамара.

На практике используется ограниченное число базисных функций, при этом при разложении в ряд только часть коэффициентов отлично от 0, поэтому стараются выбирать такой способ нумерации ФУ, который обеспечивает монотонное уменьшение коэффициентов фильтра. Это необходимо, чтобы уменьшить объем хранимой и передаваемой информации.

Генерирование ФУ

Это необходимо при восстановлении сигналов, т.к. каждый алгоритм восстановления можно представить в виде устройства. Работа схемы основана на первоначальной формуле:

n=3, ГМ – генератор меандра

wal(0,θ)   wal(1,θ)     wal(2,θ)     wal(3,θ)     wal(4,θ)     wal(5,θ)

+E/2

+E/2

τ3(θ)+E/2τ2(θ)+E/2τ1(θ)+E/2

ГМ

Тр

Тр

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

Все функции смещены вверх по уровню на E/2. Указанные функции Родемахера соответствуют смещенным ФУ 1,3 и 7 порядка. Смещение их вниз на E/2 осуществляется с помощью операционных усилителей. Остальные ФУ получаются с помощью сумматора по модулю 2 с инверсией.

Таблица истинности.

x
y
вых

Выходной результат получается обратным смещением.