Расчет токов по правилам Кирхгофа

Полученные уравнения объединяем в систему уравнений. Количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных. Далее решаем систему уравнений любым известным способом.

Правильность расчета проверяется составлением уравнения баланса мощностей.

p.s. Правила Кирхгофа необязательно использовать в виде систем уравнений. Они справедливы для любого узла и для любого замкнутого контура электрической цепи.

Рассмотрим пример составления уравнений по законам Кирхгофа для разветвленной электрической цепи постоянного тока. Для данной электрической цепи необходимо рассчитать токи в каждой ветви. Для расчета токов будет пользоваться законами Кирхгофа.

Составляем уравнения по первому закону кирхгофа. Согласно алгоритма задаемся направлением токов в ветвях электрической схемы.

Количество уравнений равно количеству узлов минус один. У нас в схеме два узла. Значит будет одно уравнение. Т.к. все токи втекают в узел, то берем их с одним знаком, например плюс. В результате уравнение по первому закону будет таким.

I1+I2+I3=0

Составим уравнения по второму правилу Кирхгофа. По алгоритму необходимо задаться обходом независимых контуров.

В электрической цепи три контура. Контура обозначены стрелочками.

Из них только любые два являются независимыми контурами.

Для каждого независимого контура составляем уравнение по второму закону Кирхгофа.

 

-I1*R1+I2*R2= -E1

-I2*R2+I3*R3= -E2

В первом уравнении перед током I1 поставлен минус, т.к. направление обхода первого (слева) контура не совпадает с направление протекающего тока I1.

Перед током I2 в первом уравнении поставлен плюс, т.к. направление обхода первого контура совпадает с направление протекающего тока I2.

Перед ЭДС 1 поставлен минус, т.к. направление действия ЭДС 1 не совпадает с направление обхода первого контура.

Во втором уравнении перед током I2 поставлен минус, т.к. направление обхода второго контура не совпадает с направление протекающего тока I2.

Перед током I3 во втором уравнении поставлен плюс, т.к. направление обхода второго контура совпадает с направление протекающего тока I3.

Перед ЭДС 2 поставлен минус, т.к. направление действия ЭДС 2 не совпадает с направление обхода второго контура.

Выполняем объединение уравнений в систему. Решаем систему уравнений с тремя неизвестными I1, I2, I3 любым известным способом.

I1+I2+I3=0

-I1*R1+I2*R2= -E1

-I2*R2+I3*R3= -E2

 

Контрольные задания

Задача № 1
Расчет разветвленной цепи постоянного тока
с одним источником питания

Определить эквивалентное сопротивление электрической цепи постоянного тока (рис. 1, а) и распределение токов по ветвям. Вариант электрической цепи (включая ее участок 1–2 (рис. 1.1, б – и), ограниченный на схеме рис. 1.1, а пунктиром), положение выключателей В₁ и В₂ в схемах, величины сопротивлений резисторов … и питающего напряжения U для каждого из вариантов задания представлены в табл. 1.1.

 

а	б   в   г
д е
ж и

 

Рис. 1.1. Варианты электрической цепи к задаче № 1

 

Таблица 1.1

Исходные данные к задаче № 1

Вариант

Величины

Положение выключателей

Схема участка, ограниченного пунктиром

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

U, В

В1

В2

–

Рис. 1.1, а

–

Рис. 1.1, а

–

Рис. 1.1, а

–

Рис. 1.1, б

–

Рис. 1.1, б

–

Рис. 1.1, б

–

Рис. 1.1, в

–

Рис. 1.1, в

–

Рис. 1.1, в

Рис. 1.1, д

Рис. 1.1, д

Рис. 1.1, д

–

Рис. 1.1, ж

Рис. 1.1, д

–

Рис. 1.1, г

–

Рис. 1.1, г

–

Рис. 1.1, г

–

Рис. 1.1, е

–

Рис. 1.1, е

–

Рис. 1.1, е

–

Рис. 1.1, ж

–

Рис. 1.1, ж

–

Рис. 1.1, и

–

Рис. 1.1, и

–

Рис. 1.1, и

 

Неразветвленная электрическая цепь характеризуется тем, что на всех ее участках протекает один и тот же ток, а разветвленная содержит одну или несколько узловых точек, при этом на участках цепи протекают разные токи.

При расчете неразветвленных и разветвленных линейных электрических цепей постоянного тока могут быть использованы различные методы, выбор которых зависит от вида электрической цепи.

При расчетах сложных электрических цепей во многих случаях целесообразно производить их упрощение путем свертывания, заменяя отдельные участки цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями сопротивлений одним эквивалентным сопротивлением с помощью метода эквивалентных преобразований (метода трансфигураций) электрических цепей.

Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивлений (рис. 1.2) заменяется при этом цепью с одним эквивалентным сопротивлением (рис. 1.3), равным сумме всех сопротивлений цепи:

 

,

 

где – сопротивления отдельных участков цепи.

 

Рис. 1.2. Последовательное соединение сопротивлений	Рис. 1.3. Эквивалентная схема замещения

 

При этом ток I в электрической цепи сохраняет неизменным свое значение, все сопротивления обтекаются одним и тем же током. Напряжения (падения напряжения) на сопротивлениях при их последовательном соединении распределяются пропорционально сопротивлениям отдельных участков:

 

.

 

При параллельном соединении сопротивлений все сопротивления находятся под одним и тем же напряжением U (рис. 1.4). Электрическую цепь, состоящую из параллельно соединенных сопротивлений, целесообразно заменить цепью с эквивалентным сопротивлением , которое определяется из выражения

,

где – сумма величин, обратных сопротивлениям участков параллельных ветвей электрической цепи (сумма проводимостей ветвей цепи); – сопротивление параллельного участка цепи; – эквивалентная проводимость параллельного участка цепи, ; n – число параллельных ветвей цепи.

При параллельном соединении двух сопротивлений и эквивалентное сопротивление , а токи распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям, при этом .

Рис. 1.4. Параллельное
соединение сопротивлений

 

При смешанном соединении сопротивлений (рис. 1.5), т. е. при наличии участков электрической цепи с последовательным и параллельным соединением сопротивлений, эквивалентное сопротивление цепи определяется в соответствии с выражением

 

; .

Рис. 1.5. Смешанное

 

соединение сопротивлений

Задача № 2
РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
МЕТОДОМ ЗАКОНОВ КИРХГОФА

Для электрической цепи постоянного тока (рис. 2.1), используя данные, приведенные в табл. 2.1, определить токи … в ветвях резисторов … методом уравнений Кирхгофа, режимы работы источников питания, составить баланс мощностей. Эдс и напряжения источников, сопротивления резисторов и положение выключателей для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 2.1. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

 

Рис. 2.1. Сложная электрическая цепь постоянного тока

 

Ход решения задачи

 

В любой электрической цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма токов, направленных к узлу разветвления, равна нулю: , где I_k – ток k-й ветви.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма эдс в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре:

 

,

 

где – сопротивление участка цепи рассматриваемого контура; – ток в цепи сопротивления .

Метод уравнений Кирхгофа сводится к решению системы уравнений, количество которых равно числу неизвестных токов.

Исходные данные к задаче № 2

Таблица 2.1.

Вариант

Величины

Замкнутые выключатели

, В

, В

, В

, В

, В

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

, Ом

–

–

–

0,2

0,2

–

–

–

0,8

–

В2, В3, В4

–

–

–

0,2

–

0,2

–

–

0,8

–

В2, В4, В5

–

–

–

0,2

–

–

0,4

–

0,4

0,2

В2, В5, В6

–

–

–

0,2

–

–

–

0,4

0,3

0,4

0,2

В2, В6, В7

–

–

–

–

0,2

–

–

–

0,2

0,4

0,4

В2, В7, В4

–

–

–

–

–

–

–

В3, В4, В5

–

–

0,2

–

–

–

–

1,8

В3, В5, В6

–

–

0,2

–

–

–

–

1,2

1,9

В3, В6, В7

–

–

–

0,2

–

–

–

–

0,8

В3, В7, В5

–

–

0,4

–

–

–

0,4

0,4

–

1,6

1,6

В4, В5, В6

–

–

0,2

–

–

–

–

0,5

1,9

0,8

0,5

В4, В6, В7

–

–

–

0,4

–

–

–

–

1,3

0,6

В4, В7, В6

–

–

0,2

–

–

–

–

0,2

0,4

0,4

В5, В6, В7

–

–

–

0,2

–

–

0,5

–

0,2

0,6

В5, В7, В2

–

–

–

0,2

–

–

–

–

0,4

0,4

В6, В7, В3

–

–

–

0,4

0,2

0,1

–

–

–

0,8

–

В2, В3, В4

–

–

–

0,2

–

0,2

–

–

0,8

–

В2, В4, В5

–

–

–

0,2

–

–

0,4

–

0,4

–

В2, В5, В6

–

–

–

0,2

–

–

–

0,4

0,5

0,2

0,1

В2, В6, В7

–

–

–

–

0,4

–

0,5

–

–

0,4

0,8

0,8

В2, В7, В4

–

–

–

–

–

–

–

В3, В4, В5

–

–

0,2

–

–

–

0,5

–

1,8

В3, В5, В6

–

–

0,2

–

–

–

–

1,8

В3, В6, В7

–

–

–

0,1

–

–

–

0,5

–

0,4

В3, В7, В5

–

–

0,4

–

0,4

–

–

1,6

1,6

В4, В5, В2

При расчете электрических цепей этим методом выбирают условные положительные направления токов, эдс и напряжений на участках цепи, которые обозначают стрелками на схеме, затем выбирают замкнутые контуры и задаются положительным направлением обхода контуров. При этом для удобства расчетов направление обхода для всех контуров рекомендуется выбирать одинаковым (например, по часовой стрелке).

Для получения независимых уравнений необходимо, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа.

Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, необходимое для выполнения расчета данной электрической цепи, равно числу взаимно независимых контуров.

 

Задача № 3
РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Для электрической цепи постоянного тока (рис. 2.1), используя данные, приведенные в табл. 2.1, определить токи … в ветвях резисторов … методом контурных токов, режимы работы источников питания, составить баланс мощностей. Эдс и напряжения источников, сопротивления резисторов и положение выключателей для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 2.1. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

 

Ход решения задачи

 

Метод контурных токов выводится из метода непосредственного применения законов Кирхгофа путем исключения уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа.

Указанная процедура достигается за счет введения обобщенных переменных, так называемых контурных токов, относительно которых составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Полученные уравнения решаются относительно контурных токов. Затем токи в ветвях выражаются через найденные контурные токи.

Порядок расчета рассмотрим на примере схемы (рис. 3.1).

Определим число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа:

 

m – (n – 1) = 6 – (4 – 1) = 3,

 

где n – число узлов; m – число ветвей.

Число уравнений равно числу неизвест­ных контурных токов. В нашем случае – три уравнения. Обозначим контурные токи , и .

Выбираем направление контурных токов, совпадающих с направлением вращения часовой стрелки. Номера контуров совпадают с индексами контурных токов. Отметим, что во второй, четвертой и пятой ветвях текут по два контурных тока.

Рис. 3.1. Расчетная схема
сложной электрической цепи

 

Составляем систему из трех уравнений по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. При этом учтем падение напряжения на резисторных элементах от каждого контурного тока, текущего по нему.

Направление обхода контуров выберем совпадающим с направлением соответствующего контурного тока. Первое уравнение соответствует первому контуру, второе – второму и т. д.

В результате система имеет вид

 

 

После решения этой системы уравнений действительные токи ветвей определяются по найденным контурным токам:

 

; ; ; ; ; .

 

Отметим, что при определении токов , и учитывалось, что контурный ток, совпадающий с током в ветви, берется со знаком «+», не совпадающий – со знаком «–». При этом значения контурных токов подставляются в формулы со своим знаком.

 

Задача № 4
РАСЧЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА,
СОДЕРЖАЩЕЙ АКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ,
ИНДУКТИВНОСТЬ И ЕМКОСТЬ

Катушка с активным сопротивлением и индуктивностью L соединена последовательно с конденсатором емкостью C и подключена к источнику переменного тока с частотой f и амплитудным значением напряжения (табл. 5.1). Определить действующее значение тока, полное сопротивление цепи, полную, активную и реактивную мощности. Построить векторную диаграмму токов и напряжений, треугольник сопротивлений и мощностей. Определить частоту тока при резонансе напряжений.

Таблица 5.1

Исходные данные к задаче № 5

Вариант	, Ом	, мГн	, мГн	, мкФ	, мкФ	, В	f, Гц
					–
					–
					–
					–
				0,4	–
					–
					–
					–
		2,5		2,5	–
					–
					–
					–
		–
		–
		–
		–
		–			0,5
		–
		–			1,5
		–
		–
		–
		–			0,5
		–
		–

Ход решения задачи

 

Переменным током называется электрический ток, изменяющийся с течением времени. Значение электрического тока (эдс, напряжения) в рассматриваемый момент времени называется мгновенным значением тока (эдс, напряжения), а наибольшее (максимальное) значение периодических токов – амплитудой.

В цепи переменного тока, обладающей только активным сопротивлением, ток и напряжение совпадают по фазе, т. е. они одновременно проходят через свои нулевые и максимальные значения. Угол . Действующее значение тока I определяется отношением действующего напряжения U к сопротивлению цепи R: . Мощность цепи .

Расчет цепи ведется так же, как и при постоянном токе.

Всякий потребитель, обладающий индуктивностью, вызывает в цепи переменного тока сдвиг фаз между напряжением и током, причем напряжение опережает ток. Сдвиг фаз между напряжением и током равен 90º.

Сопротивление току, обусловленное действием индуктивности, называется индуктивным, или реактивным, сопротивлением. Обозначается индуктивное сопротивление через и измеряется в омах (Ом). Величина его определяется по формуле

,

 

где – индуктивное сопротивление; Ом; L – индуктивность, Гн; – угловая частота, ; f – частота питающей сети, Гц.

Падение напряжения в индуктивном сопротивлении называется индуктивным падением напряжения и обозначается : .

Из этой формулы следует, что ток .

Переменный ток в цепи с емкостью при отсутствии активного сопротивления и индуктивности опережает напряжение на четверть периода, т. е. сдвинут по фазе в сторону опережения на угол 90°.

Емкостное сопротивление определяется по формуле

 

,

 

где – емкостное сопротивление, Ом; С – емкость, мкФ.

Напряжение на емкостном сопротивлении называется емкостным падением напряжения и обозначается : .

Из этой формулы следует, что ток .

Полное сопротивление цепи переменного тока, состоящей из активного сопротивления, индуктивности и емкости,

 

,

 

где Х – общее реактивное сопротивление, Ом; R – активное сопротивление, Ом.

Действующее значение тока определяется по формуле

 

,

 

где – амплитудное значение напряжения на входе цепи, В.

Для построения векторной диаграммы цепи переменного тока, состоящей из активного сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 5.1), надо отложить вектор активного падения напряжения по направлению вектора тока I (рис. 5.2). Вектор индуктивного падения напряжения строится под углом 90° к вектору I в сторону опережения, а вектор емкостного падения напряжения строится также под углом 90° к вектору I, но в сторону отставания.

Чтобы получить вектор полного напряжения цепи, надо сложить векторы , и . Угол – угол сдвига фаз между током и напряжением на зажимах цепи.

 

Рис. 5.1. Последовательная цепь переменного тока, состоящая из активного сопротивления, индуктивности и емкости	Рис. 5.2. Векторная диаграмма цепи, изображенной на рис. 5.1

 

Угол сдвига фаз между током и напряжением на зажимах цепи определяется по формулам:

, .

 

При анализе электрических цепей переменного тока используют треугольник сопротивлений (рис. 5.3), который можно получить из треугольника напряжений, и треугольник мощностей (рис. 5.4), который можно получить, умножив стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока.

Рис. 5.3. Треугольник сопротивлений	Рис. 5.4. Треугольник мощностей

 

В случае равенства индуктивного и емкостного сопротивлений реактивное сопротивление будет равно нулю, а полное сопротивление Z будет равно активному сопротивлению R. Сдвиг фаз между током и напряжением цепи будет равен нулю ( ) и ток в цепи .

Этот случай получил название резонанса напряжений. При этом влияние индуктивности и емкости полностью компенсируется, и цепь ведет себя так, как будто она состоит только из активного сопротивления.

При постоянных значениях L и C резонансная частота питающей сети

 

.

 

Активная мощность цепи вычисляется по формуле .

Реактивная мощность цепи может быть определена через реактивные сопротивления:

.

Полная мощность цепи вычисляется по формуле

 

.