Моделирование работы АТС и погрузочно-

Разгрузочных средств как системы массового

Обслуживания

Основные понятия теории массового обслуживания. 6 произ­водственной деятельности автомобильного транспорта постоян­но встречаются ситуации, когда появляется потребность в по­грузке или разгрузке большого количества автомобилей, прибы­вающих в случайные моменты времени. При этом мощность погрузочно-разгрузочных пунктов, как правило, ограничена. Это приводит к созданию очередей автомобилей, когда все посты погрузки-разгрузки заняты, или к простою погрузочно-разгру­зочных средств, если выделено недостаточное количество авто­мобилей.

Оптимизацией таких процессов занимается теория массового обслуживания, которая является разделом теории вероятностей. Первые труды по теории массового обслуживания принадлежат датскому ученому А.К.Эрлангу, которые были опубликованы в 1909 г. и выполнены на примере проектирования телефонных сетей.

С помощью теории массового обслуживания решаются задачи организации и планирования процессов, в которых, с одной сто­роны, постоянно в случайные моменты времени возникает тре­бование выполнения каких-либо работ, а с другой — постоянно происходит удовлетворение этих требований, время выполнения которых является также случайной величиной. Перед теорией сто­ит задача в полном объеме описать суть происходящих явлений и установить с достаточной для практики точностью количествен­ную связь между числом постов обслуживания, характеристиками входящего потока требований (заявок) и качеством обслуживания. При этом под качеством обслуживания понимается, насколько свое­временно проведено обслуживание поступивших в систему требований.

Система массового обслуживания характеризуется структурой, которая определяется составом входящих в нее элементов и функ­циональными связями между ними. К этим элементам относятся следующие.

Требование — это запрос на удовлетворение некоторой потреб­ности в выполнении работ.

Очереди требований — это число требований, ожидающих об­служивания. Очередь характеризуется своей величиной, которая, как правило, переменная, и средним временем простоя одного требования в ожидании обслуживания (tоб).

Входящий поток — совокупность требований, поступающих с определенной закономерностью. Входящий поток характеризует­ся интенсивностью λ, нагрузкой на одно требование q и законом распределения, который описывает распределение требований по времени.

Интенсивность поступления требований — это среднее число требований, поступающих в систему за единицу времени:

где Т — среднее значение интервала между поступлением оче­редных требований.

Для автомобилей нагрузка на одно требование будет совпадать со средней величиной их фактической грузоподъемности.

Процесс поступления в систему массового обслуживания по­тока требований является вероятностным и представляет собой поток однородных или неоднородных событий, которые наступа­ют через случайные промежутки времени. Случайные промежутки времени между наступлениями событий в потоке могут подчи­няться различным законам распределения. Однако в подавляющем числе случаев рассматривается пуассоновский (простейший) поток, в котором вероятность поступления в промежуток времени t ров­но k требований задается формулой Пуассона:

Простейший поток обладает тремя основными свойствами: ста­ционарностью, отсутствием последействия, ординарностью по­тока требований.

Случайный поток называется стационарным, если вероятность поступления определенного количества требований в течение оп­ределенного отрезка времени зависит от его величины и не зави­сит от начала отсчета времени работы системы. Таким образом, два простейших потока будут отличаться друг от друга только сво­ими параметрами λ.

Отсутствие последействия состоит в том, что вероятность по­ступления за отрезок времени t определенного числа требований не зависит от того, сколько требований уже поступило в систему, т. е. не зависит от числа уже обслуженных требований. Отсутствие последействия предполагает взаимную независимость протекания процесса в не перекрывающиеся между собой промежутки вре­мени.

Ординарность потока требований означает практическую невозможность появления двух и более требований в один и тот же момент времени.

Выходящий поток — это поток требований, покидающих сис­тему обслуживания. Требования этого потока могут быть обслужены или не обслужены в системе. Этот поток может оказаться входящим для другой группы обслуживающих устройств.

Обслуживающие устройства — средства, которые осуществляют
обслуживание. Обслуживающие устройства характеризуются своей
производительностью v и надежностью.

Производительность устройства, которая часто называется интенсивностью обслуживания, определяется по формуле

Обслуживающая система — совокупность обслуживающих устройств.

Каждой из систем массового обслуживания свойственна определенная организация. По своему составу эти системы можно разделить на одноканальные и многоканальные. Многоканальные сис темы могут обслуживать несколько требований одновременно. При этом многоканальные системы могут быть однотипными или разнотипными, в которых обслуживающие устройства, работающие параллельно, имеют разную производительность.

Аналитические методы моделирования. Для пуассоновских сис­тем массового обслуживания разработаны методы, позволяющие достаточно просто аналитически рассчитывать их характеристики.

Системы с отказом в обслуживании являются наиболее простыми. В таких системах каждое поступающее требование либо обслуживается, если обслуживающее устройство свободно, либо теряется. Характерным примером такой системы является традиционная телефонная связь. Если абонент свободен, поступающий звонок соединяется с ним, если занят, звонок приходится повторять.

Коэффициент загрузки системы определяет минимальное числе обслуживающих устройств, которое необходимо иметь в системе для предотвращения роста очереди на обслуживание:

Вероятность того, что обслуживанием поступающих требований заняты к устройств, равна

 

где к изменяется от 0 до п - числа обслуживающих устройств.

Вероятность того, что все обслуживающие устройства свободны:

 

Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты:

Рассмотрим пример.

Диспетчерская принимает заказы по телефону. В самый напряженный период среднее число звонков составляет один в минуту. Средняя дли­тельность разговора — 4 мин. Сколько необходимо иметь телефонных линий, чтобы число отказов не превышало 10 %?

Для этой системы коэффициент загрузки будет равен а = 1 • 4 = 4. Сле­довательно, диспетчерская должна иметь как минимум четыре телефон­ные линии. Результаты расчетов (см. табл. 8.19) показывают, что для до­стижения требуемых условий обслуживания клиентов в диспетчерской должно быть установлено семь телефонных линий.

Системы с неограниченным потоком требований относятся к ра­зомкнутым системам. В таких системах отсутствует связь между обслуженными требованиями и требованиями, поступающими на обслуживание. Другими словами, работа системы никак не влияет на характеристики входящего потока. К таким системам можно отнести работу ПРП, обслуживающих ПС, занятый на междуго­родных или международных перевозках.

Вероятность того, что все обслуживающие устройства свобод­ны:

Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты:

Среднее время ожидания обслуживания:

 

Среднее число требований, ожидающих обслуживания:

 

Среднее число простаивающих обслуживающих устройств за единицу времени

Потери от простоя АТС можно определить по формуле

Потери от простоя ПРМ

 

 

где С_пра и С_прпрм — удельные потери от простоя АТС и ПРМ соответственно.

 

Рассмотрим пример.

Необходимо определить оптимальное число постов для погрузки ПС, перевозящего грузы между терминалами, исходя из минимальных потерь от простоя АТС и постов. Среднее время погрузки 1,2 ч. В среднем за час прибывает два АТС. Удельные потери от простоя составят 50 р./ч для АТС и 100 р./ч для поста погрузки.

Коэффициент загрузки системы будет равен а = (1,2-2)/1 = 2,4. Сле­довательно, ПРП должен иметь как минимум три поста. Результаты рас­четов представлены в табл. 8.20.

Результаты расчетов показывают, что для достижения требуемых ус­ловий обслуживания на ПРП должно быть четыре поста погрузки АТС.

Таблица 8.20

Расчет разомкнутой системы

I

Системы с ограниченным потоком требований относятся к замкнутым системам. В таких системах ярко выражена связь между обслуженными требованиями и требованиями, поступающими обслуживание, так как после обслуживания эти требования вновь возвращаются на следующее обслуживание. Работа такой систем существенно влияет на характеристики входящего потока. К подобным системам можно отнести работу ПРП, обслуживающих постоянный состав АТС, занятых на коротких городских и строи­тельных перевозках.

 

Вероятность того, что все обслуживающие устройства свободны:

Среднее число требований, ожидающих обслуживания:

 

Среднее число простаивающих обслуживающих устройств за единицу времени

Рассмотрим пример.

Необходимо определить оптимальное число АТС, которое может быть обслужено на посту погрузки, исходя из минимальных потерь от простоя АТС и поста. После погрузки ПС доставляет груз потребителям и возвра­щается для следующей погрузки. Среднее время погрузки 0,2 ч. Среднее расстояние доставки груза 20 км, а среднетехническая скорость 20 км/ч. Удельные потери от простоя, как и в предыдущем примере, составят 50 р./ч для АТС и 100 р./ч для поста погрузки.

Время оборота ПС составит t ₀= 2-20/20 + 0,2 = 2,2 ч. Коэффициент загрузки системы а = (1/ t ₀)/(1/ t _п) = (1/2,2)/(1/0,2) = 0,09. Результаты расчетов представлены в табл. 8.21. Они показывают, что для достижения требуемых условий обслуживания на данном ПРП должно работать семь автомобилей.

 

 

Статистические методы моделирования. В случае, если система массового обслуживания не является пуассоновской, ее расчет с помощью аналитических методов становится очень сложным. искомое решение легче получить, используя метод статистических испытаний — численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных процессов и событий, который получил название метод Монте-Карло. Метод Монте-Карло начал использоваться в 1944 г. в связи с работами по созданию атомного реактора американскими учеными Дж. фон Нейманом и С.Уламом. Широкое распространение этот метод получил только после появления быстродействующих ЭВМ.

В методе Монте-Карло особую роль играет моделирование случайных величин с заданными распределениями (время обслужи­вания, время ожидания и т.д.). Как правило, такое моделирова­ние осуществляется путем преобразования одного или нескольких независимых значений случайного числа t, распределенного равномерно в интервале [О, 1]. Последовательности «выборочных» значений t обычно получают на ЭВМ с помощью специальных алгоритмов. Такие числа называются псевдослучайными.

Для моделирования отдельно взятого случайного события с вероятностью Р достаточно одного равномерно распределенного интервале [0, 1] числа г. При попадании г в интервал [О, Р ] считают, что событие (прибытие автомобиля) наступило, в противном случае — не наступило.

Алгоритмы моделирования некоторых распространенных законов распределения непрерывных случайных величин приведены ] табл. 8.22.

Таблица 8.22 Алгоритмы моделирования случайных величин

 

 

Принцип статистического моделирования системы массового обслуживания на примере пункта погрузки с двумя постами пока­зан на рис. 8.11.

С помощью алгоритмов получения псевдослучайных чисел мо­делируются моменты прибытия АТС на пункт погрузки в соответ­ствии с установленным для них законом распределения. В момент прибытия АТС проверяется готовность к погрузке какого-либо поста. Если есть свободный пост, на нем начинается погрузка АТС. Вре­мя погрузки определяется случайным образом в соответствии с установленным для продолжительности погрузки законом распре­деления. Если все посты заняты, начинается отсчет времени про­стоя ПС. В случае, если после завершения погрузки очередного АТС нет ПС, ожидающего погрузки, начинается отсчет времени простоя пункта погрузки.

После нескольких циклов моделирования можно получить до­статочно достоверную картину совместной работы АТС и ПРМ. Путем изменения параметров работы системы (числа АТС, про­изводительности или числа ПРМ и т.п.) можно определить такие характеристики системы массового обслуживания, которые обес­печат оптимальное значение целевой функции (суммарных по­терь от простоя и т.д.).

Рис. 8.11. Основные элементы системы массового обслуживания

Статистическое моделирование процесса доставки груза в по­следнее время получило существенное развитие в связи с расши­рением использований в ГАП технологий «точно вовремя». В этом

случае маршрут следования разбивается на узловые пункты и участ­ки движения между ними. В качестве узловых пунктов выступают ПРП, пункты таможенного и пограничного оформления, конт­рольно-диспетчерские и пункты технического обслуживания. Уз­ловые пункты представляют собой разомкнутые и многофазовые автотранспортные обслуживающие системы. Указанные составля­ющие маршрута характеризуются детерминированными и вероят­ностными параметрами. Среди вероятностных характеристик со­ставляющих перевозочного процесса можно отметить время про­хождения участка маршрута; время, необходимое для подготовки, проверки и оформления документов; время выполнения ПРР;

Рис. 8.12. Обобщенный алгоритм определения времени доставки груза

 

время прохождения пограничного и таможенного контроля и т. п. Каждая из перечисленных характеристик подвержена воздействию многочисленных факторов, влияющих в целом на срок доставки груза, что позволяет рассматривать время доставки как случай­ную величину.

Вероятностные временные модели для каждого узлового пунк­та и участка маршрута позволяют сформировать оценку времени прибытия груза в пункт назначения с учетом воздействия случай­ных факторов¹

где Т_нач — время начала движения; Т_ср.лрi — среднее время про­стоя в узловом пункте; T_ср._двi — среднее время движения на участке маршрута; ∆t_прi — среднее отклонение времени простоя в узловом пункте; ∆tдвi — среднее отклонение времени движе­ния на участке маршрута; Т_отд — время отдыха экипажа.

 

Объединение вероятностных моделей возможно при слабой кор­реляционной зависимости между ними. В этом случае, как прави­ло, распределение времени доставки груза будет подчиняться нор­мальному закону. Обобщенный алгоритм определения времени доставки груза представлен на рис. 8.12.

Рис. 8.13. Продолжительность простоя подвижного состава на погран-переходе Франкфурт—Одер

¹ Голубева Л. О., Горев А. Э. Международные автомобильные перевозки в логи­стических системах: Материалы международной научно-практической конфе­ренции «Проблемы развития автомобильно-дорожного комплекса России». Ч. 2. — СПб.: СПбГАСУ, 1997. - С. 8-11.

 

Эффективность статистического моделирования зависит от до­стоверности информации о реальных затратах времени на марш­руте движения с учетом различных климатических, дорожных и других условий. Одним из наиболее надежных источников получе­ния такой информации является регулярная обработка тахограмм с занесением данных в соответствующую базу данных и их кор­ректировка в зависимости от изменения реальных условий работы ПС на том или ином маршруте. Получаемые данные должны под­вергаться регулярной статистической обработке, результаты кото­рой и будут являться исходной информацией для моделирования.

В качестве примера на рис. 8.13 приведены результаты статис­тической обработки данных о продолжительности простоя ПС на погранпереходе Франкфурт—Одер. Данные получены на основе обработки тахограмм рейсов ПС, выполненных из Германии, Бельгии, Франции и Голландии в Санкт-Петербург в течение года.

Основные преимущества статистического моделирования вре­мени доставки заключаются в возможности планирования време­ни выезда ПС, гарантирующего его своевременное прибытие к грузополучателю, возможность предварительного определения до­пустимой величины отклонения времени доставки и т. п.

Контрольные вопросы

1.Назовите виды планирования грузовых автомобильных перевозок, перечислите их особенности.

2.Какое значение имеет оптимизация планирования автомобильных перевозок грузов?

3.Что такое транспортная сеть, какое значение имеет расчет кратчайших расстояний?

4.Сформулируйте транспортную задачу. Какие методы ее решения вы знаете?

5.В чем заключается применение экономико-математических методов при маршрутизации мелкопартионных перевозок?

6.Какие методы моделирования работы автомобильного транспорта и погрузочно-разгрузочных пунктов как системы массового обслуживания вы знаете? Расскажите о них подробнее.