Учет геометрических особенностей заряда

Современные твердотопливные заряды имеют сложную геометричес­кую форму канала. Наиболее часто в крупногабаритных РДТТ применя­ются заряды какально-щелевой формы, типа "звезда", "вагонное колесо" или их модификации. Поэтому важно знать, влияет ли форма заряда на его динамическое состояние.

Для этих целей используются вычислительные программы на основе численных методов расчета. В частности, в последнее время получил.широкое распространение метод конечных элементов (МКЭ), в соответс­твии с которым исследуемая область, отличающаяся от цилиндрической, разбивается на N конечных элементов простой формы (например треу­гольных, рис.4.13), а затем по определенньш законам эти элементы связываются в непрерывную область /16,21/. Математическая модель МКЭ базируется на одном из вариационных принципов, а уравнение движения заряда записывается в матричной форме:

(4.6)

где матрицы жесткости [ К ] и масс [ м 1 вычисляются суммированием по всем элементам конструкции; { 5 > - вектор неизвестных узловых перемещений; {R} - вектор нагрузки, приложенной в узловых точках по контуру тела. Двумя точками обозначено двойное дифференцирование вектора перемещений (ускорение).

Щелевое "Звезда" "Вагонное колесо"

Рис.4.13. Схемы разбиения на конечные элементы поперечных сечений заряда

Для вынужденной задачи, когда нагрузка изменяется по закону i R > = { Ra }-exp(iu>t), уравнение движения (4.6) принимает вид, аналогичный записи закона Гука:

([ К 1 - и>²-[ М ])•{ 5_а > = (4.7)

где выражение в круглой скобке описывает динамическую жесткость системы. Индексом "а" обозначены амплитудные значения параметров.

Если в уравнении (4.6) принять { Ra > = 0, ш² = X, то задача сводится к проблеме поиска собственных значений X:

(С К 1 - Х'Г М ])•{ б_а > = 0. (4.8)

Количество собственных значений Xi, а следовательно, и собственных частот колебаний "тределяется размерностью матриц [ К ] и [ М J, которые, в свог. очередь, определяются количеством конеч­ных элементов N.

Практическая реализация расчетов МКЭ зависит от конкретного программного обеспечения и без него невозможна /22/. Поэтому для более подробного изучения метода советуем обратиться к соответству­ющим учебным пособиям и монографиям (например /16,21/ и др.). Здесь же рассмотрим лишь некоторые результаты исследований, позво­ляющих оценить влияние геометрических особенностей заряда на его динамическое состояние.

На рис.4.13 показаны три формы пятилучевого поперечного сече­ния заряда - щелевая, "звезда" и "вагонное колесо". В табл.4.1 для этих форм приведены результаты расчета первых четырех собственных частот поперечных колебаний заряда по модели плоскодеформированно­го состояния (ДНО), когда де_х = 0. Здесь же приведены амплитудные значения резонансной окружной деформации ueq в расчетных точках 1 и 2 на канале для амплитуды давления ДР = 1 МПа.

Таблица 4.1 Динамические параметры зарядов сложной формы

 

 

 

 

Форма заряда	Собственная	Резонансная деформация
	частота, Гц	точка 1	точка 2
	135,7	0,015	0,007
Щелевая	166,9	0,072	0,019
	244,8	0,020	0,032
	266,7	0,030	0,042
	136,2	0,002
"Звезда"	201, 3	0,122
	261, 6	0,087
	265,5	0,085
	137,5	0,010	0,002
"Вагонное	206,0	0,009	0,004
колесо"	258,6	0,047	0.004
	263,5	0,049	0,004

 

Анализируя полученные результаты, убеждаемся, что сечение сложной формы обладает дополнительной степенью свободы по окружной координате 8. Поэтому колебания из одномерных (только вдоль коорди­наты г) переходят в плоские (в координатной плоскости г - 81, в связи с чем появляются дополнительные собственные частоты в доволь­но узком диапазоне 130-270 Гц, что является особенностью колебаний сложных сечений. При выгорании топлива происходит сглаживание кон­тура, который постепенно становится близким к окружности.

Результаты показывают, что с точки зрения динамики "вагонное колесо" является наименее нагруженным, т.к. при этой форме динами­ческие деформации в расчетных точках имеют наименьшую величину. По­этому для крупногабаритных двигателей, в которых могут возникнуть продольные колебания газа с частотами 100 - 300 Гц, с точки зрения динамической прочности заряд типа "вагонное колесо" может оказаться наиболее приемлемым. Наибольшую динамическую нагруженностъ могут иметь заряды типа "звезда".

 

Рис.4.14. Поля динамических деформаций и напряжений по линии 2-3 в заряде типа "вагонное колесо ":

1 - статика; 2 - v = 160 Гц; 3 - 320 Гц

На рис.4.14 показаны поля динамических деформаций и напряжений по линии 2-3 в заряде типа "вагонное колесо". Кривые приведены для частот 160 и 320 Гц, соответствующих первым двум продольным модам колебаний газа в канале длиной L = 3,125 м. Видно, что зависимости распределения динамических деформаций и напряжений по своду заряда колебаний гага в канале длиной L = 3,125 м. ьидно, что зависимости распределения динамических деформаций и напряжений по своду заряда имеют сложный характер. По деформации корпуса трудно предположить, что на частоте 320 Гц в теле заряда (г = 0,38) динамическая дефор­мация в 45 раз превышает статическую (К_у = 45), рассчитанную при той же амплитуде давления. Чтобы перевести относительную деформацию ueq МПа"¹ в безразмерную величину, как это обычно принято, необхо­димо знать, какую долю от среднего давления Р₀ составляет амплитуда колебаний ДР. Если, например, ДР/Р₀ = 0,01, то в указанном сечении динамическая деформация составит 45% от статической. На контактной поверхности наибольший коэффициент динамического усиления по напря­жению равен 2,26. Это в несколько раз меньше, чем в случае гладкого цилиндра. Таким образом, в зарядах сложной формы наблюдается "конс­трукционное демпфирование" - дополнительное снижение уровня динами­ческих напряжений, обусловленное формой заряда.

Сравнительные результаты расчетов по одномерной и плоской мо­делям можно рассмотреть на примере 4- щелевого заряда (R= 1 м, гк = 0,333 м). Так, по модели плоскодеформированного состояния рас­четным путем получены собственные частоты 42,2; 63,7; 87,2; 131,2 Гц /23/. Соответствующе АЧХ в расчетных точках 1-4 (по де­формации на канале Д1е и по напряжению на контакте Дб_г) приведены на рис.4.15.

jn			I
с			\
			!
ч		V,	Ч	рч
	_^*s-	№	&
			H		--=_{e
i	K	1 8C	> f2i	? /<?	9 V.fu

Рис.4.15. АЧХ в расчетных точках щелевого заряда: 1- точка 1; 2- точка 2; 3- точка 3; 4- точка 4; -----— щелевой канал; - - - - гладкий канал

Приведенные на рис.4.14 результаты подтверждают наличие в рассматриваемом диапазоне частот размытой резонансной области, что приводит к необходимости учитывать вязкоупругие потери во всем рассматриваемом частотном диапазоне. Это значительно усложняет анализ при практическом использовании результатов на этапе проекти­рования двигателя.

В то же время рассчитанные по одномерной модели (для гладкого цилиндрического канала) АЧХ вписываются в резонансную область час­тот и имеют единственную резонансную частоту радиальных колебаний 87,2 Гц (рис.4.15, штриховая кривая). При этой частоте рассчитанные для гладкого цилиндра резонансные деформации и напряжения имеют на­ибольшую величину, что при учете их значений в расчете идет в запас прочности заряда. Так, например, если ДР = 0,1 МПа, то по одномер­ной модели резонансные значения окружной деформации на канале и ра­диального напряжения на контакте будут соответственно 0,025 и 1,1 МПа. В то же время наибольшие значения деформации и напряжения в рассматриваемом диапазоне частот, рассчитанные из условия резо­нанса по модели плоскодеформированного состояния, соответственно равны 0,02 и 0,3 МПа.

Характер изменения динамических деформаций и напряжений в за­ряде по линии 2-3 на резонансных режимах показан на рис.4.16. Дина­мические кривые значительно отличаются от статических параметров НДС (кривые 1).

Важно отметить, что замеренные в эксперименте де­формации корпуса могут дать, согласно расчету (см. рис.4.16), зна­чения, мало отличающиеся по величине от статической деформации при одинаковой величине входного воздействия - внутрикамерного давле­ния. В то же время на канале заряда динамические деформации могут быть существенно выше деформаций, рассчитанных при том же давлении по статической модели. Эту особенность следует учитывать при оценке работоспособности заряда, например, в условиях продольной акусти­ческой неустойчивости крупногабаритных РДТТ. Как и для гладкого ци­линдрического канала, в районе резонансных частот динамические нап­ряжения в этом случае возрастают к корпусу и имеют наибольшую вели­чину при частоте 87,2 Гц.

Другой моделью, используемой для оценки динамического повеле­ния заряда, является модель осисимметричного состояния (ОСС) /22/. когда параметры НДС в окружном направлении 8 не меняются, а зависят только от координат г и х. Для примера на рис.4.17 приведены АЧХ

uSa.MfT/T

&б>

 

контактного напряжения в среднем сечении заряда с цилиндрическим каналом длиной L = 3,125 м и наружным радиусом R = 0,5 м для двух значений радиуса канала: гк= 0,2 м - начальное значение; гк= 0,38 м - момент выгорания, когда основная частота радиальных колебаний заряда совпадает с частотой 2-й моды продольных колебаний газа (320 Гц). Расчеты по модели ОСС для начальной геометрии дают резо­нансную область частот, в которой два пика - при 135 и 200 Гц. По одномерной модели в данной частотной области наблюдается только один радиальный резонанс при частоте 161,6 Гц. При выгорании заряда для рассмотренного среднего сечения различие в АЧХ уменьшается и, например, при гк = 0,38 м (см. рис.4.17) практически исчезает. Ре­зонансная частота по осесимметричной модели равна 319,5 Гц, по од­номерной модели - 322,9 Гц.

На рис.4.18 представлено изменение амплитуды колебаний относи­тельного радиального напряжения на контакте при частотах 160 Гц (1-я газовая мода, радиус канала в среднем сечении 0,2 м) и 320 Гц (2-я газовая мода, гк = 0,38 м).

В заключение отметим, что в динамике сложных форм вместо коэф­фициента концентрации напряжений, который применяется в статике /4/, более обоснованно использовать понятие коэффициента усиления как отношения динамической компоненты НДС к соответствующей статичес­кой, рассчитанной для той же формы заряда при давлении, равном амп­литуде колебаний давления в камере.