Визначений та невласний інтеграли

Визначений та невласний інтеграли

1. Обчислити визначені інтеграли інтегруванням частинами або методом заміни змінної: a)

2. Обчислити невласні інтеграли або довести їхню розбіжність:

a)

 

Застосування визначеного інтеграла

1. Знайти площу фігури, обмежену кривими ,

2. Обчислити довжину дуги кривої:

а) ; б) ; в)

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої графіками функцій відносно осі

 

Звичайні диференціальні рівняння

1. Розв’язати диференціальні рівняння першого порядку:

а) б)

в)

2. Розв’язати диференціальні рівняння вищих порядків, які допускають пониження порядку:

а) б)

3. Розв’язати диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами:

а) б)

в)

г)

 

Кратні інтеграли

1. Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням за х та із зовнішнім інтегруванням за y, якщо область D обмежують лінії .

2. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмеженій указаними лініями:

3. Обчислити подвійний інтеграл в полярній системі координат.

4. Обчислити потрійний інтеграл

5. Обчислити координати центра мас однорідного тіла , обмеженого вказаними поверхнями (): .

 

 

a)

Визначений та невласний інтеграли

1. Обчислити визначені інтеграли інтегруванням частинами або методом заміни змінної: a)

2. Обчислити невласні інтеграли або довести їхню розбіжність:

a)

 

Застосування визначеного інтеграла

1. Знайти площу фігури, обмежену кривими

2. Обчислити довжину дуги кривої:

а) ; б)

в)

3. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої графіками функцій відносно осі

 

Звичайні диференціальні рівняння

3. Розв’язати диференціальні рівняння першого порядку:

а) б)

в)

4. Розв’язати диференціальні рівняння вищих порядків, які допускають пониження порядку:

а) б)

3. Розв’язати диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами:

а) б)

в) г)

 

Кратні інтеграли

6. Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням за х та із зовнішнім інтегруванням за y, якщо область D обмежують лінії .

7. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмеженій указаними лініями:

8. Обчислити подвійний інтеграл в полярній системі координат.

9. Обчислити потрійний інтеграл

10. Обчислити координати центра мас однорідного тіла , обмеженого вказаними поверхнями ():

 

 

Варіант № 18.

Функція багатьох змінних

1. Для функції перевірити виконання співвідношення

2. Знайти найбільше та найменше значення функції в трикутнику з вершинами в точках .

3. Знайти наближене значення , виходячи із значення функції при

4. Записати рівняння дотичної площини і нормалі в точці до поверхні

5. Задана функція і точки Обчислити:

1)похідну цієї функції в точці за напрямком вектора 2)

Невизначений інтеграл

1.Замінити змінну або внести під знак диференціала:

a)

2. Зінтегрувати частинами: a)

3. Зінтегрувати дробово-раціональні функції:

a)

4. Зінтегрувати тригонометричні функції:

a)

Кратні інтеграли

11. Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням за х та із зовнішнім інтегруванням за y, якщо область D обмежують лінії .

12. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмеженій указаними лініями:

13. Обчислити подвійний інтеграл в полярній системі координат.

14. Обчислити потрійний інтеграл

15. Обчислити координати центра мас однорідного тіла , обмеженого вказаними поверхнями ():

 

Варіант № 19.

Функція багатьох змінних

1. Для функції перевірити виконання співвідношення

2. Знайти найбільше та найменше значення функції в прямокутнику .

3. Знайти наближене значення , виходячи із значення функції при

4. Записати рівняння дотичної площини і нормалі в точці до поверхні

5. Задана функція і точки Обчислити:

1) похідну цієї функції в точці за напрямком вектора 2)

 

Невизначений інтеграл

1.Замінити змінну або внести під знак диференціала:

a)

2. Зінтегрувати частинами: a)

3. Зінтегрувати дробово-раціональні функції:

a)

4. Зінтегрувати тригонометричні функції:

a)

Кратні інтеграли

16. Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням за х та із зовнішнім інтегруванням за y, якщо область D обмежують лінії .

17. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмеженій указаними лініями:

18. Обчислити подвійний інтеграл в полярній системі координат.

19. Обчислити потрійний інтеграл

20. Обчислити координати центра мас однорідного тіла , обмеженого вказаними поверхнями (): .

 

 

Варіант № 19.

Функція багатьох змінних

5. Для функції перевірити виконання співвідношення

6. Знайти найбільше та найменше значення функції в прямокутнику .

7. Знайти наближене значення , виходячи із значення функції при

8. Записати рівняння дотичної площини і нормалі в точці до поверхні

5. Задана функція і точки Обчислити:

1) похідну цієї функції в точці за напрямком вектора 2)

 

Невизначений інтеграл

1.Замінити змінну або внести під знак диференціала:

a)

2. Зінтегрувати частинами: a)

3. Зінтегрувати дробово-раціональні функції:

a)

4. Зінтегрувати тригонометричні функції:

a)

Кратні інтеграли

21. Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням за х та із зовнішнім інтегруванням за y, якщо область D обмежують лінії .

22. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмеженій указаними лініями:

23. Обчислити подвійний інтеграл в полярній системі координат.

24. Обчислити потрійний інтеграл

25. Обчислити координати центра мас однорідного тіла , обмеженого вказаними поверхнями (): .

 

 

Варіант № 21.

Функція багатьох змінних

1. Для функції перевірити виконання співвідношення

2. Знайти найбільше та найменше значення функції в квадраті .

3. Знайти наближене значення , виходячи із значення функції при

4. Записати рівняння дотичної площини і нормалі в точці до поверхні

5. Задана функція і точки Обчислити:

1) похідну цієї функції в точці за напрямком вектора 2)

Невизначений інтеграл

1.Замінити змінну або внести під знак диференціала:

a)

2. Зінтегрувати частинами: a)

3. Зінтегрувати дробово-раціональні функції:

a)

 

4. Зінтегрувати тригонометричні функції:

a)

 

Кратні інтеграли

1. Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням за х та із зовнішнім інтегруванням за y, якщо область D обмежують лінії .

2. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмеженій указаними лініями: .

3. Обчислити подвійний інтеграл в полярній системі координат.

4. Обчислити потрійний інтеграл

5. Обчислити момент інерції відносно осі координат однорідного тіла, обмеженого заданими поверхнями . Густину тіла вважати рівною 1.

 

Варіант № 22.

Функція багатьох змінних

1. Для функції перевірити виконання співвідношення

2. Знайти найбільше та найменше значення функції в прямокутнику .

3. Знайти наближене значення , виходячи із значення функції при

4. Записати рівняння дотичної площини і нормалі в точці до поверхні

5. Задана функція і точки Обчислити:

1) похідну цієї функції в точці за напрямком вектора 2)

Невизначений інтеграл

1.Замінити змінну або внести під знак диференціала:

a)

2. Зінтегрувати частинами: a)

3. Зінтегрувати дробово-раціональні функції:

a)

4. Зінтегрувати тригонометричні функції:

a)

Кратні інтеграли

26. Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням за х та із зовнішнім інтегруванням за y, якщо область D обмежують лінії .

27. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмеженій указаними лініями:

28. Обчислити подвійний інтеграл в полярній системі координат.

29. Обчислити потрійний інтеграл

30. Обчислити момент інерції відносно осі координат однорідного тіла, обмеженого заданими поверхнями Густину тіла вважати рівною 1.

 

Варіант № 23.

Функція багатьох змінних

1. Для функції перевірити виконання співвідношення

2. Знайти найбільше та найменше значення функції в трикутнику зі сторонами

3. Знайти наближене значення , виходячи із значення функції при

4. Записати рівняння дотичної площини і нормалі в точці до поверхні

5. Задана функція і точки

Обчислити:

1) похідну цієї функції в точці за напрямком вектора 2)

Невизначений інтеграл

1.Замінити змінну або внести під знак диференціала:

a)

2. Зінтегрувати частинами: a)

3. Зінтегрувати дробово-раціональні функції:

a)

4. Зінтегрувати тригонометричні функції:

a)

 

Кратні інтеграли

31. Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням за х та із зовнішнім інтегруванням за y, якщо область D обмежують лінії .

32. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмеженій указаними лініями:

33. Обчислити подвійний інтеграл в полярній системі координат.

34. Обчислити потрійний інтеграл

35. Обчислити момент інерції відносно осі координат однорідного тіла, обмеженого заданими поверхнями Густину тіла вважати рівною 1.

 

Варіант № 24.

Функція багатьох змінних

1. Для функції перевірити виконання співвідношення

2. Знайти найбільше та найменше значення функції в квадраті

3. Знайти наближене значення , виходячи із значення функції при

4. Записати рівняння дотичної площини і нормалі в точці до поверхні

5.Задана функція і точки Обчислити:

1) похідну цієї функції в точці за напрямком вектора 2)

 

Невизначений інтеграл

1.Замінити змінну або внести під знак диференціала:

a)

2. Зінтегрувати частинами: a)

3. Зінтегрувати дробово-раціональні функції:

a)

4. Зінтегрувати тригонометричні функції:

a)

Кратні інтеграли

1. Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням за х та із зовнішнім інтегруванням за y, якщо область D обмежують лінії .

2. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмеженій указаними лініями:

3. Обчислити подвійний інтеграл в полярній системі координат.

4. Обчислити потрійний інтеграл

5. Обчислити момент інерції відносно осі координат однорідного тіла, обмеженого заданими поверхнями . Густину тіла вважати рівною 1.

 

Варіант № 25.

Функція багатьох змінних

1. Для функції перевірити виконання співвідношення

2. Знайти найбільше та найменше значення функції в трикутнику зі сторонами

3. Знайти наближене значення , виходячи із значення функції при

4. Записати рівняння дотичної площини і нормалі в точці до поверхні

5. Задана функція і точки Обчислити:

1) похідну цієї функції в точці за напрямком вектора 2)

 

Невизначений інтеграл

1.Замінити змінну або внести під знак диференціала:

a)

2. Зінтегрувати частинами: a)

3. Зінтегрувати дробово-раціональні функції:

a)

4. Зінтегрувати тригонометричні функції:

a)

 

Кратні інтеграли

36. Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням за х та із зовнішнім інтегруванням за y, якщо область D обмежують лінії .

37. Обчислити подвійний інтеграл по област і D, обмеженій указаними лініями:

38. Обчислити подвійний інтеграл в полярній системі координат.

39. Обчислити потрійний інтеграл

 

40. Обчислити момент інерції відносно осі координат однорідного тіла, обмеженого заданими поверхнями . Густину тіла вважати рівною 1.

 

 

1. Нижня та верхня суми Дарбу. Означення визначеного інтеграла.

2. Застосування подвійногo інтеграла.__________________________________

1. Інтегрування тригонометричних виразів. Універсальна тригонометрична підстановка

2. Обчислення подвійного інтеграла в полярній системі координат.__________

 

1. Інтегрування простіших ірраціональних виразів. Теорема Чебишева.

2. Обчислення подвійного інтеграла в прямокутній системі координат._________

 

1. Інтегрування дробово-раціональної функції у випадку дійсних та_________ комплекснозначних коренів знаменника.____________________________________________

2. Поняття контура І-го та ІІ-го роду. Обчислення подвійного інтеграла у____ випадку криволінійної області.________________________________________

 

1. Інтегрування дробово-раціональної функції у випадку дійсних коренів_____ знаменника.________________________________________________________

2. Геометрична задача, яка приводить до поняття подвійного інтеграла.______

 

1. Розклад дробово-раціональної функції на елементарні дроби.___________

2. Означення подвійного інтеграла, його основні властивості.______________

 

1. Елементарні дроби І-ІV типу, їхнє інтегрування.______________________

2. Метод невизначених коефіцієнтів для лінійного неоднорідного__________ __диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами і___ правої частини вигляду

 

1. Теорема Безу. Розклад многочлена на множники.______________________

2. Метод невизначених коефіцієнтів для лінійного неоднорідного___________ диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами і правої частини вигляду _____________________

 

1. Дії над комплексними числами в тригонометричній формі задання. Формула Муавра. _________

2. Теорема про структуру загального розв’язку лінійного неоднорідного_____ диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.______

 

1. Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен.__________________

2. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа) для лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків зі сталими коефіцієнтами. __________________________________________________

 

 

1. Поняття первісної, її основні властивості._____________________________

2. Основні типи диференціальних рівнянь ІІ-го порядку, які допускають зниження порядку.__________________________________________________

 

1. Означення невизначеного інтеграла, його основні властивості. __________

2. Метод Ейлера розв’язання однорідних лінійних диференціальних рівнянь__ вищих порядків зі сталими коефіцієнтами.__________________________________________

 

1. Інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Основні випадки_____ використання формули.______________________________________________

2. Рівняння Бернуллі, його розв’язання._________________________________

 

1. Безпосереднє інтегрування, заміна змінної в невизначеному інтегралі._____

2. Основні поняття та означення, пов’язані з диференціальними рівняннями__ вищих порядків. Задача Коші._________________________________________

 

1. Основні властивості визначеного інтеграла. Теорема про середнє значення.

2. Однорідні диференціальні рівняння І-го порядку (права частина є________

однорідною функцією нульового виміру)._______________________________

 

1. Інтеграл зі змінною верхньою межею, його основна властивість.___________

2. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння І-го порядку. Метод Лагранжа.

 

1. Формула Ньютона-Лейбніца._______________________________________

2. Основні поняття та означення, пов’язані з диференціальними рівняннями І-го порядку (поняття розв’язку, загального розв’язку, інтегральної кривої).______

 

1. Обчислення визначеного інтеграла. Заміна змінної для визначеного інтеграла.

2. Розв’язування диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними.___

 

1. Невласний інтеграл І-го роду, його основні властивості._________________

2. Інтегрування диференціального рівняння вигляду______________________ ____________________________________

 

1. Невласний інтеграл ІІ-го роду, його основні властивості._______________________

2. Теорема Коші існування та єдиності розв’язку задачі Коші для___________ диференціального рівняння 1-го порядку._______________________________

 

1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площі області, довжини дуги кривої.________________________________________________________

2. Частинний приріст і частинна похідна функції багатьох змінних._________

 

1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’єму тіла, площі____ поверхні тіла обертання.______________________________________________

2. Застосування подвійного інтеграла._________________________________________________

 

1. Неперервність функції багатьох змінних. Основні властивості неперервних функцій в замкнутій обмеженій області._____________________________________________

2. Задача, яка приводить до поняття потрійного інтеграла (обчислення маси кубовного тіла).____________________________________________________

 

1. Диференціал функції багатьох змінних, його застосування в наближених обчисленнях._______________________________________________________

2. Застосування потрійного інтеграла._________________________________________________

 

1. Дотична площина і нормаль до поверхні в просторі.___________________

2. Основні властивості потрійного інтеграла.____________________________

 

1. Частинні похідні вищих порядків для функції багатьох змінних._________

2. Означення і існування потрійного інтеграла.__________________________

 

1. Диференціал 2-го та вищих порядків функції багатьох змінних.__________

2. Заміна змінних у потрійному інтегралі (циліндрична та сферична ситеми координат).________________________________________________________

 

1. Поняття градієнта поля. Похідна за напрямком вектора._____________

2. Обчислення потрійного інтеграла у випадку довільної області.___________

 

 

 

 

Визначений та невласний інтеграли

1. Обчислити визначені інтеграли інтегруванням частинами або методом заміни змінної: a)

2. Обчислити невласні інтеграли або довести їхню розбіжність:

a)