Розмірковування про складні проценти

Уявімо собі, що 2014 років назад, коли народився Ісус Христос, ми вклали один американський цент під 3% річних із правом щорічно додавати проценти до вкладу (це називають капіталізацією відсотків). Якою сумою мали б володіти наші нащадки сьогодні?

Цю суму можна знайти за формулою:

S = S0 * (1+w)^t

Для нашого випадку:

S = 0,01 * (1+3%)²⁰¹⁴

Не намагайтеся скористатися калькулятором, адже цифра, яку ви отримаєте, є занадто великою. Розрахувавши її в Excel, матимете 714 776 978 322 553 000 000 000 доларів.

Звичайно ж, такої суми грошей фізично не існує й ніколи не буде існувати. Вся світова економіка виробляє сумарно за рік товарів, робіт і послуг на суму приблизно 75 трильйонів доларів (світовий ВВП). Тож для отримання еквівалента вказаної вище суми знадобиться 9,5 мільярдів років. За розрахунками вчених наше Сонце згасне за 6-7 мільярдів років, тож отримати еквівалент вказаної суми у вигляді благ не вдасться.

Іноді наведений розрахунок настільки вражає, що у самому існуванні «складних процентів» або ж процентів на вкладені гроші вбачають якийсь таємний заколот та джерело «світової несправедливості». Насправді ж наша логіка розрахунку має лише одну хибну деталь на самому початку – ми взяли знайомий нам один цент й перенесли його в той час, коли йому не було еквіваленту.

Стосовно ж самого позичкового проценту, його виникнення є цілком природнім, адже наявні гроші – це завжди обмежений ресурс; якщо хтось має ідею, що приносить певну доходність, то він залюбки погодиться взяти гроші під відсоток менший за той, який може отримати сам. Тож виникнення позичкового відсотку мало б відбутися, виходячи з економічних відносин між людьми. З іншого боку, ірраціональність людини та невміння зважувати ризики змушують казати про кредитні відносини як такі, що містять в собі приховану небезпеку в разі втрати пильності. Так світова фінансова криза, активна фаза якої почалася в 2008 році, мала основою недооцінку ризиків, що вони містяться в кредитних інструментах.

 

Англійський астроном Френсіс Бейлі в 1810 р підрахував, що якщо в рік народження Христа покласти 1 пенс під 5% річних, то за ці роки він перетворився б на таку кількість золота, якого вистачило б для заповнення 357 млн. земних куль.

Острів Манхеттен (США) був придбаний в 1626 р Пітером Мінуітом в місцевих індіанців за суму, рівну приблизно 25 дол. США. В даний час сукупна вартість острова обчислюється мільярдами доларів. Однак якби Пітер вклав свої 25 дол. в банк під 7% річних, то в даний час він би отримав 3600000000000 дол. США, що істотно більше нинішньої вартості острова з усіма спорудами на ньому. Ось до чого призводить прийняття одного разу неправильного рішення.

Цікаві спостереження

Якщо у нас є така задача. Інвестор придбав пакет акцій компанії за 10 млн. грн., А через чотири роки продав його за 20 млн. грн., Збільшивши свій капітал у два рази. Цікаво дізнатися, яку середньорічну прибутковість він отримав від своїх інвестицій, розраховану за методом складних відсотків?

"Правило 72" дозволяє нам швидко без допомоги калькулятора визначити прибутковість інвестицій. "Правило 72" говорить: якщо число 72 розділити на число років, за яке було досягнуто подвоєння інвестицій, то отримаємо процентну ставку, яка показує середньорічну прибутковість наших інвестицій і навпаки.

У розглянутому прикладі

Прибутковість = 72 / Число років = 72/4 = 18%.

Якщо відома процентна ставка, під яку можна розмістити грошові кошти на фінансовому ринку, то, користуючись "правилом 72", легко визначити, скільки років має пройти, щоб інвестиції подвоїлися. Наприклад, банк пропонує депозит під 7% річних. Щоб розрахувати період подвоєння, необхідно 72 поділити на процентну ставку, що в нашому прикладі складе

Число років = 72/7 = 10,3 року.

Слід зазначити, що "правило 72" дає наближене значення числа років і відсотків, необхідних для подвоєння інвестицій. Наприклад, для подвоєння вкладень за чотири роки необхідна річна прибутковість у розмірі 19%, а не 18%, як вийшло при використанні "правила 72". Для того щоб вкладення, розміщені під 7% річних, подвоїлися, необхідно 10,2 року, а за "правилом 72" вийшло 10,3 року. Як бачите, різниця несуттєва, і цей підхід цілком може застосовуватися для приблизної оцінки інвестиційних рішень.