Тема 1. 2 операции над множествами.

 

Рассмотрим операции над множествами:

1) операция включения ():

Множество А включается в множество В или множество А является подмножеством множества В (А В), если любой элемент множества А содержится в множестве В.

Используется теоретико-множественные диаграммы или диаграммы Венна, при решении операции включения:

 

 

Множество А строго включается в множество В, если во-первых А является подмножеством В и существует элемент bÎВ, такой что b А.

 

, где k – количество элементов, т.е. =k, тогда количество подмножеств множества А определяется как 2^k.

Свойства подмножеств:

А) Пустое множество является подмножеством любого множества: Æ

Б) Всякое множество является своим собственным подмножеством:

 

2) операция объединения:

Объединением двух множеств А и В называется новое множество , которое содержит элементы, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В

 

 

3) операция пересечения:

Пересечением множеств А и В называется новое множество , которое состоит из элементов, каждый из которых принадлежит и множеству А и множеству В

4) операция разности:

Разностью множеств А и В называется новое множество , которое содержит элементы, каждый из которых принадлежит множеству А и не принадлежит множеству В.

5) операция прямого произведения:

Прямым произведением двух множеств А и В, называется новое множество , такое которое состоит из упорядоченных двоек чисел (а, b), причем таких, что первый элемент из этой двойки , второе .

Два множества А и В, называется равными, если множество А является подмножеством множества В, а В является подмножеством множества А.

.

Самостоятельная работа № 1

Тема 1.3 Свойства операций.

 

Операции над мно­жествами обладают некоторыми свойствами. Эти свойства выражаются совокупностью тождеств, справедливых независимо от конкретного содержания входящих в них множеств.

1. транзитивность операции включения:

т.е. если множество А является подмножеством В, а множество В является подмножеством множества С, то множество А является подмножеством множества С.

2. дистрибутивность операции пересечения относительно объединения:

т.е. если множество А объединить с множеством В, а потом пересечь с множеством С, то это тоже самое, что А пересечь с С и В пересечь с С, а потом объединить их.

3. дистрибутивность операции объединения относительно пересечения:

т.е. если множество А пересечь с множеством В, а потом объединить с множеством С, то это тоже самое, что А объединить с С и В объединить с С, а потом пересечь их.

4. первый закон двойственности:

т.е. дополнение множества , есть не что иное, как объединение дополнения множества А и дополнения множества В.

5. второй закон двойственности:

т.е. дополнение множества , есть пересечение их дополнений.

6. ассоциативность операции объединения:

7. ассоциативность операции пересечения:

8. свойства операции объединения:

· коммутативность объединения:

,

· ,

· ,

· .

9. свойства операции пересечения:

· коммутативность пересечения:

,

· ,

· ,

· .

10. свойства операции разности:

· ,

· ,

· ,

· ,

· .

11. дополнение к дополнению любого множества есть всегда само множество, т.е.

12.

13.

 

Тест

1. Будет ли пустое множество V каким-либо подмножеством некоторого множества?

а) будет собственным подмножеством;

б) будет несобственным подмножеством;

в) не будет никаким подмножеством.

2. Что есть множество А\В, если А - множество всех книг в библиотеке МЭСИ по различным отделам науки и искусства, а В – множество всех книг во всех библиотеках России?

а) множество математических книг в России без математических книг в МЭСИ;

б) множество книг по искусству в библиотеке МЭСИ;

в) множество книг в библиотеке МЭСИ по искусству и науке, кроме математических.

3. Совпадают ли дистрибутивные законы Булевой алгебры и алгебры действительных чисел;

а) оба совпадают;

б) оба не совпадают;

в) один совпадает, другой - нет.

4. Есть ли законы для дополнений в алгебре действительных чисел?

а) да;

б) нет;

в) некоторые есть, некоторых нет.

5. Справедливы ли законы идемпотентности Булевой алгебры в алгебре действительных чисел?

а) справедливы;

б) несправедливы;

в) один справедлив, другой нет.

6. Обладают ли свойством двойственности формулы поглощения?

а) да;

б) нет;

в) одна обладает, другая нет.

7. Можно ли поставить в соответствие единицу или ноль соответственно универсальному и пустому множеству, исходя из свойств операций?

а) можно;

б) единицу - можно, ноль - нет;

в) ноль - можно, единицу - нет.

8. Обладают ли формулы склеивания свойством двойственности

а) нет;

б) да;

в) одна обладает, другая нет.

9. Будет ли каждое из множеств А, В, С, D подмножеством другого, если А - множество действительных чисел, В - множество рациональных чисел, С - множество целых чисел, D - множество натуральных

чисел.

а) да;

б) нет;

в) лишь некоторые из множеств являются подмножествами перечисленных множеств

Контрольная работа

1 Вариант

 

1. А={х | х N: х-однозначное, составное число}
В={7,8,13}

Определить количество подмножеств у множества А. Выписать все подмножества у множества В.

2. Х={ однозначные натуральные числа, кратные 3}
Y={1,3,5,6,8}

Найти: Х Y, X Y, X\Y, Y\X

3. А=(-1,8]; В=[0,12]

Найти: А\В, В\А, В\(А В), A\(A B)

4. Доказать: А (В\С)=(А В)\(А С)

5. Упростить: (А В) ()U ( В)

 

2 Вариант

 

1. А={х | x N: х-однозначное простое число}
В={0,3,21}

Определить количество подмножеств у множества А. Выписать все подмножества у множества В.

2. Х={ Однозначное натуральное число: 4}
Y={2,3,4,5,6,8,11}

Найти: Х Y, X Y, X\Y, Y\X

3. А=[2,14]; В=(-3,10]

Найти: А\В, В\А, В\(А В), A\(A В)

4. Доказать: = U

5. Упростить: (А В) ( )( В)

 

Раздел 2. ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ.