Свойства функции распределения двумерной случайной величины

1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е. .

Утверждение следует из того, что есть вероятность.

2. Функция распределения есть неубывающая функция по каждому из аргументов, т.е.

при ,

при .

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в , функция распределения равна нулю, т.е.

.

Функция распределения в отмеченных случаях равна нулю, так как события и их произведения представляют невозможные события.

4. Если один из аргументов обращается в , функция распределения становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

,

,

где и – функции распределения случайных величин и , т.е. .

Произведение события и достоверного события есть само событие , следовательно, . Аналогично можно показать, что .

5. Если оба аргумента равны , то функция распределения равна единице: .

Это следует из того, что совместное осуществление достоверных событий есть событие достоверное.

Наиболее полным, исчерпывающим описанием многомерной случайной величины является закон ее распределения. При конечном множестве возможных значений многомерной случайной величины такой закон может быть задан в форме таблицы (матрицы), содержащей всевозможные сочетания значений каждой из одномерных случайных величин, входящих в систему, и соответствующие им вероятности. Так, если рассматривается двумерная случайная величина , то ее двумерное распределение можно представить в виде таблицы (матрицы) распределения, в каждой клетке которой располагаются вероятности произведения событий: .

 

Таблица 4.1

		…		…
		…		…
…	….	…	…	…	…	…
		…		…
…	…	…	…	…	…	…
		…		…
		…		…

 

Здесь ; , с условием нормировки: .

Функция распределения имеет вид , где – единичные ступенчатые функции. Единичной ступенчатой функцией называется функция вида

Чтобы по таблице распределения найти вероятность того, что одномерная случайная величина примет определенное значение, надо просуммировать вероятности из соответствующей этому значению строки (столбца) данной таблицы.

Определение. Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал).

Если зафиксировать значение одного из аргументов, например положить , то полученное распределение случайной величины при условии . Вероятности этого распределения будут условными вероятностями события , найденными в предположении, что событие произошло. Из определения условной вероятности

.

Аналогично, условное распределение случайной величины при условии задается с помощью условных вероятностей

.

Случайные величины и называются независимыми, если их совместная функция распределения представляется в виде произведения функции распределения и этих случайных величин, т.е.

.

В противном случае, при невыполнении этого равенства, случайные величины и называются зависимыми.

Определение. Зависимость между двумя случайными величинами называется вероятностной (стохастической или статистической), если каждому значению одной из них соответствует определенное (условное) распределение другой.