Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Аннулирующий многочлен подпространства⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 15
Будем говорить, что многочлен p (t) аннулирует подпространство W, если он аннулирует каждый вектор из W. Аннулирующий многочлен подпространства W наименьшей степени называется минимальным аннулирующим многочленом подпространства W. Как и минимальный аннулирующий многочлен вектора, минимальный аннулирующий многочлен подпространства определен с точностью до множителя. Для определенности, будем считать старший коэффициент минимального аннулирующего многочлена подпространства равным 1. Свойство 10.29. Аннулирующий многочлен подпространства делится без остатка на минимальный аннулирующий многочлен этого же подпространства. Доказательство. Пусть f (t) –аннулирующий многочлен, а p (t) – минимальный аннулирующий многочлен. Разделим f (t) на p (t) с остатком f (t)= p (t) g (t)+ r (t). Тогда для вектора x из W справедливо равенство . Так как степень r (t) меньше степени p (t), и многочлен r (t) аннулирует любой вектор x из W, то единственная возможность r (t)=0. Теорема 10.41. Минимальный аннулирующий многочлен подпространства равен наименьшему общему кратному минимальных аннулирующих базисных векторов. Доказательство. Пусть - базис подпространства W, h - минимальный аннулирующий многочлен подпространства W,а - минимальный аннулирующий многочлен вектора , где i =1,…, k. Многочлены являются делителями h (t) (Свойство 10.28). С другой стороны, наименьшее общее кратное этих многочленов аннулирует все базисные векторы, а значит и любой вектор из W. Следствие 10.22. Минимальный аннулирующий многочлен подпространства является делителем характеристического многочлена. Доказательство. Пусть - базис подпространства W, а - минимальный аннулирующий многочлен вектора , где i =1,…, k. Многочлены являются делителями характеристического многочлена (Теорема 10.40), следовательно, характеристический многочлен делится и на их наименьшее общее кратное, равное минимальному аннулирующему многочлену подпространства. Если в качестве подпространства взять все пространство, то минимальный аннулирующий многочлен подпространства называется минимальным аннулирующим многочленом. Следствие 10.23. Минимальный аннулирующий многочлен является делителем характеристического многочлена и имеет то же самое множество корней.
Доказательство очевидно. Функции от матриц Пусть f (t) некоторый многочлен, и требуется вычислить значение матрицы A от этого многочлена. В арифметическом пространстве матрица A задает линейное преобразование. Обозначим через g (t) минимальный аннулирующий многочлен этого преобразования. Разделим многочлен f (t) на g (t) с остатком f (t)= h (t) g (t)+ r (t). При подстановке матрицы A получим равенство f (A)= h (A) g (A)+ r (A)= r (A). Таким образом, вычисление значения многочлена от матрицы сводится к вычислению значению его остатка. Остаток от деления r (t) можно вычислить как интерполяционный многочлен Лагранжа - Сильвестра от корней минимального многочлена. Ничего не изменится в проведенных рассуждениях, если вместо многочлена f (t) использовать произвольную функцию, значения которой, а также значения ее производных соответствующих порядков, определены на множестве корней минимального многочлена. В некоторых случаях в качестве минимального многочлена берут характеристический многочлен.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-17; просмотров: 130; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.153.38 (0.005 с.) |