Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Экстремальные свойства главных напряжений.
Круговая диаграмма Мора
Возьмем в теле произвольную точку А (х, у, z). Через эту точку можно провести бесконечное множество площадок. Очевидно, что на одной из площадок нормальное напряжение достигнет наибольшего для данной точки значения, а на другой касательное напряжение примет свое максимальное значение. Пусть для точки А известно положение главных осей напряженного состояния. Если их принять за систему координат (рис. 23), то в наклонной площадке с вектором нормали n (l, m, n) возникают нормальные и касательные напряжения Р(s, t). Определим эти напряжения и исследуем их экстремальные свойства.
Рис. 23
Нормальные напряжения в любой наклонной площадке выражаются основной квадратичной формой (33). Запишем её с учетом того, что в качестве системы координат приняты главные оси:
sn = s1×l2 + s2×m2 + s3×n2. (38)
Найдем квадрат полного напряжения на наклонной площадке как сумму квадратов его проекций, выражения для которых были найдены ранее (32):
Р2 = Pх2+ Pу2 + Pz2 = s12×l2 + s22×m2 + s32×n2. (39)
Также полное напряжение на наклонной площадке можно представить как сумму нормального и касательного напряжений (17). Таким образом, мы имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными - l2, m2, n2:
s = s1×l2 + s2×m2 + s3×n2 s2 + t2 = s12×l2 + s22×m2 + s32×n2 (40) 1 = l2 + m2 + n2
Умножим каждое уравнение на произвольные множители a, b, c и сложим, сгруппировав при этом слагаемые по направляющим косинусам
а×s + b×(s2 + t2) + с = = l2×(а×s1 + b×s12 + с) + m 2×(а×s2 + b×s22 + с) + n 2×(а×s3 + b×s32 + с). (41)
Для определения величины l2 подберем коэффициенты a, b, c таким образом, чтобы вторая и третья скобки в правой части уравнения (41) обнулились:
а×s2 + b×s22 + с = 0, а×s3 + b×s32 + с = 0, получаем
b = 1, а = -(s2 +s3), с = s2×s3.
Подставляя полученные коэффициенты в уравнение (41), находим величину l2:
l2= . (42)
Аналогично находим квадраты двух других направляющих косинусов
m 2 = , (43) n 2 = .
В уравнениях (42) и (43) дроби должны быть больше нуля, т.к. в левых частях стоят квадраты величин. Проанализируем знаменатели дробей на основе неравенства s1 ³ s2 ³ s3:
³ 0, £ 0, (44) ³ 0.
На основе неравенств (44) можно сделать вывод о знаке числителя:
³ 0, £ 0, (45) ³ 0.
Сделав ряд математических преобразований, можно показать, что неравенства (45) представляют собой области, ограниченные окружностями. Рассмотрим третье неравенство и представим его решение графически (рис. 24):
(46)
Представим решение системы (45) графически (рис. 25). Эта диаграмма называется круговой диаграммой Мора. Круговая диаграмма позволяет установить экстремальные свойства нормальных и касательных напряжений.
Рис. 24
s1 – максимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке; s3 – минимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке; tmax = – максимальное касательное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке, действует на площадках наклоненных к главным на угол 45°.
Рис. 25
|
|||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 270; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.40.64 (0.006 с.) |