Принцип непрерывности магнитного поля. Формула Остроградского.

 

вычислим поток через замкнутую поверхность, имеющую площадь S. Можно провести такую замкнутую линию L таким образом, чтоб в любой точке справа от L линии магнитной индукции входили в этот объем, а слева – выходили.

 

В каждой части поверхности S выделим очень маленькую площадь . Выберем положительный обход поверхности и представим вектором. Векторы этих площадок всегда направлены от поверхности. Таким образом, вектора и имеют между собой тупой угол. Следовательно, поток, пронизывающий имеет знак «-».

Угол между и - острый, поэтому поток, пронизывающий имеет знак «+».

Для каждой площади справа от линии L найдется площадь слева от линии, так что суммарный поток через эти площадки = 0.

.

Перемещая площадь вдоль линий магнитной индукции мы убеждаемся в том, что для любого положения справедливо уравнение . Это нас приводит к выводу о том, что линии магнитной индукции непрерывны и замкнуты.

 

Векторное поле, для которого выполняется это уравнение называется соленоидальным, а векторное поле, для которого выполняется это уравнение – вихревым.

 

Как охарактеризовать способность порождать вектор в каждой точке?

Дивергенция вектора характеризует возможность порождения потока в каждой точке пространства.

Предположим, что у нас есть вектор а, который пронизывает замкнутую поверхность S.

Обозначим объем, ограниченный площадью S как . Введем новую величину, которая равна:

.

Эта величина характеризует способность объема порождать вектор . Устремим к нулю и выведем величину – дивергенция вектора , которая определяется этим уравнением.

 

Формула Остроградского

 

,

где замкнутая поверхность;

объем, который заключен в замкнутой поверхности.

Формула позволяет заменить интеграл по поверхности интегралом по объему.

Как мы знаем: .

Следовательно .

Последнее уравнение – это еще одна запись принципа непрерывности магнитного поля.

 

Основные уравнения, связывающие электрические и магнитные величины.

 

Среди основных величин в системе СИ есть одна величина – сила электрического тока, которая позволяет установить вместе с другими единицами единицы измерения электрических и магнитных величин.

 

Формула Ампера.

Она используется для установления силы электрического тока:

где токи, протекающие по двум проводникам бесконечной длины и бесконечно малого сечения, расположенные на расстоянии b друг от друга;

сила взаимодействия на расстоянии 1м;

магнитная постоянная, одна из фундаментальных постоянных электромагнитного поля.

 

Для установления магнитной постоянной примем:

тогда:

- это коэффициент, определяемый выбором системы единиц.

 

Поле движущегося заряда.

 

Сконструируем формулу для вычисления индукции , будем при этом учитывать:

1. Эта формула содержит .

2. Индукция – величина векторная, зависящая от векторов , следовательно, формула содержит множитель .

3. - пропорционально модулю вектора. Это противоречит опыту – индукция с увеличением расстояния должна уменьшаться, значит нужно добавить такой множитель, чтобы индукция была обратно пропорциональна квадрату расстояния: нужно добавить .

Можем записать: . (Эта формула не когерентна, потому что с ее помощью не возможно вывести единицы измерения ).

Вектор направлен таким образом, что если смотреть из острия этого вектора, то поворот вектора до совпадения с происходит в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки. Поворот производится по меньшему углу.

 

Закон Био-Савара-Лапласа.

Вычислим индукцию , которая создается элементом проводника в точке Р. По проводнику протекает ток . Сконструируем формулу для вычисления :

 

.

 

Эта формула была получена Лапласом на основании экспериментальных данных, которые были получены Био и Саваром. Формула более универсальна и позволяет вычислить индукцию в точке Р в зависимости от конфигурации проводника. В частности, в случае если проводник выполнен в виде прямой, которая лежит в плоскости доски. Тогда индукция в точке Р, расположенной на расстоянии от проводника:

 

.

 

Сила Лоренца.

Установлено, что на заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила :

 

- это формула подвижного заряда,

 

где заряд;

скорость движения заряда;

индукция.

Т.к. сила действует перпендикулярно скорости, то изменить кинетическую энергию тела, которое несет заряд невозможно. Изменяется только направление движения.

 

 

Замечания к формуле:

1. сила является только одной из составляющих сил, действующих на заряд. Если есть электрические и магнитные силы, то суммарная сила:

 

,

 

где напряженность эл. поля.

2. это уравнение когерентное – удобное для установления единиц измерения индукции. Если заряд равен 1Кл. и движется со скоростью 1 м/с в равномерном магнитном поле и сила взаимодействия равна 1Н, то индукция магнитного поля принимается равной единице, т.е. 1Тл.