Вынужденные гармонические колебания пружинного маятника

Незатухающие гармонические колебания в реальной колебательной системе можно получить с помощью внешней вынуждающей силы F (t), изменяющейся по гармоническому закону: .

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями.

Второй закон Ньютона для вынужденных колебаний пружинного маятника:

или

.

Полученное выражение представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний пружинного маятника.

Решением этого дифференциального уравнения является функция :

.

При этом амплитуда вынужденных колебаний определяется по формуле:

.

Из этой формулы следует, что амплитуда колебаний А имеет максимум при частоте , называемой резонансной частотой :

.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом.

Тема 8. Гармонические колебания физического маятника

Физический маятник – это твердое тело, имеющее ось вращения и совершающее колебания под действием тангенциальной составляющей силы тяжести F_t (F_t = mg sin a (рис. 7), где a – отклонение физического маятника от положения равновесия).

 

 

Рис. 7

Если физический маятник массой m отклонен от положения равновесия на некоторый угол a, то момент M возвращающей силы F_t:

,

где l – плечо силы F_t, то естьрасстояние от центра масс (точка С) до оси маятника (рис. 7).

В случае малых колебаний физического маятника,то есть для малых углов отклонения маятника от положения равновесия sin a» a и тогда

.

По второму закону Ньютона для вращательного движения твердого тела:

или ,

где I — момент инерции маятника относительно его оси.

Знак минус в последнем уравнении обусловлен тем, что вектора момента возвращающей силы и угла поворота имеют противоположные направления.

Обозначив , получим дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний физического маятника:

.

Решением этого дифференциального уравнения является функция :

,

где – отклонение физического маятника от положения равновесия в момент времени t;

– амплитудаколебаний;

w ₀ – круговая (циклическая) частота;

(w ₀ t + j₀) – фаза колебаний в момент времени t;

j ₀ – начальная фаза колебаний.

Период малых гармонических колебаний физического маятника:

.

Тема 9. Механические волны

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волной. Упругими (или механическими) называются волны, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные.

В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, а в поперечных – в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, то есть в твердых, жидких и газообразных телах.

Поперечные волны могут возбуждаться только в твердых телах, в которых возникают упругие деформации сдвига.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

На рис. 8 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью вдоль оси х, то есть приведена зависимость смещения x частиц среды, участвующих в волновом процессе, от расстояния х от этих частиц до источника колебаний О для фиксированного момента времени t. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l (рис. 8). Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний T, т. е. .

 

 

Рис. 8

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Если волновые поверхности представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер, то, соответственно, волна называется плоской или сферической.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдолположительного направления оси х имеет вид:

,

где А – амплитуда волны;

w – круговая (циклическая) частота;

– фаза плоской волны;

j ₀ – начальная фаза волны, определяемая в общем случае выбором начала отсчета для х и для t.

Для характеристики волн используется волновое число k:

.

С учетом этого выражения для k, уравнение плоской волны примет вид:

.