Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.
Можно приближенно вычислять значение функции в точках близких к заданной точки. 3Ö8,001=1 х0=8 х=8,000 f(x)=3Öx f(x0)=f(8)=2 Проведём линеаризацию выбранного корня. f’(x)|х=8=(3Öx)’|x=8=1/3x-2/3|x=8=1/12 3Öx»2+1/12(x-8), x»8 3Öx»2+0,001/12 Yкас=2+1/12(x-8) 3Öx=2+1/12(x-8)+o(x-8) при х®8 Погрешности вычисления. f(x)-f(x0)=df(x0)+o(x-x0) при х®х0 ∆f(x0)»df(x0), x»x0 ∆1=|∆f(x0)|»|df(x0) f(x)=10x в точке х0=4, если |∆х|=0,001 х=4±0,001 104±|∆|=104±|23| f’(x)=10xln10; f’(4)=104ln10=23000; ln10»2,2 |∆|»23000·0,001=23 Изучение поведения функции при помощи первой производной. Слева от М0 tg a>0; Справа от М0 tg a<0 tga f’(x)>0 слева от М0 tga f’(x)<0 справа от М0
Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема " xÎ(a,b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)
a(|x1 |x2)b
"x1,x2Î(a,b) x1<x2 Надо доказать: f(x1)<f(x2) Применим теорему Лангранджа на отрезке (х1,x2)Теорема. f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1) где cÎ(x1,x2) f(x2)-f(x1)>0 Þ f(x2)>f(x1) Экстремумы функции. Можно указать О(х1) в которой все значения функции f(x)<f(x1) b и О°d1(х1) анологично для точки х2 f(x)>f(x1) b и О°d2(х1). Значенгие функции в точке М1, М3 и М5 – max; M2 и М4 – min – такие точки назавыются точкками экстремума или точками локального max и min. Определение: (точки экстремума) Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х0) и f(x)>f(x0) в О°(х0) или f(x)<f(x0) в этом случае точка х0 – называется точкой локального max (min). Замечание: f(x)£f(x1) в Оd1(х1) f(x)³f(x2) в Оd2(х2) говорят, что точки х1 и х2 точки не строгого локального экстремума.
Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции) Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х0 и точка х0 – точка экстремума, тогда f(x0)=0 Доказательсто: Заметим, что х0 точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x0) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x0)=f(x)-f(x0)(x-x0)+o(x-x0) f(x)-f(x0)=(x-x0)[f(x0)+a(x-x0)] то при х – достаточно близких к х0 знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x0)¹0 (x-x0) – меняет знак при переходе черех точку х0 Þ f’(x0)=0
Лекция №13 Тема: «Экстремумы»
Замечание: Обратное утверждение неверно. Из-за того, что произведение в данной точки равно нулю, не следует, что это экстремум. y=(x-1)3 y’=3(x-1)2 y’(1)=0 x0=1 xÎO°-d(1)Þf(x)<0 xÎO°+d(1)Þf(x)<0 x=1 – не точка экстремума.
Теорема (Ролля): Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда $ сÎ(a,b): f(c)=0
Доказательство: Така как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по второй теореме Вейштрасса есть наибольшее и наименьшее значение (m,M), если m=M, то f(x)ºconst ("xÎ[a,b]) (const)’=0. Пусть m<M, тогда либо m, либо М отлична от значений на концах отрезка. Пусть например M¹f(a):$ c(a,b):f(c)=M, то есть точка с точка экстремума максимума следовательно по теореме Ферма f’(c)=0 Замечание: условие дифференцируемсти нельзя отбросить. непрерывна на отрезке [a,b] Геометрический смысл. f’(x)=0, то касательная || оси х. Теорема не утверждает, что это единственная точка. Теорема Лангранджа: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на отрезке (а,b), то $ сÎ(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a) Доказательство: F(x)=f(x)+lx где l - пока неизвестное число. F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] как сумма непрерывной функции f(x) – дифференцируема на отрезке [a,b] как сумма дифференцируемой функции. Выберем число l, так чтобы на отрезке [a,b] F(x) принимало равное значение. F(a)=f(a)+la F(b)=f(b)+lb F(a)=F(b) Þ f(a)-f(b)=l(a-b) Þ l=[f(b)-f(a)]/[b-a] F(x) – удовлетворяет условию теоремы Роллера на отрезке [a,b] Þ $ cÎ(a,b):F’(c)=0, то есть F’(x)=f’(x)+l 0=f’(c)+l Þ f’(c)=-l=[f(b)-f(a)]/[b-a] То есть на кривой которая наклонена к оси х под таким же углом как и секущая [f(b)-f(a)]/[b-a]=tga=f(x) $ cÎ(a,b) Замечание: Часто точку с можно представить в нужном виде: с=х0+q∆х 0<(c-x0)/(x-x0)= q<1 c-x0=q(x-x0) c=x0+q(x-x0)1 f(x)-f(x0)=f’(x0+q∆x)(x-x0) 0<q<1 ∆f(x0)=f’(x0+q∆x)∆x Теорема: (о необходимых и достаточных условиях экстремума по первой производной) Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в О°(х0). Если f’(x) меняет знак при переходе через точку х0, то точка х0 – точка экстремума. Если меняет знак: с + на – то это точка максимума с – на + то это точка минимума Доказательство: " х1 Î О°-(х0) на [x1,x0]; $ c1Î(x1,x0) f(x0)-f(x1)=f’(c1)(x0-x1) Þ f(x0)>f(x1) "x1ÎO°-(x0) " х2 Î О°+(х0) на [x0,x2]; $ c2Î(x0,x2) f(x2)-f(x0)=f’(c2)(x2-x0) Þ f(x2)<f(x0) "x2ÎO°+(x0) f(x0)>f(x) "xÎO°(x0) Þ точка х точка максимума. Если в точке х0 существует производная то она обязательно равна 0 в силе теоремы Ферма. Но могут быть точки в которых f(x) существует, а f’(x) не существует.
Принцип решения подобных задач: Условие: найти наибольшее и наименьшее значение функции не отрезке [a,b]. Ход решения: 1) Находим точки в которых производная либо равна 0 либо не существует f’(x)=0 или f’(x) 2) Вычисляем знак функции на концах отрезка и в этих точках f(a), f(b), f(x1)….f(xn) 3) Выбираем наибольшее и наименьшее m£f(x)<M Определение: точки в которых функция определена, а производная либо равняется нулю, либо не существует называют критическими точками.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 176; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.205.223 (0.01 с.) |