Лекція 1 основні поняття математичної фізики. диференціальні рівняння з частинними похідними

Вступ

 

Мета цього посібника – допомогти студентам глибше засвоїти матеріал таких спеціальних розділів, як „Рівняння ма-тематичної фізики” та „Операційне числення”. Математична фізика, як теорія математичних моделей фізичних явищ, займає особливе місце як у математиці, так і у фізиці. Перебуваючи на стику цих наук, математична фізика тісно зв'язана з фізикою в тій частині, яка стосується побудови математичної моделі, і в той самий час математична фізика – розділ математики, оскільки методи дослідження моделей є математичними.

Наприкінці XVII століття методи математичної фізики як теорії математичних моделей почали інтенсивно розроблятися в працях І. Ньютона щодо створення основ класичної механі-ки, всесвітнього тяжіння, теорії світла. Подальший розвиток методів математичної фізики (XVIII – перша половина XIX століття) і їхнє успішне застосування до вивчення математич-них моделей величезного обсягу різних фізичних явищ пов'я-зані з іменами Ж. Лагранжа, Л. Ейлера, П.Лапласа, Ж. Фур’є, К. Гауса, Б. Рімана, М. Остроградського та інших учених.

Великий внесок у розвиток методів математичної фізики зробили О. Ляпунов та В. Стєклов. З другої половини XIX століття методи математичної фізики успішно використовува-лися для вивчення математичних моделей фізичних явищ, пов'язаних з різними фізичними полями і хвильовими функ-ціями в електродинаміці, акустиці, теорії пружності, гідро- й аеродинаміці та інших напрямах дослідження фізичних явищ у суцільних середовищах. Математичні моделі цього класу явищ найчастіше описуються за допомогою диференціальних рівнянь з частинними похідними, що одержали назву рівняння математичної фізики.

У зв'язку з бурхливим розвитком електронної та обчислю-вальної техніки особливе значення для дослідження матема-тичних моделей фізики набувають прямі чисельні методи, і в першу чергу скінченно-різницеві методи розв’язування крайо-вих задач, що дозволило методами математичної фізики ефек-тивно вирішувати нові задачі газової динаміки, теорії перено-су, фізики плазми, у тому числі і зворотні задачі цих напрям-ків фізичних досліджень. Поряд із традиційними розділами математики стали широко застосовуватися теорія операторів, теорія узагальнених функцій, теорія функцій багатьох комп-лексних змінних, топологічні і алгебраїчні методи. Інтенсивна взаємодія теоретичної фізики, математики і використання комп’ютерів у наукових дослідженнях, привела до значного розширення математики, створення нових класів моделей і піднесла на новий рівень сучасну математичну фізику.

Постановка задач математичної фізики полягає в побудові математичних моделей шляхом виведення диференціальних, інтегральних або алгебраїчних рівнянь, що характеризувати-муть відповідний фізичний процес та описуватимуть основні закономірності досліджуваного класу явищ. При цьому вихо-дять з основних фізичних законів, що враховують тільки най-істотніші риси явища, відкидаючи низку його другорядних характеристик. Ефективним способом розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними є викори-стання операційних методів, зокрема перетворення Лапласа.

Теоретичний матеріал цих розділів можна знайти в підручниках [1–6], тому даний конспект лекцій містить у вигляді довідкового матеріалу в рамках робочої програми для спеціальностей нафтогазової справи лише ті короткі відомості з теорії, які безпосередньо застосовуються при розв’язуванні задач.

Посібник буде корисним як студентам, так і викладачам, які ведуть практичні заняття з курсу математичної фізики.

 

Лекція 1 основні поняття математичної фізики. диференціальні рівняння з частинними похідними

 

Рисунок 2.2 – Стержень, один з кінців якого закріплений, а другий – вільний

(2.11)

 

Дійсно так, бо для закріпленого кінця характерним є те, що зміщення його весь час дорівнює нулю, а для вільного кінця – те, що у перерізі пружна сила . Отже, . Звідси

2) Нехай один кінець стержня закріплений жорстко, а до вільного кінця ( ) прикладено силу P (Рисунок 2.3). Тоді маємо:

Рисунок 2.3 – Один кінець стержня жорстко закріплений, а на другий – діє сила Р

(2.12)

 

3) Нехай обидва кінці стержня жорстко закріплені

(Рисунок 2.4). Тоді:

 

 

Рисунок 2.4 – Обидва кінці стержня жорстко закріплені

(2.13)

 

4) Нехай один кінець стержня () жорстко закріп-лений, а на другому кінці () має місце в’язкий опір з коефіцієнтом в’язкості (Рисунок 2.5).

Тоді, враховуючи, що сила в’язкого опору пропорційна швидкості руху, і записуючи умову рівноваги на правому кінці, маємо:

Рисунок 2.5 – На правому кінці стержня має місце в’язкий опір

 

(2.14)

 

5) Нехай один кінець стержня () жорстко закріп-лено, а до другого () приєднано вантаж маси М (Рисунок 2.6). Тоді на цьому кінці виникає сила інерції, яка дорівнює добутку маси вантажу на прискорення руху. Записуючи умову рівноваги на кінці маємо:

Рисунок 2.6 – Один кінець стержня жорстко закріплено, а до іншого приєднано вантаж маси М

(2.15)

 

6) Нехай один кінець стержня () жорстко закріп-лено, а другий () – пружно: до цього кінця прикріплено пружину з жорсткістю с (Рисунок 2.7). Оскільки вважається, що сила натягу пружини прямо пропорційна зміщенню, то, записуючи умову рівноваги на кінці маємо:

Рисунок 2.7 – Один кінець стержня закріплено жорстко, а другий – пружно

 

(2.16)

 

Задача 2.1 Стержень довжини l, один кінець якого жорстко закріплено, перебуває у стані спокою. У деякий момент часу () до його вільного кінця прикладено силу Q, напрямлену вздовж осі стержня. Сформулювати задачу про поздовжні коливання стержня.

Щоб поставити задачу, потрібно записати диференціальне рівняння, яке моделює даний фізичний процес, а також початкові та крайові умови, які відображають специфіку цієї задачі. Вважаємо, що стержень перебуває у стані спокою. Коливання виникають у момент прикладання сили Q до вільного кінця, отже,

,

Розв’язком цієї задачі є функція класу .

Задача 2.2 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплено, а до вільного кінця прикладено силу P, причому в момент часу дія сили раптово припиняється.

Як і в попередній задачі вважаємо, що в початковий момент часу стержень перебуває у стані спокою. Сила P до її зняття встигла розтягнути стержень – кожний переріз х на свою величину U. Знайдемо її:

, .

Зінтегрувавши останнє рівняння по змінній х у межах від 0 до х, отримаємо:

. Тоді постановка задачі має вигляд:

 

,

Зауважимо, що тут коливання виникають у момент зняття сили Р. Розв’язком цієї задачі є функція класу .

Задача 2.3 Верхній кінець вертикального підвішеного важкого стержня прикріплено до стелі ліфта, який вільно падає, причому досягши швидкості V, він раптово зупиняється. Поставити задачу про поздовжні коливання стержня.

Тут коливання виникають у момент зупинки ліфта, коли раптово починає діяти сила тяжіння. Сила тяжіння відноситься до зовнішніх сил і тому її вплив проявиться в диференціальному рівнянні, отже,

 

,

 

Розв’язком цієї задачі є функція класу .

Контрольні запитання

2.1 Які припущення відносно геометричного та фізичного стану стержня слід зробити при виведенні рівняння, яке б описувало поздовжні коливання, що виникають у ньому під час розтягу або стиску внаслідок прикладених зусиль?

2.2 На які фізичні закони спираються при виведенні хвильово-

го рівняння, що описує поздовжні коливання стержня?

2.3 Вигляд хвильового рівняння у випадку важкого стержня.

2.4 З чого складається постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання стержня?

2.5 Що задають та характеризують початкові умови?

2.6 На що вказують крайові умови? Різновиди крайових умов.

 

 

Лекція 3 поперечні коливання струни

 

Рисунок 3.2 – Початкова форма струни

 

Постановка задачі буде наступною:

,

Зауважимо, що при отриманні першої початкової умови можна скористатися рівнянням прямої, яка проходить через дві точки:

.

Зауваження.

1) Хвильове рівняння характеризує не тільки процеси поздовжніх коливань стержня і поперечних коливань струни. Воно є універсальною математичною моделлю для всіх коливальних процесів різної фізичної природи. Так, хвильове рівняння описує електричні коливання, крутильні коливання валу, акустичні коливання пружного газу тощо.

2) Також хвильове рівняння можна поширити на коливальні процеси, які відбуваються не лише в одновимірному просторі, як у випадках зі стержнем чи струною, але й у двовимірному та тривимірному просторі. Так, хвильове рівняння, що моделює вільні поперечні коливання плоскої мембрани у формі області , має вигляд:

 

, . (3.8)

 

А тривимірна модель коливального процесу в деякій просторовій області має такий вигляд:

 

, . (3.9)

 

Таке рівняння описує, наприклад, закон поширення світлових та електромагнітних хвиль у просторі. Фізичний зміст сталої а у хвильовому рівнянні – це швидкість розповсюдження хвиль у відповідних хвильових процесах.

Контрольні запитання

3.1 При яких припущеннях виведено хвильове рівняння для поперечних коливань струни?

3.2Що визначає функція , яка є розв’язкомхвильового рівняння для поперечних коливань струни?

3.3Як вільний член у хвильовому рівнянні впливає на характер коливань (вільні коливання чи вимушені)?

3.4 У чому полягає фізичний зміст коефіцієнта у хвильовому рівнянні для поперечних коливань струни?

3.5 З чого складається постановка задачі про поперечні коливання струни?

3.6 Чим задають початкову форму струни і початкові швидкості точок струни?

3.7 Що відображають крайові умови?

3.8 Що є визначальним у постановці задачі про поперечні коливання нескінченної струни?

 

 

Рисунок 4.1 – Початкова форма струни

 

Постановка задачі буде наступною:

 

,

Згідно з нашою постановкою функції , . Отже, у (4.12) коефіцієнт . Знайдемо коефіцієнт :

 

Нульові члени можна виключити, якщо ввести заміну n =2 m -1, (m =1, 2, 3,...). Тоді

 

Вимушені коливання струни

Задача про вимушені коливання скінченної струни довжини l зводиться до інтегрування неоднорідного диференціального рівняння:

 

, , 4.13)

 

при заданих додаткових умовах:

 

П.У. К.У.

 

Тут функція є заданою у всій розглядуваній області.

Як і при розв’язуванні звичайних неоднорідних диференціальних рівнянь, розв’язок рівняння (4.13) можна шукати як суму двох функцій:

 

(4.14)

перша з яких задовольняє однорідне рівняння

 

, (4.15)

 

при умовах:

П.У. К.У.

 

а друга функція задовольняє неоднорідне рівняння

 

, (4.16)

 

при однорідних умовах

 

П.У. К.У.

 

Функція описує вільні коливання струни, зумовлені наявністю початкових відхилень та початкових швидкостей точок струни. Метод відшукання цієї функції нами вже з’ясовано раніше.

Функція описує вимушені коливання струни, зумовлені дією зовнішніх сил, якщо немає початкових відхилень та швидкостей. Для знаходження функції застосуємо метод Фур’є. Спробуємо знайти функцію як ряд за власними функціями

відповідної однорідної задачі, тобто візьмемо:

, (4.17)

 

де функції підлягають визначенню.

Крайові умови для функції задовольняються, бо всі власні функції задовольняють їх. Щоб задовольнити і початкові умови, досить покласти:

.

Підставляючи функцію в рівняння (4.16) одержимо

 

. (4.18)

 

З метою подальших перетворень розглянемо функцію як функцію однієї змінної (тобто вважатимемо параметром). Припустимо, що функцію можна роз-класти в інтервалі в ряд Фур’є за синусами як функцію однієї змінної :

 

,

 

де

.

 

Щоб рівняння (4.18) задовольнялося, досить накласти вимогу, щоб коефіцієнти при синусах були однакові:

 

. (4.19)

Для визначення маємо звичайне лінійне неоднорід-не диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами при нульових початкових умовах:

 

П.У.

Розв’язок рівняння (4.19) можна шукати методом варіації довільних сталих.

Таким чином, визначивши функції і , знаходимо розв’язок даної задачі як їх суму .

 

Приклад 4.3 Знайти коливання важкої струни із закріпленими кінцями, яка в початковий момент часу перебувала в стані спокою і мала форму .

Поставимо задачу:

, , ,

П.У. К.У.

Шукаємо розв’язок згідно наведеної методики у вигляді:

 

.

 

Знайдемо складові і із відповідних постановок.

1) Постановка задачі для :

, ,

при умовах:

П.У. К.У.

Знайдемо розв’язок цієї задачі за методом Фур’є:

 

,

де ,

для всіх , а для :

.

Тоді розв’язок:

.

3) Постановка задачі для :

 

, , ,

П.У. К.У.

 

Шукатимемо функцію у вигляді ряду:

.

 

Підставимо цю функцію в рівняння:

 

.

 

Розкладемо вільний член в ряд Фур’є за синусами:

,

 

де

Отже,

.

 

Для маємо рівняння

.

Прирівнюючи коефіцієнти при синусах, отримаємо:

.

 

Виключимо нульові значення в правій частині. Для цього достатньо ввести заміну нумерації:

,

Тоді

,

 

при початкових умовах:

 

П.У.

 

Одержали лінійне диференціальне рівняння другого поря-дку із спеціальною правою частиною. Розв’язок шукаємо у вигляді:

 

,

 

де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння:

 

.

 

Розв’язавши характеристичне рівняння

 

,

 

маємо:

.

 

Тоді загальний розв’язок

.

 

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння , враховуючи праву частину, шукаємо у вигляді: .

Для знаходження невідомої сталої підставимо в рівняння:

.

 

Звідси

.

Тоді

.

Отже,

.

Знайдемо і із початкових умов:

 

Тоді

;

.

 

Відповідь:

Контрольні запитання

 

4.1 Який метод застосовують для розв’язування задач про вільні поперечні коливання нескінченої струни?

4.2 Який метод застосовують для розв’язування задач про вільні поперечні коливання скінченної струни?

4.3 Суть методу Фур’є для розв’язування задач на коливання.

4.4 У чому полягає фізичний зміст розв’язку задачі про поперечні коливання?

4.5 У чому полягає задача про вимушені коливання струни?

 

Зауваження

Розглянемо випадок, коли на кінцях стержня задається ненульова температура. Тоді задача має наступну постановку:

 

, ,

П.У. К.У. (6.24)

 

Тут та – сталі температури відповідно на кінцях х= 0 та x=l.

У цій задачі з неоднорідними граничними умовами достатньо зробити підстановку:

 

(6.25)

 

яка зведе її до попередньої задачі відносно функції Цю процедуру пропонується виконати студентам самостійно.

Розглянемо ще одну задачу про поширення тепла у стержні.

2) Знайти розподіл температур в стержні, на одному кінці якого весь час підтримується нульова температура, а другий кінець теплоізольвано при довільній початковій умові.

Поставимо задачу:

 

, ,

 

П.У. U(x,0)=φ(x), К.У. (6.26)

 

Зазначимо, що тут не суттєво, який кінець теплоізольовано. Як бачимо, крайові умови однорідні. Розв’яжемо цю задачу за методом Фур’є, згідно якого

 

(6.27)

 

Тоді рівняння теплопровідності:

 

або

Розглянемо рівняння

,

розв’язок якого

Сталі А та В шукаємо із крайових умов:

 

К.У.

 

Розпишемо граничні умови:

 

Очевидно, що тоді

Звідси ,

Отже,

. (6.28)

Розв’яжемо друге рівняння для функції , що одержується з рівняння теплопровідності:

 

.

 

.

 

Розв’язок цього рівняння:

 

.

Враховуючи, що , , отримаємо

 

. (6.29)

 

Отже, маємо і розв’язок даної зада-чі шукаємо у вигляді:

Поклавши , остаточно будемо мати:

. (6.30)

 

Коефіцієнти визначаються із початкової умови, як у попередній задачі:

 

(6.31)

 

Отже, формули (6.30) і (6.31) дають розв’язок даної задачі.

3) Розв’язати задачу про поширення тепла в стержні, на одному кінці якого стала температура U₀, а другий – теплоізольований.

Поставимо задачу:

 

, ,

П.У. U(x,0)=φ(x), К.У. (6.32)

За методом Фур’є крайові умови мають бути нульовими. Тому проведемо заміну

 

 

 

Рівняння теплопровідності:

,

К.У. (6.33)

 

П.У.

 

За методом Фур’є отримаємо

 

(6.34)

 

де

 

Отже, остаточно маємо:

Приклад 6.2 Розв’язати задачу про поширення тепла у стержні довжиною l, на кінцях якого весь час підтримується нульова температура, а початковий розподіл температур задається функцією

 

Поставимо задачу:

, ,

П.У. К.У.

 

Згідно з методом Фур’є ця задача має розв’язок:

 

 

де

Як відомо, система власних функцій є ортогональною на проміжку , тобто

 

коли , і не дорівнює нулю, коли .

Таким чином, усі коефіцієнти проте коефіцієнт Знайдемо його:

 

Тоді розв’язок задачі запишемо так

 

 

Задача Діріхле

 

Ця задача (перша крайова задача) у просторі формулюється так: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої поверхні рів-няння Лапласа та набуває у кожній точці М поверхні заданих значень:

 

К.У. (6.37)

 

Очевидним можна вважати той факт, що задача Діріхле завжди має розв’язок. Дійсно, якщо, наприклад, кожна точка на поверхні тіла постійно підтримується при певній заданій температурі (яка може бути різною у різних точках поверхні), то у кожній точці тіла встановиться своя температура, яка і дає розв’язок задачі Діріхле при заданих крайових умовах. Також очевидно, що цей розв’язок буде єдиним.

Аналогічно формулюється задача Діріхле у двовимірному випадку: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої кривої Г рівняння Лапласа та набуває у кожній точці М кривої Г заданих значенень:

 

К.У. (6.38)

 

Зазначимо, що задача Діріхле розв’язується дуже просто в одновимірному випадку, коли розглядається, наприклад, стаціонарний розподіл температури у тонкому стержні довжи-ни l з теплоізольованою бічною поверхнею. Тоді задача Діріхле ставиться так: знайти функцію яка задовольняє рівняння Лапласа для усіх і набуває на кінцях стержня заданих значенень:

 

К.У. (6.39)

 

Задача Діріхле у цьому випадку має розв’язок

 

(6.40)

Задача Неймана

 

задача Неймана (друга крайова задача)формулюється так: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої поверхні рівняння Лапласа та її похідна по напрямку зовнішньої нормалі у кожній точці М поверхні набуває заданих значень:

К.У. (6.41)

Нагадуємо, що похідна пов’язана з потоком тепла через поверхню . Аналогічно формулюється задача Неймана для двовимірного та одновимірного випадків.

Мішана задача

Мішана задача (третя крайова задача) формулюється так: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої поверхні рівняння Лапласа, а у кожній точці М поверхні виконується умова:

 

К.У. (6.42)

де функції та є заданими. Цю задачу ще назива-

ють задачею з косою похідною.

 

Задача діріхле для круга

 

Нехай у площині хоу є круг радіуса R з центром в початку координат. на його колі задана деяка функція де – полярний кут. Треба знайти функцію неперервну у крузі, яка задовольняє всередині круга рівнянню Лапласа [1]. Постановка задачі в полярних координатах має вигляд:

 

, ,

К.У.

Припустимо, що можна розкласти в ряд Фур’є на . Перепишемо рівняння Лапласа, домноживши його на :

 

 

Будемо шукати розв’язок за методом Фур’є, подаючи функцію у вигляді добутку двох функцій, кожна з яких залежить від однієї змінної:

 

(6.48)

 

Підставляючи її в рівняння та враховуючи, що

та отримаємо:

Відокремимо змінні: