Визначена згідно з 12.6 фактор-група

(1.63 1.35)

називається якобіаном гіпереліптичної кривої .

Якщо і , то зазвичай позначають . У цьому випадку і називають еквівалентними дивізорами. Тобто якобіан являє собою кінцеву фактор-групу однієї нескінченної групи за іншою нескінченною групою. Кожен елемент якобіана є класом еквівалентності дивізорів.

Розглянемо сутність геометричного закону складання дивізорів гіпереліптичної кривої [242].

Якобіан гіпереліптичної кривої другого роду включає дивізори, що утворені однією або двома точками. Виходячи з визначення якобіана, для того щоб побудувати групу, необхідно утворити фактор-групу сум точок на кривій за підмножиною сум тих точок, що лежать на функції.

В абелевій групі, якою є якобіан гіпереліптичної кривої, головною операцією, що визначає складність, є процес обчислення кратного cD для великих цілих чисел c:

.(Виправити раз на разів (1.64)

Ця операція називається скалярним множенням дивізора на число і вимагає для її реалізації додавання та дублювання дивізорів.

Стійкість криптографічних систем ґрунтується на великій (експоненційній) складності вирішення зворотної задачі – дискретного логарифмування в якобіані гіпереліптичної кривої [ 11, 149].

Для виконання групових операцій в якобіані гіпереліптичної кривої застосовується базова ітераційна формула Кантора [149]. Вона є дійсною для гіпереліптичних кривих довільного роду і може бути заданою у вигляді такого двох крокового алгоритму.

Знаходиться напів приведений дивізор – такий, що у групі [ ]. (1.65)

Напів приведений дивізор зводиться до еквівалентного приведеного дивізора .

Детальні дані щодо складності виконання групових операцій в якобіані гіпереліптичної кривої можна знайти в [146, 147, 151 ].

 

 

Додаток А

ТаблицяА.1 – Параметри кривих над полем , що рекомендовані FIPS 186-2-2000

B-163	, , , = 0х 2 0a601907 b8c953ca 1481eb10 512f7874 4a3205fd = 0x 4 00000000 00000000 000292fe 77e70c12 a4234c33 = 0x 3 f0eba162 86a2d57e a0991168 d4994637 e8343e36 = 0x d51fbc6c 71a0094f a2cdd545 b11c5c0c 797324f1
B-233	, , , = 0х 066 647ede6c 332c7f8c 0923bb58 213b333b 20e9ce42 81fe115f 7d8f90ad = 0x 00000100 00000000 00000000 00000000 0013e974 e72f8a69 22031d26 03cfe0d7 = 0x 0fa c9dfcbac 8313bb21 39f1bb75 5fef65bc 391f8b36 f8f8eb73 71fd558b = 0x 100 6a08a419 03350678 e58528be bf8a0bef f867a7ca 36716f7e 01f81052
B-283	, , , = 0х 27b680a c8b8596d a5a4af8a 19a0303f ca97fd76 45309fa2 a581485a f6263e31 3b79a2fa = 0x 03ffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffef90 399660fc 938a9016 5b042a7c efadb307 = 0x 5f93925 8db7dd90 e1934f8c 70b0dfec 2eed25b8 557eac9c 80e2e198 f8cdbecd 86b12053 = 3676854 fe24141c b98fe6d4 b20d02b4 516ff702 350eddb0 826779c8 13f0df45 be8112f4
B-409	, , , = 0х 021a5c2 c8ee9feb 5c4b9a75 3b7b476b 7fd6422e f1f3dd67 4761fa99 d6ac27c8 a9a197b2 72822f6c d57a55aa 4f50ae31 7b13545f = 0x 01000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 000001e2 aad6a612 f33307be 5fa47c3c 9e052f83 8164cd37 d9a21173 = 0x 15d4860 d088ddb3 496b0c60 64756260 441cde4a f1771d4d b01ffe5b 34e59703 dc255a86 8a118051 5603aeab 60794e54 bb7996a7 = 0x 061b1cf ab6be5f3 2bbfa783 24ed106a 7636b9c5 a7bd198d 0158aa4f 5488d08f 38514f1f df4b4f40 d2181b36 81c364ba 0273c706
B-571	, , , = 0х 2f40e7e 2221f295 de297117 b7f3d62f 5c6a97ff cb8ceff1 cd6ba8ce 4a9a18ad 84ffabbd 8efa5933 2be7ad67 56a66e29 4afd185a 78ff12aa 520e4de7 39baca0c 7ffeff7f 2955727a = 0x 03ffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff e661ce18 ff559873 08059b18 6823851e c7dd9ca1 161de93d = 303001d 34b85629 6c16c0d4 0d3cd775 0a93d1d2 955fa80a a5f40fc8 db7b2abd bde53950 f4c0d293 cdd711a3 5b67fb14 99ae6003 8614f139 4abfa3b4 c850d927 e1e7769c 8eec2d19 = 37bf273 42da639b 6dccfffe b73d69d7 8c6c27a6 009cbbca 1980f853 3921e8a6 84423e43 bab08a57 6291af8f 461bb2a8 b3531d2f 0485c19b 16e2f151 6e23dd3c 1a4827af 1b8ac15b