Точкове квадратичне наближення функції

Даний підхід ґрунтується на використанні методу найменших квадратів, відповідно до якого за міру відхилення наближую чого багаточлена

, (10.8)

степінь якого значно менше від кількості точок від заданої функції беруть величину

, (10.9)

Що дорівнює сумі квадратів відхилень багаточлена від функції на заданій множині точок і називається квадратичним відхиленням.

Враховуючи (10.8), вираз (10.9) можна записати у вигляді:

(10.10)

Очевидно, що -функція коефіцієнтів , які потрібно підібрати так, щоб вона була мінімальною.

Процес побудови наближую чого (апроксимуючого) для даної функції багаточлена називають точковою квадратичною апроксимацією.

Для розв’язання задачі точкової квадратичної апроксимації скористаємося необхідною умовою екстремуму функцій декількох змінних. Знайдемо частинні похідні функції по і прирівняємо їх до нуля. Отримаємо так звану нормальну систему рівнянь з невідомими :

(10.11)

Дану систему перепишемо у вигляді

(10.12)

Позначимо , (10.13)

Та перепишемо систему (10.12) у вигляді

(10.14)

Нехай розв’язком системи (10.14) є вектор , тоді - буде самим кращим наближенням до розглянутої табличної функції за методом найменших квадратів.

У випадку лінійної функції систему (10.14) та коефіцієнти записують як:

(10.15)

де . (10.16)

Наприклад: Апроксимувати лінійну функцію дані якої записані таблично, та знайти коефіцієнти при яких відхилення буде найменшим.

	1,0	1,5	2,0	3,0
	0,2	0,5	1,1	2,2

Розв’язання.

Виходячи з умови задачі позначимо:

Обчислимо коефіцієнти за формулою (10.16):

Підставивши ці дані у формулу (10.15) маємо:

Розв’язавши систему рівнянь отримаємо Отже, у даному випадку найкращою лінійною емпіричною формулою є .

Якщо коефіцієнти округлити до двух значущих цифр, тоді .

Відхиленням остаточної функції від табличної є:

Середньоквадратичне відхилення по всій таблиці:

.

На практиці нелінійну залежність від часто апроксимують багаточленом другого степеня , де - коефіцієнти, що підлягають визначенню.

Контрольні завдання

1. Вибрати із шостого розділу табличну функцію відповідно до свого варіанта.

2. Методом найменших квадратів апроксимувати таблицю функцією .

3. Побудувати графік отриманої залежності, та нанести точки таблиці.

4. Відповідно до свого варіанта наблизити аналітичну функцію на заданому відрізку поліномом першого ступеня.

5. Побудувати графік апроксимуючої функції та отриманого полінома в одних координатних осях.

Варіанти завдань