Похибки арифметичних операцій наближених чисел

Основні формули:

1. Похибки суми та різниці:

; .

2. Похибки добутку та частки

; ;

.

3. Похибка степеня та кореня:

; .

Наприклад: Обчислити активну складову механічного опору, якщо опір механічних витрат та активна складова опору випромінювання відповідно дорівнюють 309,4 і 1605,085 (у запису чисел усі цифри правильні в широкому розумінні).

Розв’язок:

Оскільки в даних числах усі цифри правильні у широкому розумінні, то їх межові абсолютні похибки відповідно дорівнюють 0,1 та 0,001 . Число 309,4, як менш точне, не змінюємо, а друге число 1605,085 округляємо так, щоб зберігти в ньому на один знак більше, ніж у першому. Тоді, за правилами округлення чисел, одержимо 1605,08.

Активна складова механічного опору обчислюється за формулою:

.

Отриманий результат округляємо до 0,1. Сумарна складова механічного опору .

Оцінимо точність цього результату, для чого обчислюємо

;

;

;

; .

Остаточно отримуємо:

Наприклад: Знайти добуток чисел а =3,49 та b =8,6 (записаних у правильних числах). Визначити похибку результату та округлити його до правильних чисел.

Розв’язок:

1. ;

2. ;

3.

При округлені до двох значущих чисел маємо: 30,014≈30, тоді похибка округлення: 30,014-30=0,014.

Загальна похибка: 0,216+0,014=0,23<0,5, тобто у відповіді дві правильні значущі цифри у вузькому розумінні.

Відповідь: .

Наприклад: Виконати ділення наближених чисел, якщо вони записані у правильних знаках: S=5,684/5,032. Результат округлити до правильних знаків (чисел).

Розв’язок:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Округлимо результат S до третього значущого правильного числа: 1,12957≈1,130;

5. Похибка округлення ∆окр. =1,130-1,12957=0,00043;

6. Сумарна похибка: .

Отже в числі 1,130 – 3 правильних значущих цифри 1,1,3. При округленні маємо: 1,130≈1,13.

Відповідь:S=1,13.

Наприклад: Обчислити , якщо . Всі числа записані у правильних знаках. Знайти похибку результату.

Розв’язок:

1. Обчислимо з запасними десятковими знаками:

.

2. Знайдемо похибки обчислення:

;

;

;

;

.

Відповідь:

Похибка обчислення значень функції

Якщо значення аргументу функції - наближене число , то похибка значення функції оцінюється за формулою:

(1.7)

де ‑ максимальне значення похідної функції, що міститься на проміжку .

Похибка значення функції двох аргументів можна оцінити за формулою:

, (1.8)

де та ‑ максимальне значення похідної по х та по у відповідно, що містяться серед всіх значень в області:

,

де у^*(х^*) – точне значення; у(х) – наближене значення; ∆у(∆х) – похибка.

Аналогічно визначається похибка значення функції змінних :

,

де максимальні частинні похідні містяться серед усіх значень в області:

.

Наприклад: Дано ; ; .

Знайти Z^*; ∆Z;

Розв’язок:

;

;

Тобто: ;

Знайдемо значення Z^*:

= .

Похибка обчислення функції (1.8):

Відповідь: Z^*=8,992±0,013.

Контрольні завдання

1. Оцінити похибки обчислення функції в точці , якщо всі обчислення виконують зі звичайним дійсним типом (Real, float та ін.), дійсним типом подвійної точності (double) та дійсним типом підвищеної точності (extended).

Варіант	f (x 1, x 2)	Варіант	f (x 1, x 2)

 

2. Скільки бітів потрібно відвести для збереження мантис усіх змінних для того, щоб похибка обчислення функції в точці була меншою ніж 0,1 %.

Варіант	f (x 1, x 2)	Варіант	f (x 1, x 2)