Пересечение многогранников плоскостью частного положения.

Cечение — изображение фигуры, полученной в секущей плоскости. Способ ребер подразумевает определение точек пересечение ребер с заданной плоскостью. Способ граней определяет линии пересечения граней многогранника с заданной плоскостью.

^ 18. Развертки поверхностей. Развертывание поверхности многогранников.

Развертка — плоская фигура, получающаяся при совмещении поверхности с плоскостью. При совмещении всех граней многогранника с плоскостью в такой последовательности, в которой они размещены в многограннике, получается развертка его поверхности. Для построения развертки нужно найти натуральную величину всех граней многогранника и фигуры сечения. Три вида разверток: точные (призмы, пирамиды); приближенные (поверхности вращения заменяют многогранной поверхностью); условные (поверхности заменяются абсолютно другой).

^ 19. Пересечение кривых поверхностей плоскостью частного положения. Линии конических сечений.

При пересечении цилиндра плоскостью, параллельной оси, получается плоская фигура в виде прямоугольника или параллелограмма. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то в результате сечения этой плоскостью получается круг. В общем случае, если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра, в сечении поучается эллипс.

При пересечении конуса секущей плоскостью, в зависимости от ее направления получаются разные фигуры, ограниченные линиями, которые называются линиями конических сечений. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в его сечении получается треугольник. В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к его оси вращения, получается круг. Если плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении, в результате от величины угла наклона секущей плоскости к оси конуса, получатся: при Ðb > Ða — эллипс; при Ðb=Ða — ограниченная парабола; при Ðb < Ða — ограниченная гипербола, где a — половина угла при вершине конуса.

Развертывание поверхности прямого кругового конуса и цилиндра.

Для построения развертки усеченной цилиндрической поверхности на горизонтальной прямой откладывают длину окружности основания, равную pD, и делят ее на 12 равных частей. Из точек деления восстанавливают перпендикуляры к отрезку pD, на них откладывают действительные длины образующих цилиндра от основания до секущей плоскости, которые взяты с фронтальной или профильной проекции цилиндра. Полученные точки соединяют плавной кривой. Затем пристраивают фигуру сечения и фигуру нижнего основания (окружность).

Построение развертки поверхности конуса начинают с нанесения из какой-либо точки S дуги окружности радиусом, равным длине образующей конуса. На этой дуге откладывают 12 частей окружности основания и полученные точки соединяют с вершиной прямыми образующими. От вершины S на прямых откладывают действительные длины отрезков образующих от вершины конуса до секущей плоскости. К развертки конической поверхности пристраивают фигуры сечения и основания конуса. Для более точного построения развертки конической поверхности прямого кругового конуса центральный угол a сектора, представляющего эту развертку, можно посчитать по формуле a=180°*d/l, где d — диаметр окружности основания конуса в мм, l — длина образующей конуса в мм.

Цилиндрические и конические винтовые линии. Образование, основные параметры.

Цилиндрические винтовые линии образуются на поверхности цилиндра вращения при равномерном перемещении точки вдоль его образующей и при одновременном равномерном вращении образующей около оси цилиндра. Проекции цилиндрической винтовой линии: фронтальная — синусоида, горизонтальная — окружность. Фронтальная проекция строится следующим образом: делим окружность основания цилиндра и шаг винтовой линии (отрезок, на который подымается точка А при полном повороте образующей цилиндра) на одинаковое количество частей (12). Определяем соответственные фронтальные проекции перемещающейся точки и соединяем их плавной кривой. При развертки цилиндрической поверхности винтовая линия является прямой. Угол a называется углом подъема винтовой линии: tga=h/pD, где h — шаг линии, D — диаметр цилиндра. Винтовая линия на цилиндрической поверхности имеет постоянный подъем.

Коническая винтовая линия образуется на поверхности конуса вращения при равномерном перемещении точки вдоль его образующей и при одновременном равномерном вращении образующей около конуса. Проекции конической винтовой линии (горизонтальная спираль Архимеда, а фронтальная — затухающая синусоидальная кривая с уменьшающейся длиной волны) строится следующим образом: делим окружность основания конуса и шаг винтовой линии на одинаковое количество частей (12). Определяем по соответственным образующим конуса местоположение проекций точек 1, 2, …, 12 и соединяем их плавной кривой. Винтовые линии могут быть правыми и левыми. Правой называется винтовая линия, которая подымается слева вверх направо. Левая винтовая линия подымается справа вверх налево. Часть винтовой линии, соответствующая одному ее шагу, называется витком. Винтовые линии, образованные на цилиндре и конусе, имеют большое практическое значение в практике (используются для образования резьб).

^ 22. Поверхности. Классификация, определитель и каркасы поверхностей.

Поверхностью называется совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Эту линию называют образующей. Перемещение образующей может быть подчинено какому-нибудь закону или быть случайным. В первом случае поверхность называют закономерной, а во втором — незакономерной. Выделяют три способа образования поверхностей: аналитический (поверхность задается уравнением); каркасный (поверхность задается определенной совокупностью точек и линий); кинематический (поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений некоторой линии (образующей), перемещающейся в пространстве по определенному закону. Совокупность геометрических элементов (форма образующей, форма направляющей, закон перемещения образующих) и связей между ними называется определителем поверхности. Определитель поверхности состоит из двух частей: 1) геометрическая часть определителя — совокупность постоянных геометрических элементов и соотношения между ними; 2) алгоритмическая часть определителя — закон, по которому строятся тоски и линии поверхности. В зависимости от формы образующей и закону перемещения поверхности можно приблизительно разделить на группы. Линейчатые поверхности — поверхности, образующей которых является прямая линия. Линейчатые поверхности могут быть: развертываемые поверхности, т.е. после разреза их по образующей можно совместить с плоскостью без разрыва и складок; неразвертываемые поверхности, т.е. их нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок. Нелинейчатые поверхности — поверхности, образующая которых является кривой линией. Нелинейчатые поверхности могут быть: с постоянной образующей — поверхности, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности; с переменной образующей — поверхности, образующая которых изменяется в процессе образования поверхности. Если представить себе совокупность прямолинейных образующих и совокупность образующих окружностей, то каждая линия одной совокупности пересечет все линии другой совокупности, в результате чего получается каркас данной поверхности.

^ 23. Поверхности вращения. Построение точки на поверхности вращения.

Поверхности, образованные вращением линии (образующей) вокруг прямой (оси вращения), называются поверхностями вращения. Определитель поверхности вращения включает образующую и ось вращения. При образовании поверхности вращения каждая точка образующей описывает в пространстве окружность. Эти окружности называют параллелями. Плоскости параллелей всегда перпендикулярны к оси вращения. Наибольшую из параллелей называют экватором, наименьшую — горлом поверхности. Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной плоскостью. Линия пересечения поверхности вращения меридиональной плоскостью называется меридианом поверхности. Если поверхность вращения образована вращением прямой линии, то поучаем линейчатую поверхность, коническую или цилиндрическую. Если поверхность вращения образована вращением кривой линии, то получаем нелинейчатую поверхность, сферу или тор. Сфера — поверхность, образованная вращением окружности вокруг ее диаметра. Тор — поверхность, образованная вращением окружности (или ее дуги) вокруг прямой — оси вращения, размещенной в плоскости окружности и не проходящей через центр окружности. Тор называется замкнутым, если ось вращения пересекается с окружностью, которая образует его, и открытым, если ось вращения не пересекается с окружностью, которая его образует. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг одной из осей. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг оси. Гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг оси. При вращении гиперболы вокруг мнимой оси получается однополосный гиперболоид вращения, а при вращении вокруг действительной оси — двуполостный гиперболоид вращения. Положение точки на поверхности вращения определяется при помощи окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения.