Дифференцируемость Г- функций

Г-функция бесконечное число раз дифференцируема, производные могут быть найдены внесением дифференцирования под знак интеграла.

 

 

Функция-оригинал ~ Преобразование Лапласа ~ Основные свойства преобразования Лапласа

 

Операционное исчисление - один из наиболее эффективных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При решении операционным методом задача интегрирования линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к задаче о решении алгебраического уравнения.

Функцией-оригиналом называется функция f (x) для которой справедливо:
f (x) непрерывна при неотрицательных x, за исключением, быть может конечного числа точек, f (x) = 0 при x< 0, существуют такие постоянные M и a, что при всех неотрицательных x.

Преобразованием Лапласа функции f (x) называется функция

Функция F (p) называется изображением функции f (x), а функция f (x) - оригиналом для F (p).

 

ПРИМЕР 1. Отыскание изображения и оригинала.

 

Основные свойства преобразования Лаплалса, используемые при решении дифференциальных уравнений следующие:

· оригинал восстанавливется по изображению единственным образом, с точностью до значений в точках разрыва - теорема единственности;

· если F (p) и G (p) - изображения соответственно для f (x) и g (x), то изображением для af (x) + bg (x) является aF (p) + bG (p) - линейность преобразования Лапласа;

· изображением для производной f ⁽ⁿ⁾(x) является функция pⁿF (p) - p^{n -1} f (0) - p^{n -2} f '(0) -...- pf ^{(n -2)}(0) - f ^{(n -1)}(0) - изображение производных;

· если F (p) изображения для f (x), то для любого a >0 изображением для f (x-a) является - теорема запаздывания.

Теорема запаздывания. Если f (t) F (p) (т.е. f (t) · η (t) F (p)), то f (t − t ₀) · η (t − t ₀) e ^{− t} ₀ ^{· p} · F (p) для любого числа t ₀ ≥ 0.
Док-во. .
Теорема запаздывания применяется для изображения функций импульсных, составных, периодических. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

 

Теорема. (Признак сходимости Даламбера). Пусть при всех , где . Тогда ряд сходится. Если же при , то ряд расходится.

Доказательство. Из условий теоремы следует . Иными словами, и по первой теореме сравнения ряд сходится.

Если , то при и ряд расходится.

В предельной форме этот признак выглядит так:

Теорема. Если существует , то при ряд сходится, при - расходится, а при признак неприменим.

Доказательство. При выбираем так, чтобы . Пусть выбрано так, чтобы при , т.е. и , . По предыдущей теореме ряд сходится. Если же , то выберем так, что . Тогда при и ряд расходится.

Теорема. (Признак сходимости Коши). Пусть и при достаточно больших . Тогда ряд сходится. Если же при , то он расходится.

Доказательство. Неравенство при равносильно неравенству . Так как , ряд – сходится. По теореме 1 из предыдущего параграфа ряд также сходится.

Если же , то и и равенство невозможно. Т.о. необходимый признак сходимости не выполняется и ряд расходится.

В предельной форме эта теорема выглядит так:

Теорема. Пусть существует . Тогда если – ряд сходится, – ряд расходится, – признак неприменим.

Доказательство. Пусть . Выберем так, чтобы (т.е. ). Тогда при , т.е. . Применяя предыдущую теорему получаем, что ряд сходится.

Если же , то выберем так, что (т.е. ). Тогда . Вновь по предыдущей теореме ряд расходится.

 

Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда

Теорема. Пусть - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Ввиду монотонности при всех выполняются неравенства . Интегрируя, получаем . Тогда , или . Поэтому если сходится, то . Тогда и , ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.