Четвёртое уравнение – уравнение для гравитационной потенциальной энергии

 

Чему равна потенциальная энергия U тела массы m, поднятого на высоту Н над земной поверхностью?

Общепринятый ответ такой. Падая с высоты Н, тело совершает работу mgH и, следовательно, на основании закона сохранения энергии можно сделать вывод, что тело, поднятое на высоту Н, обладает потенциальной энергией:

U = mgH (3.21)

Однако такой вывод некорректен. Не следует забывать, что любое тело обладает также и внутренней энергией – энергией покоя:

Е ₀ = m ₀ с ² (3.22)

Эта энергия огромна. Поэтому если при падении тела его внутренняя энергия изменится хотя бы на очень незначительную в процентном отношении величину, то этим изменением пренебрегать нельзя.

Например, размеры атомов изменяются с высотой (см. параграф 3.1). А так как изменяются размеры атомов, то изменяется и энергия кулоновского притяжения электронов к ядру, и кинетическая энергия электронов в атоме. То есть изменяется внутренняя энергия атомов.

При падении тела в поле тяжести его масса покоя уменьшается (3.2), а скорость света возрастает обратно пропорционально изменению массы покоя (3.17). Поэтому, как видно из уравнения (3.22), внутренняя энергия тела возрастает при его падении и, следовательно, часть потенциальной энергии переходит во внутреннюю энергию тела. Поэтому уравнение (3.21) нужно «исправить»:

U = mgH + D E ₀ (3.23)

Или:

m DФ_Un = mgH + D E ₀ (3.24)

Здесь DФ_Un – разность гравитационных потенциалов на высоте Н и нулевой высоте.

Рассчитаем изменение внутренней энергии тела при его падении.

(3.25)

Учитывая, что m ₀ c = const (3.17), мы вынесли это произведение из-под знака дифференциала, а затем скорость света с внесли обратно под дифференциал. Используя (3.19), получаем:

(3.26)

m ₀ d Ф_Un – это изменение потенциальной энергии. Из (3.26) видно, что при уменьшении потенциальной энергии тела его внутренняя энергия E ₀ возрастает. При этом только половина потенциальной энергии переходит во внутреннюю и, следовательно, вторая половина переходит в кинетическую энергию, которая, как известно, равна mgH. В результате получаем, что потенциальная энергия тела массы m, поднятого на высоту Н, равна не mgH, а ровно в два раза больше, то есть:

U = m DФ_Un = 2 mgH (3.27)

Итак, мы пришли к достаточно неожиданному выводу – изменение потенциальной энергии тела равно 2 mgН! А совсем не mgН, как принято считать.

Рассмотрим подробнее полученный результат. Тело массой m падает с высоты Н в поле тяжести g. Изменение потенциальной энергии тела равно 2 mgН. Это изменение потенциальной энергии переходит в кинетическую энергию тела и в его внутреннюю энергию (энергию покоя). При этом только половина потенциальной энергии переходит в кинетическую, а вторая половина – во внутреннюю энергию. Внутренняя энергия тела – это энергия, находящаяся в скрытой форме. Её нельзя наблюдать непосредственно. Кинетическую же энергию тела можно использовать, например, для совершения работы. Поэтому при падении тела учитывают только изменение его кинетической энергии и делают отсюда неверный вывод об изменении потенциальной энергии. Изменение потенциальной энергии занижается ровно в два раза.

Из уравнения (3.27) следует, что действительное изменение гравитационного потенциала DФ ровно в два раза больше, чем это предполагается в теории тяготения Ньютона. Это означает, что если j₁ – значение ньютоновского потенциала в одной точке пространства, а j₂ – его значение в другой точке, то:

Ф₂ – Ф₁ = 2(j₂ – j₁) (3.28)

Например, изменение ньютоновского потенциала Dj, создаваемого точечной массой М на расстоянии r, равно:

Dj = - (3.29)

И, значит, действительное изменение гравитационного потенциала DF, создаваемого этой же массой, равно:

DF = -2 (3.30)

До тех пор пока скорость тела мала по сравнению со скоростью света, использование ньютоновского потенциала не приводит к ошибке, так как всегда только половина потенциальной энергии переходит в кинетическую:

D К = - m DФ/2 = - m Dj

Однако при вычислении траектории для релятивистской частицы теория тяготения Ньютона приведёт уже к неверному результату. Например, фотон не имеет энергии покоя. Поэтому при движении в поле тяжести вся потенциальная энергия фотона переходит в кинетическую. Именно поэтому фотон отклоняется в гравитационном поле на угол в два раза больший, чем следует из расчётов с использованием уравнения (3.29).

Эта тема подробно обсуждается в [194,195], где также представлен другой вывод уравнения (3.27) для потенциальной энергии.

Теперь преобразуем уравнение (3.14) и покажем, что в случае слабого гравитационного поля (|DF| «с ² = -F_Un) оно переходит в известное уравнение для дефекта массы (3.2). Возьмём дифференциал от обеих частей уравнения (3.14):

Следовательно:

(3.21)

Учитывая (3.19), получаем:

(3.22)

Таким образом, при D m «m с высокой точностью выполняется равенство:

(3.23)

И учитывая уравнение (3.27) для потенциальной энергии, получаем известное уравнение для дефекта массы, вызванного гравитационной энергией связи (3.2):

(3.2)

Аналогично можно показать, что уравнение для постоянной Планка (3.15) в случае слабого поля переходит в приближённое уравнение (3.9).

В своих лекциях по гравитации Ричард Фейнман высказывает следующую мысль [165,с.133]. Согласно общей теории относительности вблизи большой массы изменяется пространственно-временной масштаб, то есть изменяются размер эталона длины и продолжительность эталона времени. А что это означает физически?

Например, в качестве естественного эталона времени можно выбрать величину ħ / mc ² (здесь m – масса покоя электрона или другой частицы), а в качестве естественного эталона длины величину ħ / mc. Получается, что вблизи большой массы должны как-то измениться фундаментальные постоянные c, ħ, m. Далее Фейнман предполагает, что, возможно, величины фундаментальных постоянных c, ħ, m определяются распределением всей материи во Вселенной (далёкими галактиками и туманностями), и именно поэтому они немного изменяются вблизи большой массы. Это небольшое изменение фундаментальных постоянных и приводит к «искривлению» пространства-времени и вызывает притяжение тел друг к другу.

Уравнения (3.14), (3.15) и (3.19) связывают величины фундаментальных постоянных с распределением всей материи во Вселенной (с величиной гравитационного потенциала Вселенной), что является выражением упомянутой идеи Фейнмана.

Используя эти уравнения, можно получить не только закон Всемирного тяготения Ньютона, но и рассчитать все известные релятивистские гравитационные эффекты (смещение перигелия Меркурия, отклонение световых лучей, проходящих вблизи Солнца, гравитационное смещение спектральных линий). Эти расчёты выполнены в книге «Неопределённость, гравитация, космос» [194].