Принадлежность точки и линии поверхности вращения

 

При решении задач на принадлежность точки поверхности вращения в качестве графически простых линий наиболее часто используются окружности.

Известно, что точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-нибудь линии поверхности. Для цилиндрической поверхности вращения наиболее простыми линиями являются прямые (образующие) и окружности. Следовательно, если требуется найти горизонтальную проекцию точки A(А₁) (по известной фронтальной проекции А₂), принадлежащую цилиндрической поверхности, то нужно через точки провести одну из этих линий. На рис. 11.10 через А₂ проведена прямолинейная образующая n(n₂). Так как прямая n занимает горизонтально проецирующее положение, то на П₁ она проецируется в точку n₁ (полагаем, что проекция образующей на П₂ видимая). Тогда в эту же точку проецируется и точка А(А₁). С другой стороны, все окружности цилиндрической поверхности проецируются на П₁ в одну окружность, так как ось поверхности перпендикулярна П₁. Следовательно, искомая проекция точки А(А₁) будет находиться на этой окружности.

Через точку на конической поверхности вращения также можно провести прямую и окружность. На рис. 11.11 через А₂ проведены проекции образующей n(n₂) и окружности 1₂2₂. Отрезок 1₂2₂ равен диаметру окружности. После построения горизонтальных проекций этих линий, определяем по линии проекционной связи горизонтальную проекцию точки А(А₁). Полагаем, что на П₂ проекция точки А(А₂) – видимая (находится перед контуром поверхности относительно П₂). Если дана горизонтальная проекция А₁, а требуется найти А₂, то построения выполняются в обратной последовательности.

Построения горизонтальных проекций точек по их фронтальным проекциям, при условии, что точки принадлежат соответствующим поверхностям, показаны на рис. 11.13, 11.14, а также на рис. 11.16 – 11.18. В качестве линий поверхностей используются окружности (траектории точек образующих).

Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат поверхности. Если известна одна проекция линии, принадлежащей поверхности, и требуется построить вторую ее проекцию, то следует на известной проекции выбрать несколько точек, построить недостающие проекции и полученные проекции соединить линией. Выбор количества точек зависит как от размеров изображения, так и от сложности кривой. В большинстве случаев, чем больше точек выбирается на исходной проекции, тем выше точность построений второй проекции.

На рис. 11.20 показан отсек конической поверхности вращения и линия n на этой поверхности. Если известна n₁, то для построения n₂ можно использовать как прямолинейные образующие поверхности, так и окружности. На рис. 11.20 фронтальная проекция линии n (n₂) построена с помощью окружностей. Профильная проекция линии n(n₃) построена по точкам линий n₁ и n₂. Буквами обозначены характерные точки линии (крайние точки, а также принадлежащие очерковым образующим поверхности), а цифрами – промежуточные.

Для установления видимости проекций линии используем контуры t, m и k поверхности. Так, при проецировании на П₁ линия n видима, так как расположена выше горизонтального контура t(t_1, t₂). Это видно на фронтальной проекции. При проецировании на П₂ видимым будет участок E4CAB (E₂4₂C₂A₂B₂), так как он расположен перед фронтальным контуром m. Это следует из горизонтальной проекции. Тогда оставшийся участок n₂ будет невидимым. Видимость профильной проекции линии n устанавливается при взгляде наблюдателя на плоскость П₃. Участок E4C(E₃4₃C₃), расположенный за профильным контуром k, будет невидимым, а оставшийся – видимым. Это можно установить по горизонтальной или фронтальной проекциям.

 

 

Циклические поверхности

Циклическая поверхность – это множество последовательных положений окружности постоянного или переменного радиуса, перемещающейся в пространстве. Циклическая поверхность общего вида задается тремя направляющими m, n и k. Одна из них (n) задает положение центров окружностей, другая (m) – положение плоскостей окружностей, а третья (k) – радиусы окружностей. В частности, плоскости окружностей могут быть перпендикулярны направляющей m. Расстояние от центра окружности до точки пересечения плоскости окружности с направляющей k является радиусом этой окружности. Если одна из направляющих, задающая плоскости окружностей, прямая, то все окружности будут параллельны некоторой плоскости, а полученная при этом поверхность называется циклической поверхностью с плоскостью параллелизма. На рис. 11.21, а приведен определитель Ф(k, m, S) такой поверхности. Образующей является окружность n(n₁, n₂). Та же поверхность с построенным горизонтальным очерком и достроенным фронтальным показана на рис. 11.21, б. Построения очерков выполнены в такой последовательности. Через произвольную точку направляющей k проведен отрезок . Точка – фронтальная проекция центра окружности, а отрезок – ее радиус. Для построения точки 2₂ от откладываем отрезок , а на П₁ по линии проекционной связи определяем точку . Строим окружность с центром и радиусом . Для получения недостающего фронтального очерка строим ряд точек, аналогично точке 2₂. Затем эти точки соединяем. Горизонтальный очерк поверхности представляет собой огибающую множества окружностей, построенных по аналогии с описанным выше.

 

Частными видами циклической поверхности с плоскостью параллелизма являются поверхности, у которых направляющие m и k прямые. На рис. 11.22, а показана поверхность, называемая эллиптическим цилиндром, а на рис. 11.22, б – поверхность эллиптического конуса. Там же показано построение горизонтальной проекции точки А по известной фронтальной. В качестве линии поверхности использована прямолинейная образующая и окружность.

 

Винтовые поверхности

 

Винтовой поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо линией (образующей) при ее винтовом движении. Винтовым движением называется сложное движение, состоящее из равномерного вращательного движения вокруг оси и равномерного прямолинейного движения, параллельного этой оси. При винтовом движении точки получается винтовая линия (см. 10.1).

Если образующей винтовой поверхности является прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью, или геликоидом. Геликоид называется прямым или наклонным в зависимости от того, перпендикулярна образующая оси геликоида или наклонна.

Рассмотрим некоторые виды линейчатых винтовых поверхностей.

1. Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей m по двум направляющим. Одна из направляющих является цилиндрической винтовой линией t, а другая - ее осью i. Причем во всех своих положениях образующая m параллельна плоскости, которая называется плоскостью параллелизма. У прямого геликоида образующая m пересекает винтовую ось i под прямым углом. Прямой геликоид относится к числу коноидов и называется винтовым коноидом.

2. Наклонный геликоид отличается от прямого геликоида тем, что его образующая m пересекает ось геликоида под постоянным углом, не равным прямому углу. У наклонного геликоида одна из направляющих является цилиндрической винтовой линией т, а другая - ее осью i. Во всех своих положениях образующая m параллельна образующим некоторого конуса вращения. У этого конуса угол между образующей и осью, параллельной оси геликоида, равен j. Он называется направляющим конусом наклонного геликоида.

3. Развертывающийся геликоид образуется движением прямолинейной образующей m, касающейся во всех своих положениях цилиндрической винтовой линии n. Она является ребром возврата геликоида. Развертывающийся геликоид как линейчатая поверхность с ребром возврата относится к числу торсов.