Числовые характеристики случайных величин

 

О п р е д е л е н и е. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, т.е. М(Х) называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:

М(Х)= Х1 P1 + Х2 P2 +...+Хk Pk (3)

Т.е. математическое ожидание- это "среднее взвешенное" возможных значений.

Пример 1. Найти математическое ожидание Х из примера 1 предыдущего параграфа.

Решение. По формуле (3) имеем:

М(Х)= 0 ·0,216 + 1 ·0,432 + 2 · 0,288 + 3 ·0,064=1,2.

Если Х- непрерывная случайная величина, то

 

М(Х)= ∫ хf(x)dx,

где f(x)- плотность вероятности.

 

Физический смысл математического ожидания.

Рассмотрим случайную величину (с.в.) Х с рядом распределения:

Xi	X1	X2	…	Xk
Pi	P1	P2	…	Pk

 

Пусть произведено N опытов, в результате которых Х1 появлялось М1 раз, Х2 -М2 раза....

Найдем среднее арифметическое наблюдений значений Х:

 

Х =(Х1 М1 + Х2 М2 +.....+Хk Мk)/N

При этом, Мi /N- частота события Х =Хi. Пусть Мi /N= Pi. Тогда

 

Х = Х1 P1 + Х2 P2 +.....+ Хk Pk.

Понятно, что при очень большом числе опытов Pi ≈ Pi. Следовательно, среднее арифметическое наблюденных значений с.в. Х при увеличении N с практической достоверностью будет сколь угодно близко к ее математическому ожиданию - это одна из форм закона больших чисел. Т.е.М(Х) ≈ Х.

О п р е д е л е н и е. Дисперсия с.в. Х ("рассеивание")- это величина, характеризующая разброс ее значений вокруг среднего. Обозначается Д(Х).

Чем больше дисперсия, тем "случайнее" с.в.. Для дискретных с.в.

 

Д(Х)= (Х1 - М(Х))² ·Р1 + (Х2 - М(Х))² ·Р2 +....+(Хк -М(Х))² ·Рк (4)

 

Пример 2. Найти Д(Х) для с.в. из примера 1 предыдущего параграфа

Решение. Используя формулу (4), а также результаты, вычисленные в примерах 1 §§4 и 5,получаем

Д(Х)= (0-1,2)² ·0,216 + (1-1,2)² ·0,432 + (2-1,2)² ·0,288+ (3-1,2)² ·0,064 =0,72.

Дисперсия может быть вычислена также по формуле

 

Д(Х)= М(Х²) - (М(Х)) ².

Для непрерывной с.в.

 

Д(Х)=∫(х-М(Х))² f(x)dx

 

Свойства характеристик.

1. М(Х+У)= М(Х) + М(У)

2. Д(Х+У)= Д(Х) + Д(У), если Х и У независимы

3. М(сХ)= сМ(Х)

4. Д(сХ)= с² Д(Х), если с- постоянная.

 

Контрольные задания

Задача 1. Найти дисперсию с.в. Х, которая задана следующим законом распределения:

Хi
Рi	0.3	0.5	0.2

 

Задача 2. С.в. Х задана законом распределения:

Хi
Рi	0.1	0.4	0.5

Найти среднее квадратичное отклонение.

 

Задача 3. Два стрелка ведут стрельбу по мишени с зонами 1,2 и 3, считая от центра. Попадание в первую зону дает 3 очка, во вторую - 2 очка, в третью - 1 очко. Для стрелка А вероятность попадания в 1-ю зону равна 0,8, во 2-ю - 0,2, в 3-ю - 0. Для стрелка в вероятность попадания в 1-ю зону - 0,3, во 2-ю - 0,5, в 3-ю - 0,2. Составить ряд распределения суммы очков, выбиваемых обоими стрелками вместе, и вычислить М(Х), Д(Х),.

 

 

СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРКИ

 

Пусть мы занимаемся изучением случайной величины Х (случайный количественный признак Х), закон распределения которой неизвестен. Над случайным признаком Х генеральной совокупности произведено n независимых наблюдений, при этом с.в. Х приняла значение:

х 1 - n1 раз

х 2 - n2 раза

.

.

.

x к - nк раз.

При этом n1 + n2 +...+ nк = n.

Получена выборка объема n.

О п р е д е л е н и е. Совокупность значений признака, записанных в порядке возрастания, называется вариационным рядом.

О п р е д е л е н и е. Составим таблицу, в первую строку которой поместим наблюдаемые значения с.в. Х в порядке возрастания (варианты), во вторую- относительные частоты:

рi= ni /n.

Получим

хi	x1	x2	…	xk
рi	р1	р2	…	Рk

Эта таблица в математической статистике называется статистическим рядом или статистическим распределением.

Очевидно, р1 +р2 +...+рк =1.

 

Пример 1. В результате изучения признака Х получены следующие результаты:

набл.знач. признака
частота

Найти статистическое распределение выборки.

Решение. Найдем относительные частоты:

р1 =1/20, р2 =5/20, р3 =7/20, р4 =3/20, р5 =4/20 (сумма относительных частот равна 1).

Ответ:

хi
pi	1/20	5/20	7/20	3/20	4/20

 

Контрольные задания

Задача 1. Построить статистическое распределение выборки из 60-ти абитуриентов, которые исследовались на число баллов, полученных ими на приемных экзаменах: 20,19,22,24,21,18,23,17,20,16,15,23,21,24,21,18,23,21,19,20,24,21,20,18,17,22,20,16,22,18,20,17,21,17,19,20,20,21,18,22,23,21,25,22,20,19,21,24,23,21,19,22,21,19,20,23,22,25,21,21.

 

Задача 2. Дано распределение признака Х:

xi	-2	-1
pi

Найти статистическое распределение выборки.