Дифференцирование по формулам, правила дифференцирования

Основные правила дифференцирования функции

Если – дифференцируемые в точке x функции, то:

1.

2.

3.

4.

5.

6. Если функция дифференцируема в точке x, а функция дифференцируема в соответствующей точке то тогда сложная функция дифференцируема в точке x и ее производная в этой точке вычисляется по формуле:

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

1. , если

2. , если x – независимая переменная

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти производную функции в точке .

Решение. Используя правила дифференцирования (2 и 4) и формулу производной степенной функции (3–5), получим

Ответ: .

Пример 2. Найти производную функции

в точке

Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования (2–4), получим:

Ответ:

 

Примеры для самостоятельного решения

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5. Найти , если

Сделать чертеж.

4.6. Найти , если

Сделать чертеж.

4.7. Найти , если

Сделать чертеж.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15. Тело массой 5 кг движется по прямой по закону где t – время (с), s – путь (см). Вычислить кинетическую энергию этого тела в конце 3-й секунды.

4.16. Дан закон прямолинейного движения точки: , где t – время в секундах, . Найти скорость в конце 2-й и в конце 5-й секунды.

4.17. Вывести формулу производной произведения трех дифференцируемых функций.

4.18.

4.19. Под каким углом пересекаются кривые и

4.20. Составить уравнение той нормали к кривой , которая перпендикулярна прямой . Сделать чертеж.

Ответы

4.1. ;

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

4.20.

 

Производная сложной функции

Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция дифференцируема в точке и ее производная вычисляется по формуле:

.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Обозначим , тогда . По правилу дифференцирования сложной функции получаем

Ответ: .

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Здесь ,где

Ответ:

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. Здесь , где

Ответ

Пример 4. Найти производную функции где

Решение. Перед нами показательно-степенная функция, т.е. функция вида .

Для ее дифференцирования можно воспользоваться несколькими способами. Один из них мы рассмотрим сейчас, другой будет разобран в параграфе о дифференцировании функций, заданных неявно. Итак, преобразуя заданную показательно-степенную функцию с помощью основного логарифмического тождества, приведем ее к виду показательной функции:

Получили сложную функцию , где

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.

5.25.

5.26.

5.27. Составить уравнение той касательной к кривой , которая перпендикулярна прямой . Сделать чертеж.

5.28. Зависимость между количеством вещества, получаемого в некоторой химической реакции, временем t выражается уравнением: . Определить скорость реакции.

5.29.

 

Ответы

5.1. ; 5.2. ;

5.3. ;

5.4. ;

5.5. ;

5.6. ; 5.7. ;

5.8. ; 5.9. ;

5.10. ;

5.11. ;

5.12. ;

 

5.13. ;

5.14. ;

5.15. ; 5.16. ; 5.17. ;

5.18. ; 5.19. ; 5.20. ;

5.21. ; 5.22. ;

5.23. ; 5.24. ; 5.25. ;

5.26. ; 5.27. ; 5.28.

5.29.

.