Проблеми історії математики та інформатики.

Проблеми історії математики та інформатики.

Історія математики та інформатики вивч. об’єктивні закони зародження і встановлення, розвитку знань з відповідної науки.

До основних завдань інф. та матем. відносять такі питання:

1) як формувався фактичний зміст відповідних розділів мат та інф.: поняття, ідеї, теорії і методи матем та інф, особливості розвитку окремих дисциплін мат та інф.;

2) внесок окремих народів та персон в істор. розвитку;

3) зясування зв’язків математики та інф. з конкретним практичними проблемами на кожному етапі розвитку людства, зв’язків з розвитком інших наук, зокрема з гуманітарними науками, з економікою, з соц. структурою суспільства.

4) вивч. внутрішніх чинників: як формув. окремі розділи матем. та інф., визрівали логічні зв’язки між ними.

Періодизація історії розвитку математики.

У 1938 році академік А.М. Колмогоров запропонував періодизацію історії математки, яка до сьогоднішнього дня визнається найвдалішою:

1) Зародження матем. (з найдавніших часів до 6-5 ст. до н.е).

Тут виникають два важливих абстрактних поняття: число(спочатку натуральне а потім додатне дробове) і геометрична фігура. Практичні операції лічби, операції над множинами, вимірювання різних величин: довжин,площ, об’ємів,часу. У цей період формувалась арифметика та геометрія у вигляді єдиного предмета-математики.

2) Математика сталих величин (з 5 ст. до н.е. до кінця 16 ст. н.е.)

Початок цього періоду пов'язаний із Стародавньою Грецією. За математичним змістом цей період поділяють на два періоди: переважного розвитку геометрії (5 ст. до н.е.- 2 ст. н.е);переважного розвитку алгебри та тригонометрії (2 ст. н.е.-кінець 16 ст.).

За історичними умовами на три: грецький, східний,західноєвропейський.

Істотною відміною цього періоду від попереднього є систематизація матем. фактів, виділення їх в окрему наукову дисц. Зі своїми методами та предметами дослідж.

3) Математика змінних величин (з поч. 17 ст. до середини 19 ст.)

Характерні особливості цього періоду: математ. вивчає рух, зміни, процеси, предметом вивчення стають змінні величини та зв’язки між ними,функції.

Зявл. розділи матем: аналітична геометрія, матем. аналіз, теорія чисел, теорія ймовірностей тощо. Головне завд. алгебри-вивч. теорії та методів розв. алгебр рів-нь, аналізу-вивч. функцій,дійсної,комплексної змінної геометрії,вивч. 3 вимірного простору.

4) Сучасна математика (з серед. 19 ст. дотепер).

Сильно розгалужується предмет математики, галузі її застосування. Зявл багато нових галузей математ. внаслідок відгалуж. від уже існуючих. Окрім числових величин вивч. величини-вектори,тензори,спінори. Матем. виходить за межі 3 в. простору.Зявл. нові види просторів:топологічні,функц., н-вимірні.

Математика Дворіччя.

Вавилонське царство 19-16 століття до н.е.

Вавилоняни писали клинописними значками на глиняних табличках, які в чималій кількості дійшли до наших днів (більш 500000, з них близько 400 пов'язані з математикою). Вавилонські математичні тексти носять переважно навчальний характер. З них видно, що вавилонська розрахункова техніка була набагато досконалішою єгипетської, а коло вирішуваних завдань суттєво ширше. Вавилонянии використовували 60-річну позиційну систему числення. Писали вони зліва направо. Значків для цифр було всього два клин та крючок: одиниці і десятки; пізніше з'явився значок для нуля.

Основні досягнення: 1) додавання та віднімання виконували як в 10 системі числення,при множені використовувались спеціальні таблиці, ділення (a/b) вони звели до множення (a*1/b);

2) впереше вводиться поняття порожнього розряду;

3)записується дріб з комою;

4)використовується розклад чисел на прості множники, і виведено ряд правильних чисел які розклад на множники 2,3,5;

5)вперше в практиці викор. Закон теореми Піфагора.

Також вавилонці розв’язували лінійні та квадратні р-ня, знали формули арифметичної та геометричної прогресії, застосовували пропорції, відсотки, приблизно знаходили квадратні корені числа, зустрічаються також кубічні рівняння і системи лінійних рівнянь.

У геометрії розглядалися ті ж фігури, що і в Єгипті, плюс сегмент кола і усічений конус. У ранніх документах вважають π = 3; Пізніше зустрічається наближення 25 / 8 = 3,125. Також могли знаходити площу неправильних чотирикутників.

Т.ч. математика Вавилону досягла більшого розвитку чим в Єгипті, при цьому значно вплинула на подальший розвиток математики.

 

Індійська математика

Книга Шульба-сутри (доповнення до Вед) найстаріші редакції цих книг відносяться до VI століття до н. е.., містяться багаті математичні відомості:

-дії з дробами; витяг коренів;

-раціональні наближення для коренів;

-рішення невизначених рівнянь;

- підсумовування арифметичної та геометричної прогресій;

-теорема Піфагора;

-точні і наближені методи для знаходження площі трикутника, паралелограма і трапеції, обсягу циліндра,призми, усіченої призми.

Класична задача комбінаторики: "скільки є способів витягти m елементів з N можливих". Відкрили Біноміальні коефіцієнти та їх зв'язок з біном Ньютона ^[2]. У II столітті до н. е.. індійці знали, що сума всіх біноміальних коефіцієнтів ступеня n дорівнює 2 ⁿ.

Нумерація: Індійська нумерація спочатку була вишуканою. В санскриті були кошти для іменування чисел до 10 ⁵³. Для цифр спочатку використовувалася сиро-фінікійська система, а з VI століття до н. е.. - Написання "брахмі", з окремими знаками для цифр 1-9. Деяк видозмінившись, ці значки стали сучасними цифрами, які ми називаємо арабськими.

Близько 500 р. н. е. винайшли десяткову позиційну систему запису чисел.

Дуже скоро потрібно введення нового числа - нуля. Перший код нуля виявлений у запису від 876 р. н. е.., він має вигляд звичного нам кружечка.

Дроби записувалися вертикально, як робимо і ми, тільки замість риси дробу їх укладали в рамку. Дії з дробами нічим не відрізнялися від сучасних.

Використовували рахункові дошки, пристосовані до позиційної записи. Вони розробили повні алгоритми всіх арифметичних операцій, включаючи вилучення квадратних і кубічних коренів.

Аріабхата (V-VI ст.)праця "Аріабхата" -рішень обчислювальних задач.

Бхаскара (II-VIIIст.) трактат "Сіддханта-шіромані".

 

7. Математичні знання східних слов’ян (від І ст. до ІV ст. н.е.).

Про рівень математичних знань східних слов’ян у І – ІІ ст. н.е. свідчить грошовий обіг, який здійснювався з використанням римської срібної монети. Про рівень астрономічних знань (які в свою чергу обумовлюють математичні) свідчить давньослов’янський календар, знайдений на території с. Ромашки на Київщині. Походження знань в галузі геометрії носить практичний характер. В народному мистецтві простежуються два стилі: “звіриний” і “геометричний” – створення орнаментів з трикутників, ромбів, квадратів, кругів, паралельних і перпендикулярних ліній. Використовувались знаки-символи: хрести, ромби, квадрати, кола та інші фігури. Символами влади вождів вживали залізні тризубці. Будуючи житло східні слов’яни користувались властивістю діагоналей прямокутника, вироблялись різні способи вимірювання висоти предметів, відстані до них, наприклад, при побудові кам’яних фігур ідолів (богів) 2-3 м заввишки, князівські могили насипали іноді висотою до десятків метрів.

З розвитком сільськогосподарських робіт вдосконалюються засоби визначення площі прямокутника, трапеції, трикутників. Деякі джерела свідчать, що площа трапеції обчислювалась як добуток півсуми основ на меншу бічну сторону, площа трикутника – як половина добутку сторін, що містять найбільший кут. Поле довільної форми розбивали на частини, площу яких вміли визначати. В сільському господарстві і побуті були предмети різної форми: циліндричної, кубічної, прямокутного паралелепіпеда, конічна поверхня (курені). З часом вдосконалюються методи обчислення об’ємів таких тіл.

Слов'янські цифри - цифри, що застосовувалися древніми слов'янами для позначення чисел в алфавітній системі нумерації, що виникла в X ст. Вважають, що алфавітне позначення чисел було введено одним з укладачів слов'янського алфавіту - Кирилом (помер у 869 р.).

Система позначення чисел була побудована за типом іонійської, якою користувалися візантійці; числові значення отримали лише літери, що відповідали буквам грецького алфавіту. Ця слов'янська система іменувалася кирилицею.

У другому слов'янському способі позначення чисел - глаголиці - подібності з іонічної системою немає. Там числові значення букв строго відповідають їх алфавітним порядком. В обох системах для виділення в тексті чисел над кожною літерою або треба всім числом ставилося особливий знак (титло).

У слов'янській мові для найменування вищих десяткових розрядів вживалися назви «мале число», в якому назви не йшли далі 106, і «велике число», в яке входили числа до 1050. При цьому одні й ті ж назви позначали в обох системах різні числа. Так, тьма позначала 10 000 в малому числі і 1000000 у великому числі. Легіон позначав в малому числі 10 тьми, а в великом числі - тьму тьми і т. д. 1050 називали колодою.

Букви алфавіту, відповідні числам 1-9, обведені кружком, позначали тьму, обведені кружком з точок - легіон, а гуртком з променів - леодр (леодр - в малому числі дорівнював 10 легіонам, тобто 1 000, а в великом - 1024 = легіон легіонів). Леодр леодрів (1048) називався вороном.

 

8. Стародавня Греція. Вже у давньогрецькій міфології виразно видно прагнення дати всеосяжну картину світу, знайти пояснення всьому сущому. Саме в античній культурі наука вперше в історії людства виділяється у самостійну сферу. Є всі підстави вести мову не просто про накопичення наукових знань (що знаходилися, як правило, у руках жерців), а про розвиток професійної науки.

Нескороминуще значення має антична філософія. Одним з найважливіших досягнень давньогрецької філософії є розробка космологічних питань — про походження Всесвіту, про природу людини.

Історична наука Стародавньої Греції передусім асоціюється з іменем Геродота. Він багато подорожував: відвідав Малу Азію, Стародавній Єгипет, Фінікію, різні міста балканської Греції, узбережжя Чорного моря, де збирав, зокрема, відомості про скіфів. Головна праця Геродота — «Історія», яка присвячена найважливішій політичній події грецької історії — греко-персидським війнам. Важлива праця Геродота і для вивчення минулого народів, що жили на території сучасної України. Саме Геродот дає перший в антична античній літературі системний опис життя і побуту скіфів.

Досить рано стали узагальнюватися медичні знання. У Греції склалося декілька наукових медичних шкіл, найвідоміші — Кнідська і Косська. Представником останньої був Гіппократ, що жив у класичну епоху. Його міркування про причини хвороб, про чотири темпераменти, про роль прогнозу при лікуванні, про морально-етичні вимоги до лікаря здійснили великий вплив на подальший розвиток медицини. Клятва Гіппократа і сьогодні є моральним кодексом лікарів всього світу. Перший систематичний підручник з анатомії тварин склав Діокл. Значними медичними центрами були міста Великої Греції, найяскравішим представником якої був Філістіон.

Синтезом накопичених до того часу математичних знань можна вважати працю Евкліда, що жив в Александрії, «Елементи» (або «Початки»). Викладені в ньому постулати і аксіоми, дедуктивний метод доказів служили впродовж віків основою геометрії. З іменем Архімеда із Сіракуз на острові Сицилія пов'язане відкриття одного з основних законів гідростатики, початок числення нескінченно великих і малих величин, ряд важливих технічних винаходів. Пергам став центром вивчення грецької філології, тут Діонісій Фракійський створив першу граматику.Селевк Вавілонський намагався обґрунтувати положення, що Земля і планети обертаються навколо Сонця по кругових орбітах. Походи Александра Македонського значно розширили географічні уявлення. Дикеарх склав карту світу. Ератосфен з Кірени обчислив довжину екватора Землі, отримавши результат, близький до правильного. Помітно просунулося вивчення людини. Герофіл виявив нерви і встановив їх зв'язок із мозком, він же висловив припущення, що з мозком пов'язані розумові здібності людини. Найбільшим науковим центром елліністичного світу були Александрійський мусейон та бібліотека Александрії, що нараховувала більш ніж півмільйона книг. Сюди приїжджали працювати видатні вчені, поети, художники з усього Середземномор'я.

 

9. Грецькі наукові школи. Мілетська школа (іонійська школа натурфілософії) — (давньогрецька) філософська школа, заснована Фалесом у Мілеті, була спрямована проти ідеалістичної і метафізичної ідеології родової аристократії, в одному з міст Іонії, у першій половині VI ст. до н.е. Представлена Фалесом, Анаксимандром й Анаксименом.

Фалес прийняв за першооснову всього сущого воду. Намагаючись дати розумні, логічні пояснення явищ, Фалес почав підходити і до математичних положень із вимогою: не тільки висловити, але й довести їх. Йому приписують доказ наступних теорем:

1) про розподіл кола навпіл його діаметром;

2) про рівність кутів при підставі рівнобедреного трикутника;

3) про рівність вертикальних кутів;

4) про рівності трикутників по стороні і прилягаючої до неї кутам (так звана друга ознака рівності трикутників),

5) про те, що кут, описаний у півколо, - прямій.

Можливо, що Фалес «доводив» свої теореми про рівність напівкіл, кутів або інших трьох елементів трикутника шляхом накладення, здійснюваного в перших трьох теоремах простим перегинанням креслення, до чого в п'ятій теоремі додається ще поворот креслення навколо центра окружності на 180°.

Узагальнюючи знання єгиптян і вавилонян, мілетська школа прагнула знайти відповідь на питання про основу буття, і відповідно до зростання логічного елемента в суспільному мисленні шукала і обґрунтування окремих положень геометрії. І якщо єгипетська геометрія залишалася в основному геометрією площ, зберігаючи в цьому прямий зв'язок зі своїм походженням, тепер вона стала більше абстрактною. Ще в більшій мірі, чим у єгиптян, користувалися кресленням; прямі лінії розглядалися не тільки як границі земельних ділянок, на кресленні вивчалися властивості трикутників, кутів, кола, важливу роль стало грати поняття подоби.

Фалесу приписується перше застосування циркуля і кутоміра, вимір висоти піраміди по довжині її тіні і своєї власної, а також спосіб визначення відстані корабля від берега. Перша із цих завдань, очевидно, вирішувалася так: з вежі або зі скелі на березі найпростішим інструментом був обмірюваний кут між схилом і напрямком лучачи до корабля. Потім обстановка була відтворена на кресленні в зменшеному масштабі. Нарешті, обмірюване на кресленні відстань множилася на відповідний коефіцієнт. Рішення ґрунтувалося на понятті подоби трикутників, пропорційності сторін, що лежать проти рівних кутів.

Видним продовжувачем ідей Фалеса був його співвітчизник, родич і учень Анаксимандр (близько 610-543 р. до н.е.), автор твору «Про природу». Анаксимандр вважав основою всього існуючого «безмежне» - «апейрон». Уперше висловивши здогад про нескінченність вимірів у нескінченному всесвіті і про природне походження людини, він тим самим висував на перший план ідею об'єктивної закономірності, ідею, що дала значний стимул для розвитку науки про кількісні відносини і просторові форми дійсності.

Анаксимандру приписують:

· визначення екліптики;

· подання про Землю як про круговий циліндр, діаметр якого ставиться до висоти як 3:1;

· побудова перших географічних карт Греції і Землі в цілому, причому в них у перший раз була застосована прямокутна проекція;

· виготовлення сонячних годин і інших астрономічних приладів.

 

Аль Хорезмі

Твір Аль Хорезмі про арифметику зіграв надзвичайно важливу роль в історії математики. І хоча його справжній арабський текст загублений, зміст відомий у латинському перекладі 12 ст., єдиний рукопис якого зберігається в Кембріджі. У цьому творі вперше даний систематичний виклад арифметики, заснованої на десятковій позиційній системі числення. Переклад починається словами «Dixit Algorizmi» (сказав Алгорізмі). У латинській транскрипції ім'я Аль-Хорезмі звучало як Algorizmi або Algorizmus, а оскільки твір про арифметику був дуже популярний в Європі, ім'я автора стало прозивним — середньовічні європейські математики так називали арифметику, засновану на десятковій позиційній системі числення. Пізніше так називали всяку систему обчислень за певним правилом, тепер термін «алгоритм» означає послідовність вказівок, що задає процес обчислень, що починається з довільних початкових даних і направлений на отримання результату, який повністю визначається цими початковими даними.

Книга алгебри Аль-Хорезмі (Китаб мухтасаб ал-джабр і ва-л-мукабала) складається з двох частин — теоретичної (теорія рішення лінійних і квадратних рівнянь, деякі питання геометрії) і практичної (застосування методів алгебри в рішенні господарський-побутових, торгових і юридичних завдань — ділення спадку, складання заповітів, розділ майна, різні операції, вимірювання земель, будівництво каналів). Слово ал-джабр (заповнення) означало перенесення негативного члена з однієї частини рівняння в іншу, і саме з цього терміну виникло сучасне слово «алгебра». Ал-мукабала (зіставлення) — скорочення рівних членів в обох частинах рівняння. Успадковане від східних математиків вчення про лінійні і квадратні рівняння стало основою розвитку алгебри в Європі.

Після введення натуральних чисел, аль-Хорезмі звертає основну увагу в першій частині книги на рішення рівнянь. Розглядаючи лінійні і квадрадні рівняння він використовує поняття числа, кореня x та квадрату x2. У нижченаведеному прикладі використовуються сучасні позначення, щоб допомогти читачу зрозуміти основні ідеї, слід зауважити, що у своїх роботах аль-Хорезмі не використовував жодних символів, лише слова.

Латинський переклад сторінки, яка починається зі слів Діксіт алгоритми

Спочатку потрібно звести рівняння до однієї з шести нормальних форм:

Квадрати рівні кореням (ax2 = bx).

Квадрати рівні числу (ax2 = c).

Корені дорівнюють числу (bx = c).

Квадрати і корені рівні числу (ax2 + bx = c)

Квадрати і числа, рівні кореню (ax2 + c = bx)

Корені і числа, рівні квадрату (bx + c = ax2)

Геометрична частина трактату присвячена, в основному, вимірюванню площ і об'ємів геометричних фігур (трикутник, квадрат, ромб, паралелограм, званий ромбоїдом, коло, сегмент кола, чотирикутник з різними сторонами і кутами, паралелепіпед, круговий циліндр, призма, конус).

Перші університети Європи

До ХІ ст. основна наукова спадщина знаходились в руках представників релігійних каст і освіту молодь отримувала в монастирських школах.

В західній Європі 1088 р. ств. перший університет- Болонський: об’єднує в собі основних представників просвітництва в Італії.

На поч. 13 ст. він нараховує біля 10 тис. студентів. Значна кількість лекцій були публічними і проводились на площах. Панувала демократія між студентами і викладачами. В університетах ств. організовані бібліотеки. Відкрилися: Паризький. Оксфордський, Кембрідзький в Італії Флоренції. Пізніше в східній Європі,Празі, Кракові,Відні,Женеві,Кельні.

На 1500р. у Європі нараховується біля 80 тис. університетів.

Після чіткого визначення класичні університети обов’язково в своєму складі повинні були містити такі факультети: богословський, філософський, гуманітарний, медичний.

Основним методом викладання є лекції та прилюдні диспоти та дискусії, які тривали до 20 год. Обовязковою умовою для проведення диспутів було наведення цитат та витягів з висловлень автора.

В кожному університеті повинен бути присутній підготовчий факультет, навчання на ньому 5-7р. За змістом та завданням його можна прирівняти до коледжу його наз. мистецький. Вивчали 7-8 наук або мистецтв. Далі вибирався напрямок з терміном навч. 5-6 р. і після закінчення можна було отримати ступінь магістра.

 

17. Математика європейського середньовіччя. леонардо фібоначчі та його книга про абак. Розвиток науки припинився. Потреба в математиці обмежується арифметикою і розрахунком календаря церковних свят, причому арифметика вивчається по древньому підручнику. Нікомаха Геразського в скороченому перекладі Боеція на латинський.

Серед небагатьох високоосвічених людей можна відзначити ірландця Біду Високоповажного (він займався календарем, пасхалії, хронології, теорією рахунку на пальцях) і ченця Герберта, з 999 року - римського папи під ім'ям Сильвестр II, покровителя наук, йому приписують авторство декількох праць з астрономії та математики. Стабілізація і відновлення європейської культури починаються з XI століття. Розширюється викладання математики: в традиційний квадривіум входили арифметика, геометрія, астрономія і музика. Перше знайомство європейських вчених з античними відкриттями відбувалося в Іспанії. У XII столітті там переводяться (з грецької й арабської на латинську) основні праці великих греків і їх ісламських учнів. З XIV століття головним місцем наукового обміну стає Візантія. Особливо охоче перекладалися й видавалися «Начала» Евкліда; поступово вони обростали коментарями місцевих геометрів.

В кінці XII століття на базі декількох монастирських шкіл був створений Паризький університет, де навчалися тисячі студентів з усіх кінців Європи; майже одночасно виникають Оксфорд і Кембридж у Великобританії. Інтерес до науки росте, і один із проявів цього - зміна числової сістемі.Довгій час в Європі застосовувалися римські цифри. У XII-XIII століттях публікуються перші в Європі викладу десяткової позиційної системи запису (спочатку переклади ал-Хорезмі, потім власне керівництво), і починається її застосування. З XIV століття індо-арабські цифри починають витісняти римські навіть на могильних плитах. Тільки в астрономії ще довго застосовувалася Шістдесяткова вавилонська арифметика.

Сторінка «Книги абака». Першим великим математиком середньовічної Європи став в XIII столітті Леонардо Пізанський, відомий під прізвиськом Фібоначчі. Основна його праця «Книга абака» (1202 рік, друге перероблене видання - 1228 рік). Абаком Леонардо називав арифметичні обчислення. Фібоначчі був добре знайомий (по арабських перекладах) з досягненнями древніх і систематизував значну їх частину в своїй кнізі.Його виклад по повноті і глибині відразу стало вище всіх античні та ісламські прототипи, і довгий час було неперевершеним. Ця книга справила величезний вплив на поширення математичних знань, популярність індійських цифр і десяткової системи в Європі.

Видний німецький математик і астроном XV століття Йоганн Мюллер став широко відомий під ім'ям Региомонтан - латинізоване назвою його рідного міста Кенігсберг [3]. Він надрукував першу в Європі праця, спеціально присвячену тригонометрії. У порівнянні з арабськими джерелами нового трохи, але треба особливо відзначити систематичність і повноту викладу.

Лука Пачолі, найбільший алгебріст XV століття, друг Леонардо да Вінчі, дав ясний (хоча не дуже зручний) нарис символіки алгебри.

18. Йордан Неморарій- Математик XIII століття. Трактат Йордану Неморарія "Про елементи арифметичного мистецтва". Чудовою особливістю цього твору є постійне вживання в ньому літер для позначення чисел. У трактаті "Пояснення алгоритму" розглядається рахунок в різних системах: словесне числення за десятковою системою з поділом чисел на пальцеві від 1 до 9 і на суглобові різних порядків (десятки, сотні, тисячі і т. д.); індійський письмовий рахунок; дії над цілими числами; дробу звичайні і шестидесятеричной і дії над ними; нарешті, дії з пропорціями.

Трактат "Про дані числах" містить 115 завдань. Зміст завдань I книги може бути представлено у формі пропозиції: якщо дані два квадратних рівняння з двома невідомими, то дані і самі невідомі. II книга присвячена певним завданням першого ступеня, що вирішуються або за допомогою пропорцій, або за правилом простого помилкового положення. III книга займається завданнями з багатьма невідомими, вирішити з допомогою пропорцій і добування квадратного кореня. У IV книзі розглядаються квадратні рівняння з одним та двома невідомими і найпростіше кубічне рівняння x ³ = a.

Йордану належить геометричний трактат "Про трикутниках" (De triangulis). I книга містить у собі різні пропозиції з трикутнику, а на початку деякі визначення. II книга займається завданнями розподілу відрізків прямої лінії і прямолінійних фігур. III книга розглядає коло, а VI книга - вписані і описані многокутники, серед завдань IV книги знаходяться також завдання квадратури кола і трисекции кута.

Томас Брадвардін - філософ і математик, старший представник групиoксфордскіх калькуляторів з Мертон-коледжу, членом якого він був з 1323. В 1349 був обраний архієпископом Кентерберійським і в цьому ж році помер від чуми. Помітний інтерес представляє трактат Брадвардіна "Про теоретичної геометрії" У першому відділі Брадвардін розглядає зірчасті багатокутники, одержувані з правильних опуклих багатокутників шляхом продовження їх сторін до перетину (починаючи з п'ятикутника). У другому відділі Брадвардін займається изопериметрическими властивостями багатокутників, кола і кулі, слідуючи анонімному арабському перекладу Зенодор. Третій відділ трактату присвячений вченню про пропорції. У четвертому відділі обговорюється теорема про існування тільки п'яти правильних багатогранників і розглядається питання про заповнення простору правильними тілами. У трактаті "Про пропорції швидкостей при русі" Брадвардін сформулював гіпотетичний закон, що зв'язує швидкість руху тіла, рушійну силу та опір середовища. Згідно з цим законом, ставлення рушійної сили до опору середовища пов'язане зі швидкістю тіла показовою залежністю."Трактат про континуумі"присвячений вченню про безперервне і дискретно, який лежить на кордоні між фізикою, математикою і філософією. Брадвардін дотримується поглядів Аристотеля на нескінченну подільність континууму і критикує атомістичну концепцію континууму, виводячи з неї різноманітні суперечливі слідства. Брадвардіну належать також трактати "Про теоретичної арифметики" "Про квадратуру кола, "Мистецтво пам'яті"

 

19.Епоха Відродження. Лука Пачолі і його твір “Сума знань з арифметики, геометрії, відношенням і пропорційності”

Лука Пачолі - італійський математик. Виклав правила арифметичних дій, розв'язання деяких алгебраїчних рівнянь та їх додатки до геометрії, теорію геометричних пропорцій.

Сучасний світ немислимий без бухгалтерії. А сучасна бухгалтерія немислима без принципу подвійного запису, який вперше був описаний італійцем Лукою Пачолі в кінці XV століття. Тоді ж з'явилося і саме слово «бухгалтер».

Невпинно працюючи, Пачолі в 1493 році завершує свою головну працю «Сума арифметики, геометрії. Вчення про пропорції і відносинах». 10 листопада 1494 за підтримки венеціанського претора Марко ді Сануто книга була видрукувана в друкарні і відразу ж принесла Пачолі популярність. Над книгою Лука Пачолі трудився тридцять років. У 1496 році його запрошують з лекціями в Мілан, в 1499 р. - до Болоньї, в найстаріший університет Європи. Тут Пачолі познайомився з Леонардо да Вінчі, який, прочитавши «Сума арифметики, геометрії. Вчення про пропорції і відносинах», закинув роботу над власною книгою по геометрії і почав готувати ілюстрації до нового фундаментальної праці Пачолі. Ця робота, опублікована в 1508 році, називалася «Божественна пропорція» і включала в себе бесіди автора з Леонардо да Вінчі. Для всього світу особливо важливо в трактаті XI з роботи «Сума арифметики, геометрії. Вчення про пропорції і відносинах»«Про рахунки і записи», так як це був перший опис подвійної бухгалтерії - основи економічної діяльності сучасного підприємства. Вихід книги помножив славу Луки Пачолі як першого математика епохи. Текст «Суми...» ділиться на відділи, відділи - на трактати, трактати - на розділи. Перша частина; складається з дев'яти відділів, вісім з яких присвячені питанням арифметики і алгебри, а дев'ятий відділ - питань застосування математики в комерційній справі.

Написана Л. Пачолі Summa являє собою енциклопедичний варіант abaci. За своїм обсягом та охопленням тим вона набагато перевершує всі попередні їй твори. Л. Пачолі був умілим компілятором і чудово викладав засвоєні ним знання, при тому, що сам він у розвиток математики не вніс нічого нового. Він писав на італійському, а не на латині, щоб його книги були доступні більш широкої аудиторії (всі дійшли до нас abaci також написані по-італійськи), і його виклад багатьох питань було надзвичайно докладним.

 

Роботи братів Бернуллі.

Якоб Бернуллі (1654-1705) — швейцарський математик, основоположник теорій варіаційного числення і диференційних рівнянь.

Якобу Бернуллі належать значні досягнення в теорії рядів, диференціальному численні, варіаційному численні, теорії ймовірностей і теорії чисел, де його ім'ям названі числа з деякими певними властивостями (числа Бернуллі).

Якобу Бернуллі належать також роботи з фізики, арифметики, алгебри і геометрії.

Числа Бернулі — послідовність раціональних чисел знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових степенів натуральних чисел:

,

де — Біноміальний коефіцієнт.

Нерівність Бернуллі стверджує: якщо , то

для всіх

У теорії ймовірності, формула Бернуллі дозволяє обчислити ймовірність успіхів у серії незалежних експериментів.

Якщо ймовірність настання події в кожному з випробувань стала, то ймовірність того, що подія настане разів в незалежних випробуваннях дорівнює

Йоганн Бернуллі (1667 —1748) —професор Гронінгенського (з 1695) і Базельського (з 1705) університетів, почесний член Петербурзької АН.

В 1648 відкрив експоненціальне числення.

Разом із братом Якобом розробляв аналіз нескінченно малих.

Йому належить перший друкований систематичний виклад інтегрального числення.

Вивів правило розкриття невизначеності типу 0/0, розробив методи інтегрування раціональних дробів, обчислення площ плоских фігур, випрямлення різних кривих, відкрив ряд, називаний його іменем і споріднений із рядом Тейлора, дав визначення поняття функції як аналітичного виразу, складеного зі змінних і постійних величин. Поставив класичне завдання про геодезичні лінії й знайшов характерну геометричну властивість цих ліній, а пізніше вивів диференціальне рівняння, що описує їх.

Повне зібрання його вчених праць з'явилося в Женеві (1742).

 

Математичний аналіз.

Найбільш істотною зміною стало створення фундаменту аналізу (Коші, потім Вейерштрасс). Коші побудував фундамент аналізу на основі теорії границь. Широкий розвиток отримала теорія аналітичних функцій комплексної змінної, над якою працювали Лаплас, Коші, Абель, Ліувілль, Якобі, Вейерштрасс та інші. Значно розширився сам клас спеціальних функцій, особливо комплексних.Численні прикладні завдання стимулювали теорію диференціальних рівнянь, що виросла математичну дисципліну. Детально досліджено основні рівняння математичної фізики, доведені теореми існування рішення, створена якісна теорія диференціальних рівнянь (Пуанкаре). До кінця століття відбувається деяка геометризація аналізу - з'являються векторний аналіз, тензорний аналіз, досліджується нескінченно вимірні функціональні простори (банаховий простір, Гільбертів простір).

Алгебра та теорія чисел.

Намічені у Ейлера аналітичні методи допомогли вирішити чимало важких проблем теорії чисел. Гаусс дав перше бездоганне доведення основної теореми алгебри. Жозеф Лиувилль довів існування нескінченної кількості трансцендентних чисел. У 1873 році Шарль Ерміта публікує доказ трансцендентності числа Ейлера e, а в 1882 році Ліндеман застосував аналогічний метод і до числа π. Формується поняття лінійного простору (Грассман і Келі). У 1858 році Келі публікує загальну теорію матриць, визначає операції над ними, вводить характеристичний многочлен. До 1870 році довів всі базові теореми лінійної алгебри, включаючи приведення до Жорданової нормальної форми.

Теорія ймовірностей

На перше місце виходять теорія похибок, статистика. Цим займалися Гаусс, Пуассон, Коші. Була виявлена важливість нормального розподілу як граничного в багатьох реальних ситуаціях. У всіх розвинених країнах виникають статистичні департаменти суспільства. Завдяки роботам Карла Пірсона виникає математична статистика з перевіркою гіпотез і оцінкою параметрів.

Математична логіка.

Британські математики Август (Огастес) де Морган і Джордж Буль створили математичну логіку як теорію класів, з теоретико-множинними операціями.

У роботі "Формальна логіка" (1847) де Морган описав поняття універсуму і символи для логічних операторів, записав відомі "закони де Моргана". Пізніше він ввів загальне поняття математичного відношення та операцій над відношеннями. Джордж Буль У своїх роботах 1847 - 1854 років заклав основи сучасної математичної логіки і описав алгебру логіки (булеві алгебру). З'явилися перші логічні рівняння, введено поняття конституенти (розкладання логічної формули). Чарльз Пірс в кінці XIX століття виклав загальну теорію відносин і пропозиційних функцій, а також ввів квантори. Сучасний варіант символіки запропонував Пеано.

 

Наукова діяльність

Публіці Буль був відомий в основному як автор ряду важких для розуміння статей на математичні теми і трьох або чотирьох монографій, які стали класичними.

Публікація першої статті («Теорія математичних перетворень», 1839) привела до дружби між Булем і Д. Ф. Грегорі (редактором «Кембриджського математичного журналу», де стаття була опублікована), що тривала до самої смерті останнього. У цей журнал і наследовавший йому «Кембриджський і дублінський математичний журнал» Буль представив двадцять дві статті.

Шістнадцять його статей були опубліковані в «Філософському журналі», шість мемуарів - в «Філософські праці, ряд інших - у «Працях Королівського товариства Единбурга і Королівської Ірландської академії», у «Віснику С.-Петербурзької академії» та в журналі Крелля. Цей список доповнює публікація 1848 року в «Журналі механіка» (Mechanic's Magazine) про математичні засади логіки.Всього Булем було опубліковано близько п'ятдесяти статей в різних виданнях і кілька монографій.

Незабаром після того як Буль переконався, що його алгебра цілком застосовна до логіки, в 1847 році він опублікував памфлет «Математичний аналіз логіки», в якому висловив ідею, що логіка більш близька до математики, ніж до філософії. Ця робота була надзвичайно високо оцінена англійським математиком Огастес (Августустом) Де Морганом. Завдяки цій роботі Буль в 1849 році отримав посаду професора математики Куїнз-коледжу в графстві Корк, незважаючи на те, що він навіть не мав університетської освіти.