Метод Рунге-Кутты IV порядка.

Данная схема является наиболее употребительной. Здесь в разложении функции в ряд Тейлора учитываются члены до h ⁴ включительно, т.е. погрешность на каждом шаге пропорциональна h ⁵. Для практических вычислений используются следующие соотношения, обобщенные в данном случае на решение системы ОДУ:

, где i = 1… p, p – число уравнений в системе.

; k – номер точки, для которой осуществляется расчет;

;

;

.

К достоинствам метода следует отнести высокую точность вычислений. Схемы более высокого порядка точности практически не употребляются в силу своей громоздкости. Также немаловажно, что метод является явным, т.е. значение y _k+1 вычисляется по ранее найденным значениям за известное заранее число действий.

Все представленные выше схемы допускают расчет с переменным шагом. Например, шаг можно уменьшить там, где функция быстро изменяется, и увеличить в обратном случае. Так, метод Рунге-Кутты-Мерсона позволяет оценивать погрешность на каждом шаге и, в зависимости от полученной оценки принимать решение об изменении шага. Автоматический выбор шага позволяет значительно сократить время вычислений.

Метод Рунге – Кутта - Мерсона.

Этот метод отличается от метода Рунге – Кутта четвертого порядка возможностью оценивать погрешность на каждом шаге и в зависимости от этого принимать решение об изменении шага. Один из вариантов формул:

;

R_n+1 = 0.2k₄ – 0.3k₃ – 0.1k₅ - погрешность на каждом шаге.

 

Пусть задана максимальна погрешность . Если , h = h/2, и n+1 цикл расчета повторяется (с точки x_n, y_n) c новым шагом. Если же

, h = 2h

Автоматический выбор шага позволяет значительно сократить время решения ОДУ.

Схема РКМ обобщается на системы ОДУ аналогично классической схеме Рунге – Кутта.

 

Метод Адамса.

Метод основан на аппроксимации интерполяционными полиномами правых частей ОДУ.

Пусть с помощью любого из методов, рассмотренных выше, вычислено решение заданного дифференциального уравнения в точках x ₁, x ₂, x ₃ (а в точке x ₀ решение и так известно – поставлена задача Коши). Полученные значения функции обозначим как y ₀, y ₁, y ₂, y ₃, а значения правой части дифференциального уравнения как f ₀, f ₁, f ₂, f ₃, где f _k = f (x _k, y _k). Начиная с четвертой точки, на каждом шаге интегрирования дифференциального уравнения вычисления осуществляются по схеме

P(EC)^{m}E

где P – прогноз решения; Е ­– вычисление f(x,y); С – коррекция решения; m ­– количество итераций коррекции. Схемы такого типа называют «прогноз-коррекция»: это подразумевает сначала приблизительное вычисление решение по формуле низкого порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о поведении интегральной кривой.

Прогноз осуществляется по экстраполяционной формуле Адамса:

. (10)

Коррекция осуществляется по интерполяционной формуле Адамса:

. (11)

Вычисление осуществляется по формуле:

Количество итераций m ≤ p, где p ­– порядок используемого метода. В ходе каждой итерации решается нелинейное уравнение (11) относительно неизвестной y ₄ (обычно методом простых итераций).

Иногда в методе Адамса используется схеме PECE на каждом шаге процесса интегрирования, т.е. осуществляется только одна коррекция. В силу сложности вычислений метод используется только в мощных программных пакетах численного анализа. Формулы метода также легко переносятся на решение систем ОДУ первого порядка.