Понятие о законах регулирования

Одной из основных характеристик регуляторов, работающих по отклонению, естественно считать уравнение, связывающее регулирующее воздействие m с ошибкой х. В большинстве реальных регуляторов связь величин m и х достаточно сложна и описывается дифференциальным уравнением высокого порядка (как правило, нелинейным). Для целей сравнительного анализа и классификации обычно уравнения регуляторов упрощают, пренебрегая инерционностью элементов, образующих автоматический регулятор.

Законом регулирования называется зависимость между входной и выходной величинами регулятора, составленная без учета инерционности его элементов. Этот термин применяется не только к системам регулирования, но и к следящим системам, системам ориентации, системам управления и т. Д. В последних случаях закон регулирования называется законом управления.

В простейших случаях регулирующее воздействие зависит только от ошибки х:

m = m (х). (1.5)

Если функция (1.5) является линейной, то

m = m^о +kх,

где m^o — постоянная величина; k — коэффициент пропорциональности.

Обозначив Dm =m. — m°, получим, что

Dm = kх. (1.6)

Закон регулирования, характеризуемый уравнением (1.6), называется пропорциональным законом регулирования. Регуляторы, в которых используется такой закон регулирования, называются пропорциональными регуляторами, или П-регуляторами.

Основным достоинством П-регуляторов являетсяих чрезвычайная простота. К сожалению, точность регулирования, обеспечиваемая П-регуляторами, сравнительно невысока, особенно для объектов, обладающих плохими динамическими свойствами. Во многих случаях применение пропорционального закона регулирования приводит к возникновению статической ошибки. В установившемся режиме dm/dt=kdx/dt=0, следовательно dx/dt=0, x=const, т.е. возникает постоянная ошибка.

Уравнение (1.5) характеризует лишь один из возможных подходов к построению автоматических регуляторов. Второй подход заключается в том, что в зависимость от сигнала ошибки ставится не величина регулирующего воздействия, а скорость его изменения. m ˙ = dm/dt:

m ˙ = m₁(x). (1.7)

Если зависимость (1.7) является линейной, то

m ˙ = kx, (1.8)

откуда

(1.9)

Закон регулирования (1.9) называется интегральным законом регулирования, а соответствующий регулятор — интегральным регулятором, или И-регулятором. В установившемся режиме dm/dt=kx=0, следовательно x=0, И-закон обеспечивает астатическое управление.

Практически зависимость (1.9) реализуется при помощи введения в состав регулятора устройств, осуществляющих интегрирование входного сигнала. Во многих случаях такими устройствами являются исполнительные двигатели автоматических систем.

Интегральные регуляторы применяются в целях увеличения точности работы CAP в установившихся режимах. Однако поведение систем регулирования с И – регуляторами в неустановившихся режимах, как правило, оказывается неудовлетворительным и. во всяком случае, худшим, чем в системах, использующих пропорциональный закон регулирования. Причины этого выявляются при сопоставлении соотношений (1.6) и (1.9). В рамках принятой идеализации (при пренебрежении инерционностью элементов регулятора) в П – регуляторе с уравнением (1.6) регулирующее воздействие мгновенно изменяется при изменении ошибки х. Это означает. Что при появлении ошибки П – регулятор тотчас принимает меры для ее ликвидации. Иная картина имеет место в И-регуляторе. Например, при х = х° = const из уравнения (1.9) следует, что

Dm = kx^ot.

Это значит, что пройдет определенный промежуток времени, прежде чем регулирующий орган отклонится на величину, достаточную для ликвидации появившейся ошибки. Такое «отставание» процесса изменения регулирующего воздействия от процесса изменения ошибки х может привести (и в реальных системах часто приводит) к возникновению слабо затухающих или даже расходящихся колебаний регулируемой величины относительно ее требуемого значения.

Отмеченный недостаток И-регуляторов легко устранить объединив уравнения (1.6) и (1.9), т.е. сконструировав регулятор таким образом, чтобы

, (1.10)

где k₁— коэффициент пропорциональности.

Закон регулирования (1.10) называется пропорционально-интегральным законом регулирования, а соответствующий регулятор — пропорционально-интегральным регулятором, или ПИ-регулятором. Благодаря наличию интегральной составляющей в правой части уравнения (1.10) ПИ-регуляторы не имеют статической ошибки. Хорошее поведение CAP с ПИ-регуляторами в неустановившихся режимах (в динамике) обеспечивается (при правильном расчете регулятора) за счет пропорциональной составляющей k₁x закона регулирования. Отмеченные особенности позволили широко использовать ПИ-регуляторы в системах регулирования общепромышленного назначения.

Продифференцировав уравнение (1.10) по времени, получим, что

m ˙ = kx + k₁x ˙ (1.11)

Из сопоставления (1.11) с (1.8) видно, что улучшение динамических свойств CAP с ПИ-регуляторами (по сравнению с системами, использующими интегральный закон регулирования) достигается при помощи введения в закон регулирования составляющей, пропорциональной производной х ˙ = dx/dt от сигнала ошибки по времени, или (короче говоря) при помощи введения производной в закон регулирования. Этот вывод оказывается справедливым не только для И-регуляторов, но и для регуляторов других типов.

Введение производной в закон регулирования является мощным средством улучшения поведения CAP в неустановившихся режимах. В частности, с целью улучшения динамики CAP производная от ошибки часто вводится в пропорциональный закон регулирования. В результате получается пропорционально – дифференциальный закон регулирования

Dm = kx + k₁x ˙ (1.12)

Регуляторы с законом регулирования (1.12) сокращенно называются ПД- регуляторами. Они реагируют не только на саму ошибку х, но и на тенденцию ее изменения. Например, в том случае, когда ошибка х возрастает, х ˙ > 0 и регулирующее воздействие в ПД-регуляторе оказывается больше, чем в П-регуляторе (коэффициенты k, k₁ считаем положительными). Наоборот, при уменьшении ошибки х ˙ < 0 величина Dm в ПД-регуляторе будет меньше, чем в П-регуляторе. Такой характер работы ПД-регулятора способствует демпфированию (гашению) колебаний, возникающих в CAP вследствие инерционности отдельных элементов системы. Более того, ПД-регулятор вступает в действие уже тогда, когда х = 0, но имеется возникшая вследствие тех или иных возмущений скорость изменения ошибки (х ˙ ¹ 0).

На практике производная вводится в закон регулирования при помощи специальных дифференцирующих устройств, выходная величина которых пропорциональна производной от входной величины. Примерами таких устройств могут служить пассивные дифференцирующие электрические цепи, тахогенераторы, операционные усилители и др.

Регулирование только по производной от сигнала ошибки, т. Е. использование закона регулирования Dm = kx ˙ , является нецелесообразным хотя бы потому, что регулятор с таким законом регулирования совершенно не реагирует на постоянные ошибки сколь угодно большой величины (при х = const значение Dm = 0).

Кроме ПИ- и ПД-регуляторов, в практике регулирования часто применяются ПИД- регуляторы с пропорционально-интегрально-диф-ференциальным законом регулирования

, (1.13)

в котором компонент, пропорциональный интегралу от ошибки, обеспечивает требуемую точность работы CAP в установившихся режимах, а компонент, пропорциональный скорости изменения ошибки, предназначен для улучшения динамических свойств CAP.

В качестве примеры технической реализации на рис. 1.6 приведены фотографии цифрового и аналогового ПИД – регуляторов.

Рисунок 1.6 – Цифровой и аналоговый ПИД – регуляторы.

Рассмотренные выше законы регулирования (1.6), (1.9), (1.10), (1.12) и (1.13) относятся к числу простейших. В более сложных случаях в закон регулирования может быть введено несколько интегралов от сигнала ошибки. Производные могут вводиться не только первого, но также второго и более высоких порядков, и не только от сигнала ошибки, но и от регулируемой величины или каких-либо промежуточных координат системы. В регуляторах, реализующих комбинированный принцип регулирования, закон регулирования содержит компоненты, зависящие от измеряемого возмущения его производных и интегралов и т. Д.

Уравнения (1.6), (1.9), (1.10), (1.12) и (1.13) являются линейными относительно входящих в них переменных Dm и х. В связи с этим соответствующие законы регулирования называются также линейными.

В технике регулирования, наряду с линейными, применяются и нелинейные законы регулирования. Простейшими примерами таких законов могут служить соотношения (1.5) и (1.7), если фигурирующие в них функции m(х) и m₁(x) отличны от линейных.

Среди нелинейных законов регулирования наиболее распространены релейные законы. Например, приняв в уравнении (1.5)

,

где m_max > 0 — максимальное значение регулирующего воздействия, получим так называемый двухпозиционный релейный закон регулирования. При

где x_н — величина, характеризующая зону нечувствительности регулятора, соотношение (1.5) определяет трехпозиционный релейный закон регулирования и т. д.

Применение релейных законов регулирования во многих случаях дает возможность решать задачу автоматического регулирования той или иной физической величины весьма простыми техническими средствами, при малом весе и габаритах регулирующей аппаратуры и высоком ее быстродействии. Во многих случаях использование нелинейных законов регулирования и управления позволяет добиться таких результатов, которые принципиально не могут быть достигнуты при помощи линейных регуляторов. Поэтому направление, связанное с разработкой и применением нелинейных законов управления, в настоящее время интенсивно развивается.