Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Друга похідна, її фізичний зміст.
Дії знаходження похідних функцій називаються диференціюванням функцій і виконуються за такими правилами: - Похідна суми певної скінченої кількості функцій дорівнює сумі похідних доданків. - Похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних зменшуваного і від’ємника. - Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків першої функції на похідну другої функції і другої функції на похідну першої функції. Друга похідна та її фізичний зміст. Нехай функція диференційована на деякому проміжку та має похідну . Якщо ця функція є диференційованою в деякій точці інтервалу , тобто має в цій точці похідну, то зазначена похідна називається другою похідною, або похідною другого порядку, та позначається
Приклад 1.: Знайти другу похідну слідуючих функцій:
Розв’язання: 1) Знайдемо першу похідну: . Тепер знайдемо другу похідну 2) ; 3) Похідна від швидкості за часом є прискорення: механічний (фізичний) зміст похідної другого порядку. Приклад 2. Точка рухається прямолінійно за законом . Знайти прискорення точки в момент . Розв’язання: Знайдемо прискорення даної точки. Для цього знайдемо похідну від шляху: . Тепер знайдемо прискорення, для цього знайдемо другу похідну від шляху: . Величина прискорення являється постійною для довільного значення , отже рух точки за даним законом проходить із постійним прискоренням, тобто . Приклад 2. Закон руху тіла знаходиться рівнянням . Яке прискорення тіла в момент, коли його швидкість дорівнює 11 м/с? Розв’язання: Знайдемо прискорення тіла в будь який момент часу, для цього знайдемо другу похідну від шляху: Далі розв’яжемо рівняння і знайдемо потрібний нам момент часу: . Тепер знайдемо прискорення тіла в момент : .
Диференціал функції, його геометричних зміст. Нехай функція y = f (x) має в даній точці похідну (1) Тоді (2) де а 0, якщо х 0. Помноживши обидві частини (2) на Ах, дістанемо: (3) Перший з доданків лінійний відносно х і при х 0 та f'(x0) 0 є нескінченно малою одного порядку з х, тому що: Другий доданок - нескінченно мала вищого порядку, ніж х, тому що: Цей доданок не є лінійним відносно х, тобто містить х в степені, вищому від одиниці. Тоді доданок f'(x)· x називається головною частиною суми двох нескінченно малих. У даному випадку це головна частина приросту функції у і називається диференціалом функції.
Диференціал функції визначається добутком похідної на приріст незалежної змінної і позначається dy або df(x). Отже, маємо dy = f'(x) · x (4) Диференціалом dy називають також диференціал першого порядку. З виразу (4) бачимо що диференціал функції є функція двох незалежних змінних х і х. Якщо y = х, то у' = х' =1, тому dy = dx· x. Тобто диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту незалежної змінної. На цій підставі для будь-якої диференційованої функції y = f (x) можемо формулу (4) записати так: dy = f' (x) dx (5) Останній вираз називатимемо канонічним виразом диференціала функції y = f (x). З (5) діленням на dх (dх 0), безпосередньо знаходимо: (6) Виходить, що похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів. Тепер у позначенні похідної можемо надавати dy і dx самостійного значення: Вираз (3) можемо записати ще так: (7) Звідки де Якщо х 0, то й отже, і 0. Зауважимо, що коли в точці х0 похідна то перший доданок f формулі (3) дорівнює нулю і вже не є головною частиною приросту y. Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (5). Геометричний зміст диференціалу зрозумілий з рисунка. Маємо PN = y, QN = MN tg хf'(x) = f´(x) dx = dy. Отже, маємо функції f (x) при заданих значеннях x0 і х дорівнюють приросту ординати дотичної до кривої y = f (x) в точці х0. Приріст функції у при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її Рис. 1 диференціал геометричне означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозуміло, що така заміна доцільна для достатньо малих значень x. Ітак, сформулюємо геометричний зміст диференціалу: Диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка даної функції, коли аргумент отримує приріст . Формули диференціювання. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Правила диференціювання: I. II. III. IV. Ці правила легко одержати із відповідних правил для похідних. Доведемо, наприклад, два останніх:
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 1847; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.134.87.95 (0.015 с.) |