Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теореми, які полегшують знаходження границь послідовностей
Теорема 1. (Граничний перехід у нерівності). Якщо для будь-якого n виконується нерівність і — збіжні, то . Теорема 2. (Про границю затисненої послідовності). Якщо для будь-якого n і , то Приклад. Теорема 3. (Вейєрштрасса). Про границю монотонної й обмеженої послідовності: 1) якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна; 2) якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна. Приклад. Довести, що при . При доведення очевидне. Нехай , тоді послідовність — монотонно спадна (див. рис. 2.8) і обмежена знизу . Отже, за теоремою Вейєрштрасса послідовність має границю, яку позначимо так: . Послідовність , за винятком першого члена, збігається з послідовністю , отже, . Звідси випливає, що , тобто або , але , отже, . Нехай тепер . Розглянемо
Приклад. Число е Розглянемо послідовність . Можна довести, що ця послідовність монотонно зростає і обмежена . За теоремою Вейєрштрасса існує границя цієї послідовності, яку позначають так: . Зазначимо, що число е = 2,7183... є основою натуральних логарифмів Взагалі, число е, як і число p = 3,14..., широко застосовується в різних задачах, у тому числі й у задачах з економічним змістом. Задача. Суму а грн покладено в банк при р % річних. Як збільшиться ця сума за один рік, якщо вклад безперервно забирати і знову класти в банк? Нехай вклад буде недоторканним цілий рік, тоді його приріст а вся сума . Якщо вклад зняли через півроку і відразу поклали на півроку, то приріст за перше півріччя буде , а за друге – . Отже, вся сума за року буде
Аналогічно можна вважати, що коли брати з банку і знову класти 3 рази на рік, то за рік сума буде така: ,
а за рік Розв’язком задачі буде границя При сума для довільного р, як буде показано в підрозд. 2.7, . Розглянемо деякі цифрові дані: при початковому вкладі , в умовах даної задачі, при річних сума за рік буде грн 83 коп. (а не 200 грн, якщо вклад не знімали цілий рік); при річних S = 102 грн 2 коп. (а не 102 грн, якщо вклад не знімати цілий рік).
Лекція 2 (частина 1) ГРАНИЦЯ ФункціЇ Поняття границі функції Нехай функція визначена у деякому околі точки х = а, за винятком, хіба що, самої точки х = а. Означення. Число b називається границею функції при , якщо для будь-якого існує число , таке що при виконується нерівність
Коротко це означення можна записати так: На рис. 2.13 показано геометричну інтерпретацію , де за заданим e-околом числа b знайдено d-окіл числа а такий, що для всіх відповідні значення функції тобто графік функції лежить у смузі шириною 2 e. Рис. 2.13 Приклад. Довести за означенням, що Доведення. Візьмемо довільне число Покажемо, яким чином треба вибрати За означенням границі функції з нерівності має випливати нерівність . Для того щоб виконувалася така умова, досить вибрати . Нехай область визначення функції включає нескінченний проміжок. Означення. Число b називається границею функції , коли якщо для будь-якого існує число , таке що з нерівності випливає нерівність . Коротко це можна записати так: При або функція може набувати нескінченно великих значень чи прямувати до нуля. Ці випадки можна проілюструвати такими означеннями. Означення. Функція називається нескінченно великою величиною (н.в.в.) при , якщо для будь-якого яке б велике воно не було, існує число , таке що з нерівності випливає , тобто: Означення. Функція називається нескінченно малою величиною (н.м.в.) при , якщо Розглянемо односторонні границі для функції Означення. Правостороння границя функції: Означення. Лівостороння границя функції: Теорема. Для існування необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова
Приклад. Довести, що не існує. Розглянемо односторонні границі: а) ліворуч б) праворуч Рис. 2.14 Отже, не існує, бо односторонні границі хоча й існують, але не рівні між собою (рис. 2.14).
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 199; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.26.246 (0.008 с.) |