Нахождение значений интерполяционного линейного сплайна

 

Если нам уже известны все коэффициенты и , интерполяционного линейного сплайна , то для нахождения его значения в любой точке из отрезка нужно знать еще номер отрезка , такого что .

Воспользуемся простой формулой для нахождения этого номера: . Следовательно, .

Недостатком этой формулы является то, что при мы получаем , а индекс меняется в пределах от до . В этом случае можно поступить следующим образом. Введем дополнительные коэффициенты и . Определим их следующим образом , .

Сложность вычислительного алгоритма построения интерполяционного линейного сплайна. Число арифметических действий, необходимых для построения интерполяционного линейного сплайна, пропорционально числу отрезков (), объем памяти также пропорционален числу отрезков ().

 

2.2. Интерполяционный параболический сплайн

 

Из названия сплайна понятно, что параболический сплайн – это функция, состоящая из «кусочков» парабол. Эти «кусочки» состыкованы таким образом, чтобы параболический сплайн являлся непрерывно дифференцируемой функцией. Обозначим параболический сплайн. Для каждого из отрезка

,

где , и - числовые коэффициенты. Таким образом, на каждом отрезке , три неизвестных коэффициента: , и , а на всем отрезке число неизвестных коэффициентов равно . Для того чтобы однозначно определить интерполяционный параболический сплайн на отрезке , нам требуется уравнений относительно неизвестных , и .

Так как является интерполяционной функцией, то первые уравнения получаем из условий , . Во всех внутренних узлах сетки функция должна быть непрерывной и непрерывно дифференцируемой функцией, следовательно, получаем еще уравнения. В сумме получаем линейных уравнений. Нам необходимо еще одно условие. Естественно ввести краевое условие, то есть условие либо в точке , либо в точке . Так как условия на функцию в этих точках уже заданы, введем условие на .

Для того чтобы однозначно определить интерполяционный параболический сплайн, требуется одно краевое (граничное) условие. Либо задается условие в точке , либо в точке : . В дальнейшем мы будем предполагать, что задано левое краевое условие .

Определение интерполяционного параболического сплайна. Пусть на отрезке задана сетка , в узлах которой заданы значения , . Интерполяционным параболическим сплайном называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1) функция – непрерывно дифференцируемая функция на ;

2) на каждом из отрезков функция является полиномом второй степени вида

, ;

3) функция – интерполяционная функция, то есть: , ;

4) краевому условию .

Отметим, что, отбросив условие три, мы получаем определение параболического сплайна.

Пример. Функция

 

является параболическим сплайном, определенным на отрезке и удовлетворяющим краевому условию . Эта же функция является интерполяционным параболическим сплайном, удовлетворяющим следующей интерполяционной таблице:

 

 

Теорема существования и единственности. Пусть на отрезке заданы интерполяционная таблица , , причем все узлы сетки различны ( при ) и краевое условие . Тогда существует единственный параболический сплайн такой, что и краевое условие .

Другими словами, если задана интерполяционная таблица , в которой все узлы сетки различны, и краевое условие, то существует единственный интерполяционный параболический сплайн, удовлетворяющий этой таблице и краевому условию.