Вопрос 1 . Правило сложения и умножения

Вопрос 36. центральная предельная теорема.

Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин и чаще всего ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения.

Вопрос 11 часть 1 условная вероятность часть 2 теорема умножения

часть 1 условная вероятность

Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А.

Условной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В частности, отсюда получаем

Часть 2 теорема умножения

Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е.

P(AB)=P(A)PA(B)

(4)

 

Доказательство. Докажем справедливость соотношения (4), опираясь на классическое определение вероятности. Пусть возможные исходы Е1, Е2,..., ЕN данного опыта образуют полную группу равновероятных попарно несовместных событий, из которых событию A благоприятствуют M исходов, и пусть из этих M исходов L исходов благоприятствуют событию B. Очевидно, что совмещению событий A и B благоприятствуют L из N возможных результатов испытания. Это дает

; ;

Таким образом,

Поменяв местами A и B, аналогично получим

(5)

Из формул (4) и (5) имеем

(6)

Теорема умножения легко обобщается на любое, конечное число событий. Так, например, в случае трех событий A1, A2, A3 имеем *

В общем случае

 

Вопрос 25. дисперсия

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называетсясреднеквадрати́чным отклоне́нием

, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышева следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/ k ². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.

Определение

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание^[1][2].

[Замечания

§ Если случайная величина вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

§ Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;

§ Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.

§ Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов :

§ Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

Свойства

Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание; Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: Верно и обратное: если то почти всюду; Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

, где — их ковариация; Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

, где ; В частности, для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;

Вопрос 15.Схема Бернулли.

В научной и практической деятельности постоянно приходиться проводить многократно повторяющиеся испытания в сходных условиях (физический и технический эксперимент, метеорология, организация производства и т.д.). Как правило при этом результаты предшествующих испытаний никак не сказываются на последующих. Простейший тип таких испытаний состоит в том, что в каждом из испытаний некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью p и эта вероятность остается одной и той же независимо от результатов предшествующих и последующих испытаний. Этот тип событий называют схемой Бернулли(по имени исследователя Якоба Бернулли). Схема Бернулли положила начало многим дальнейшим построениям и обобщениям теории вероятностей. Пусть проводится серия из n независимых испытаний в каждом из которых с вероятностью p может наступить некоторое событие А. В схеме Бернулли под элементарным событием принято понимать последовательность наступлений или ненаступлений события А в данной последовательности испытаний.

 

Вопрос 1.ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.

Правила сложения и умножения вероятностей: если события попарно несовместны, то справедливо равенство

Из правила сложения вероятностей для двух событий вытекает правило нахождения вероятности противоположного события:

Для произвольных событий A и B имеет место формула:

В случае n слагаемых (n>2) эта формула принимает вид:

Вероятность p(В|А) события В при условии наступления события А по определению равна:

Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения двух событий:

Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:

События называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Правило умножения вероятностей для n событий: если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

В частности, если события независимы, то

Вопрос 3. Размещения.

Пусть имеется множество из четырех различных цифр {3,5,7,8}. Необходимо составить всевозможные двузначные числа, каждое из которых состоит из различных цифр.Каждое число является упорядоченным подмножеством, состоящим из двух элементов, данного множества, состоящего из четырех элементов. Перечислим их: 35, 37, 38, 53, 73, 83, 57, 58, 75, 85, 78, 87. Всего таких подмножеств- двузначных чисел получилось 12. Каждое упорядоченное подмножество называется размещением. Определение: Размещением из п элементов по т называется любое упорядоченное подмножество из т элементов множества, состоящего из п элементов.На практике чаще представляет интерес не конкретный вид размещений, а их количество. Следующая теорема дает общую формулу для вычисления размещений.

Теорема: Число размещений из n элементов по m равно

Доказательство: необходимо заполнить т мест элементами множества из п элементов. Каждое действие- это выбор определенного элемента. Действия совершаются последовательно, значит применимо правило умножения. Первый элемент можно выбрать п способами, второй- (п-1) способами, последний т- ый элемент- (п-(т-1)) способами. Тогда количество размещений равно п(п-1)(п-2)…(п-(т-1)). Умножим и разделим данное выражение на (п-т)!, преобразовав получим более удобный вид:

Пример. Сколько можно составить четырехзначных чисел, состоящих из разных цифр, использую все 10 цифр?

Решение: В числе важен порядок следования цифр. Следовательно, нужно найти количество размещений из 10 по 4:

Но среди них есть числа с нулем в начале. из полученного значения 5040 необходимо вычесть количество таких чисел. Найдем это количество: т.к. на первом месте стоит о, то оставшиеся три выбираем из 9, т.е.

Искомое количество чисел равно 5040-504=4536.

 

. Вопрос 2. Перестановки

Рассмотрим случай, когда п=т. Такие размещения называются перестановками.

Определение: Перестановкой из п элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все п различных элементов данного множества.

Формулу для определения количества перестановок дает теорема.

Теорема: Число перестановок п различных элементов равно п!, т.е. Р_п=п!

Доказательство:

Следовательно, Р _n= n!

Вопрос 4. Сочетания

В размещениях и перестановках важен порядок элементов. Рассмотрим случаи, когда порядок элементов в множествах не учитывается, т.е. случаи составления неупорядоченных множеств. Например:Из чисел 3, 5, 2 составить всевозможные произведения из двух различных множителей.

Для произведения справедлив переместительный закон (свойство коммутативности), значит необходимо составить неупорядоченные подмножества из двух элементов множества, состоящего из трех элементов. Такие подмножества называются сочетаниями. Определение: Сочетанием из п элементов по т называется любое неупорядоченное множество из т элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из п элементов.

Вернемся к задаче. Составим требуемые произведения:

Как видим, в сочетаниях не учитываются перестановки элементов в каждом построенном подмножестве. Учтем это при доказательстве следующей теоремы.

Теорема: Число сочетаний из п элементов по т равно

Доказательство: Число размещений из п по т можно получить следующим образом: выбирать по т элементов, не учитывая порядок. Это есть сочетания из п по т. А затем в каждом подмножестве произвести перестановки. Пользуясь правилом умножения, получим

.

Откуда имеем:

Свойства сочетаний: