Математические модели задач дискретного программирования

По структуре математической модели задачи дискретного программирования разделяют на следующие классы:

1) задачи с неделимостями;

2) экстремальные комбинаторные задачи;

3) задачи на несвязных и на невыпуклых плоскостях;

4) задачи с разрывными целевыми функциями.

Рассмотрим существо некоторых из них.

Задачи с неделимостями. Математические модели задач с неделимостями основаны на требовании целочисленности переменных { x_i}, вытекающем из физических условий практических задач.

К таким задачам относится задача об определении оптимальной структуры производственной программы, где {х_1, х₂,..., х_п} - объемы выпуска продукции.

Эта задача заключается в отыскании

(8.13)

при

(8.14)

(8.15)

Если J =N = (1,2,..., n), то задача называется полностью целочисленной, в противном случае, если J≠N - частично целочисленной.

Задача о ранце. Одной из наиболее распространенных задач целочисленного программирования является так называемая задача о ранце.

Рассмотрим постановку данной задачи. Турист готовится к длительному переходу в горах. В рюкзаке он может нести груз, масса которого не более W. Этот груз может включать в себя п видов предметов, каждый предмет типа j, массой w_j, j = 1,2,..., n. Для каждого вида предмета турист определяет его ценность E_j вовремя перехода. Задача заключается в определении количества предметов каждого типа, которые он должен положить в рюкзак, чтобы суммарная ценность снаряжения была максимальной.

Обозначим через х_j количество предметов j-го типа в рюкзаке.

Тогда математическая модель задачи такова:

(8.16)

при ограничениях

x_j -целое, i= 1,2,..., т. (8.17)

Задача о коммивояжере. Имеется (n + 1) город. Задана матрица

С = ||c_ij || расстояний между городами. Выезжая из исходного города A_ij, коммивояжер должен побывать во всех остальных городах по одному разу и вернуться в город А_ij. Требуется определить, в каком порядке следует объезжать города, чтобы суммарное пройденное расстояние было минимально.

Введем переменные:

X_ij — 1, если коммивояжер переезжает из населенного пункта А, в А_j; х_ij - 0 - в противном случае.

Математическая модель задачи имеет следующий вид: найти

(8.19)

при условиях

; (8.20)

; (8.21)

, (8.22)

 

где u_i, u_j - произвольные целые и неотрицательные числа.

Условие (8.20) означает, что коммивояжер выезжает из каждого города один раз, а условие (8.21)- что он въезжает один раз в каждый город.

Если ограничить задачу только условиями (8.20) и (8.21), она будет эквивалентна задаче о назначениях, план которой не обязан быть цикличным. Иначе говоря, путь коммивояжера при этом можно представить как рад несвязанных подциклов, в то время как его путь в действительности состоит из одного цикла.

Покажем, что для любого цикла, начинающегося в A_ij можно найти u_i удовлетворяющие условию (8.22). Пусть u_i =p, если коммивояжер посещает город А_i на р- мэтапе. Отсюда следует, что

u_i- и_j ≤ п - 1 для всех i и j, и, таким образом, условие (8.22) выполняется при x_ij = 0.

При х_ij = 1 условие (8.22) выполняется как строгое равенство:

u_i-u_j+nx_ij=p-(p+ 1 )+n = n- 1.

 

8.3. Метод ветвей и границ для задачи целочисленного программирования

Рассмотрим частично целочисленную задачу ЛП:

минимизировать

(8.23)

при условиях

; (8.24)

; (8.25)

- целые числа. (8.26)

Процесс поиска оптимального решения начинают с решения непрерывной задачи ЛП. Если полученный при этом оптимальный план не удовлетворяет условию (8.26), то значение целевой функции дает нижнюю оценку для искомого решения, т.е. .

Пусть некоторая переменная х_i0 (1≤ i₀ ≤ т) не получила в плане целочисленного решения. В целочисленном плане значение х_i0 следует либо уменьшить, по крайней мере до [ х_i0 ], либо увеличить, по крайней мере до [ х_i0 ] + 1.

Если границы изменения х_i0 заранее не заданы, то их можно вычислить, решив для этого две вспомогательные задачи ЛП. Эти задачи состоят в максимизации и минимизации х_i0 при условиях (8.24) и (8,25).

Теперь для каждого фиксированного целочисленного значения х_i0 в найденном отрезке [х_i0min, х_i0max] находят min z, решая задачу ЛП с ограничениями (8.24), (8.25) и с дополнительным ограничением х_i0≤k_i0..

Таким образом, все указанные выше возможности можно представить в виде некоторого дерева, в котором вершина 0 отвечает плану , а каждая из соединенных с ней вершин отвечает оптимальному плану следующей задачи: минимизировать z при условиях (8.24), (8.25) и дополнительном условии, что переменной х_i0 дано значение х_i0 ≤ к_i0, где к_io - целое число. Каждой из таких вершин приписывают оценку, которая равна min z при указанных выше ограничениях. Очевидно, , для всех k.

Если оптимальные планы полученных задач удовлетворяют условиям целочисленности, то план с минимальной оценкой и будет оптимальным планом исходной задачи. В противном случае возникает необходимость в продолжении ветвления. При этом каждый раз для очередного ветвления выбирают вершину с наименьшей оценкой.

Любой маршрут в дереве от начальной вершины 0 до некоторой вершины определяет допустимую последовательность выбора целочисленных решений для переменных. Процесс продолжают до тех пор, пока продолжение ветвления становится невозможным.

Каждая конечная вершина отвечает некоторому допустимому целочисленному плану. Вершина с минимальной оценкой дает оптимальный план.

Рассмотрим алгоритм решения задачи целочисленного программирования.

На первом этапе необходимо задать множество G⁽⁰⁾, определяемое условиями (8,24), (8.25).

На втором этапе формируются множества задаваемые условиями (8.24), (8.25) и дополнительным условием

x_j≤[x_j0] или x_j≥[ x_j0] +1 (8.27)

где [x_j0]- целая часть х_j0.

На третьем этапе осуществляется вычисление оценок. Для множества G⁽⁰⁾ оценку определяют как =f(), где - оптимальный план непрерывной задачи ЛП. Для множества оценку определяют аналогично:

где -оптимальный план задачи с условиями (8.24), (8.25) и с дополнительным условием (8.27).

Если множество оказывается пустым, ему приписывают оценку = ∞.

На четвертом этапе осуществляется нахождение планов. Если план удовлетворяет условию целочисленности (8.26), -оптимальный план задачи. Если удовлетворяет условию целочисленности (8.26), он является оптимальным планом задачи с условиями (8.24), (8.25), (8.27) и некоторым планом исходной задачи (8.23) - (8.26).

На пятом этапе выполняют ветвление. Ветвление производят в том случае, когда план не удовлетворяет условию целочисленности (8.26).

Пусть - одна из нецелочисленных компонент плана, где 1 ≤ρ≤n₁, тогда множество разбивают на два подмножества:

.причем

; (8.28)

(8.29)

Укажем некоторые особенности метода ветвей и границ для задач ЦП.

1. Если все коэффициенты с_j целевой функции - целые при 1 ≤j≤n_i и равны нулю при j > n_i, то оценку можно заменить на более сильную оценку , где ]а[ обозначено наименьшее целое, но не меньшее, чем а, т.е. округленное до ближайшего целого с избытком.

2. Алгоритм метода в вычислительном отношении представляет собой последовательность задач ЛП, причем конечность алгоритма следует из предполагаемой ограниченности множества G.

3. Из описания -алгоритма следует, что в применении метода ветвей и границ для полностью целочисленных и для частично.целочисленных задач нет никакой разницы.

Геометрически этот метод можно интерпретировать таким образом. Гиперплоскость, определяемая функцией задачи, вдавливается внутрь многогранника планов соответствующей задачи ЛП до встречи с ближайшей целочисленной точкой этого многогранника.

■ Пример 1 применения метода ветвей и границ для решения задач дискретного программирования.

Возьмем задачу

Максимизировать 3 x₁ +3 x₂ +13 x₃

При ограничениях -3 x₁+6 x₂+7x₃≤8;

6 x₁-3 x₂ +7x₃≤8;

где каждая переменная x_j должнабыть неотрицательным целым. Предположим, что заданы границы на каждую переменную:

0≤ x_j≤5, j=1,2,3.

Как принято, обозначим x₀^t значение целевой функции.

На итерации 1 примем нижнюю границу x ₀¹ , поскольку при всех x_j =0 имеем допустимое решение. Основой список содержит лишь одну задачу линейного программирования (8,) (9) и (10), которую назовем задачей 1. Выберем эту задачу на шаге 1 и найдем ее оптимальное решение на шаге 2:

x₀=16, x₁=x₂= , x₃=0.

Поскольку решение не является целочисленным, перейдем от шага 3 к шагу 4 и выберем x₁. Внесем далее в основной список

Задачу 2: ограничения (9)

3≤x₁≤5; 0≤x₂≤5; 0≤x₃≤5;

Задачу 3: ограничения (9)

0≤x₁≤2; 0≤x₂≤5; 0≤x₃≤5;

Допустимое решение задачи 2 отсутствует. Поэтому выберем x₀²= x₀³=0 и вернемся к шагу 1. выберем теперь задачу 3 и получим на шаге 2 оптимальное решение, x₀= , x₁=x₂=2, x₃= , не являющееся целочисленным. Дальнейшее решение задачи показано на рис.