Лабораторная работа 1. Нахождение кратчайших путей в графе

Математические методы

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

 

 

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом

государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

 

 

Оренбург 2008

УДК 517(075.32)

ББК 22.176 я 73

А - 92

 

 

Рецензент

преподаватель кафедры вычислительной техники и математики КЭиБ ГОУ ОГУ Попова Л.А.

 

Атяскина Т.В.

А-92 Математические методы [Текст]: методические указания к лабораторным работам. /Т.В.Атяскина. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2008. –40 с.

Методические указания предназначены для выполнения лабораторных работ, обеспечивающих учебный процесс по дисциплине “Математические методы” в колледже электроники и бизнеса ОГУ для студентов 3 курса в 6 семестре специальности 230105 “программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем” очной формы обучения.

Методические указания составлены с учетом Государственного образователь­ного стандарта среднего профессионального образования по направлению подго­товки дипломированных специалистов - утвержденного 30.12.2003 Министерством Образования Российской Федерации.

ББК 22.176 я 73

 

 

ã Атяскина Т.В., 2008

ã ГОУ ОГУ, 2008

Содержание

Введение………………………………………………………………………………
1 Лабораторная работа 1. Нахождение кратчайших путей в графе……………....
1.1 Ход работы……………………………………………………………………….
1.2 Содержание отчета………………………………………………………………
1.3 Методические указания к лабораторной работе 1…………………….............
1.4 Задание для лабораторной работы 1……………………………………………
1.5 Контрольные вопросы к защите лабораторной работы 1 ……...……………..
2 Лабораторная работа 2. Решение задач линейного программирования.…………………………………………………..........................
2.1 Ход работы…………………………………………………………………..........
2.2 Содержание отчета……………………………………………………………….
2.3 Методические указания к лабораторной работе 2……………………………
2.4 Задание для лабораторной работы 2….………………………………………...
2.5 Контрольные вопросы к защите лабораторной работы 1 ……...……………..
3 Лабораторная работа 3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.…..………………………………………………………………
3.1 Ход работы……………………………………………………………………….
3.2 Содержание отчета………………………………………………………………
3.3 Методические указания к лабораторной работе 3……………………….........
3.4 Задание для лабораторной работы 3……………………………………………
3.5 Дополнительное задание для лабораторной работы 3………………………..
3.6 Контрольные вопросы к защите лабораторной работы 3 ……...…………….. Список использованных источников………………………………………….........

 

 

Введение

 

По мере развития науки и техники перед человеком все чаще встает проблема: «Как найти правильное решение?». Для облегче­ния решения этой задачи реальные процессы (или объекты) заме­няются их аналогами или моделями. Затем производится анализ по­ведения модели в тех или иных условиях с помощью персонального компьютера. В этом случае говорят о компьютерном моделирова­нии. Но персональный компьютер может работать только с матема­тическими моделями, которые с помощью языков программирова­ния переводятся в набор машинных кодов, которые и обрабатывает персональный компьютер. Какое же место занимают математиче­ские модели и как они получаются?

Построение математической модели процесса, явления или объ­екта начинается с построения упрощенного варианта модели, в ко­тором учитываются только основные черты. В результате прослеживаются основные связи между входными параметрами, ограни­чениями и показателем эффективности. Общего подхода к построе­нию модели нет. В каждом конкретном случае при построении ма­тематической модели учитывается большое количество факторов: цель построения модели, круг решаемых задач, точность описания модели и точность выполнения вычислений. Математическая модель должна отражать все существенные факторы, определяющие ее по­ведение, и при этом быть простой и удобной для восприятия резуль­татов. Каждая математическая модель процесса, явления или объекта в своей основе имеет математический количественный метод.

Применение математических количественных методов для обоснования выбора того или иного управляющего решения во всех областях человеческой деятельности называется исследованием операций. Целью исследования операций является нахождение с использованием специального математического аппарата решения, удовлетворяющего заданным условиям.

 

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1) тему работы;

2) цель работы;

3) ход работы;

4) постановку задачи, с указанием предметной области;

5) модель задачи;

6) аналитическое решение задачи алгоритмами Краскала и Прима;

7) распечатку программы решения задачи;

8) результаты решения задачи.

 

Понятие графа

 

Графом G=(X,U) называется пара двух конечных множеств: Х – множество точек (вершин) и U – множество линий (ребер), соединяющих некоторые пары точек.

Если граф имеет ребро, у которого начало и конец совпадают, то это ребро называется петлей.

Если ребро графа имеет направление, то оно называется дугой.

 

1.3.2 Виды графов

 

Существуют следующие виды графов:

1) Граф, состоящий из вершин и соединяющих их ребер, называется неориентированным (н-граф);

2) Граф, состоящий из вершин и соединяющих их дуг, называется ориентированным (орграф);

3) Ребра, соединяющие одну и ту же пару вершин, называются параллельными или кратными. Граф, содержащий кратные ребра называется мультиграфом;

4) Граф, в котором проведены все возможные ребра, но не имеющий петель и кратных ребер, называется полным;

5) Граф, содержащий как ребра, так и дуги называется смешанным;

 

1.3.3 Матричное представление графа

 

Матрицей смежности графа G - называется квадратная матрица порядка n, где n – число вершин графа G и определяется следующим образом:

А_nxn=[а_ij] = 1 – есть ребро (дуга) (х_i; х_j) или петля;

 

0 – нет ребра (дуги) (х_i; х_j).

 

Матрицей ициденции графа G с n вершинами и m дугами называется матрица

1, если х_i – начало дуги (х_i; x_j), или петля,

В_nxm=[b_ij] = -1, если х_i – конец дуги (х_i; x_j),

0, если нет дуги (х_i; x_j).

 

В матрицу инциденции н-графа заносят 1, если ребро инцидентно соответствующей вершине, 0 – в противном случае.

 

Путь – это упорядоченная последовательность ребер ориентированного графа, в которой конец предыдущего ребра совпадает с началом следующего и все ребра единственны.

 

Матрицей достижимости графа G называется квадратная матрица порядка n, где n – число вершин графа и определяется следующим образом:

1, если есть путь из х_i в x_j,

D_nxn=[d_ij] =

0, если нет пути из х_i в x_j.

 

Граф не содержащий циклов называется ациклическим.

Связанный ациклический граф называется деревом.

Н-граф называется неориентированным деревом, если он связан и не содержит циклов, а значит петель и кратных рёбер.

Дерево – это минимально связный граф, в том смысле, что при удалении хотя бы одного ребра он теряет связность.

 

Теорема: В дереве с n вершинами всегда n-1 ребро.

 

Ориентированным деревом или ордеревом, или корневым деревом называют орграф со следующими свойствами:

1) Существует единый узел, полустепень захода которого равна нулю, он называется корнем дерева;

2) Полустепень захода всех остальных узлов равна единице;

3) Каждый узел достижим из корня.

 

Остовом графа называется подграф являющийся деревом.

Если граф полный, то в графе существует остовов, где n – число вершин графа.

 

1.3.4 Алгоритм Краскала

 

1) Строится нуль-граф (одни вершины без ребер).

2) Упорядочиваются ребра графа в порядке не убывания их весов.

3) Выбираются из упорядоченного списка ребра, такие чтобы они не образовывали цикл в графе.

4) Если выбрано n-1 ребро (n – число вершин графа), то алгоритм заканчивает работу.

5) Остов должен включать в себя все вершины графа.

 

Пример: Найти кратчайший остов в графе (рисунок 1) алгоритмом Краскала.

X1 2 X2

3 5

X6 4 4 3 X3

44 4

1 1

X5 6 X4

 

Рисунок 1 – Взвешенный граф

 

Решение:

 

1) Построим таблицу ребер данного графа, в порядке неубывания их весов (таблица 1).

 

 

Таблица 1 – Список ребер графа в порядке неубывания весов

 

Начало	Конец	Вес
Х5 Х3 Х1 Х1 Х2	Х6 Х4 Х2 Х6 Х4
Х1 Х1 Х2 Х4	Х4 Х5 Х3 Х5

 

2) Из таблицы 1 выбираем ребра, которые не образуют цикл в графе и строим кратчайший остов (рисунок 2).

 

 

X1 X2

X6 X3

 

Х5 X4

 

Рисунок 2 – Кратчайший остов графа

 

3) Вычислим длину кратчайшего остова: d = 1+1+2+3+3 = 10

 

Для реализации алгоритма Краскала на ПК необходимо:

1) Построить матрицу смежности исходного графа;

2) Составить список ребер с их весами и отсортировать их одним из способов сортировки. Для того чтобы уменьшить время сортировки можно сортировать не весь список, а N-1 ребро, с минимальным весом;

3) Для проверки на цикл можно использовать построение матрицы достижимости после каждого добавления ребра. Добавляем ребро XiXj, смотрим есть ли единица в матрице достижимости на месте XiXj, если есть, то ребро XiXj не перебрасываем в матрицу смежности исходного остова, так как получаем цикл, если единицы нет, то ребро XiXj заносим в матрицу смежности остова.

 

 

1.3.5 Алгоритм Прима

Данный алгоритм определяет кратчайший остов в графе.

Суть данного метода заключается в том, что построение кратчайшего остова выполняется путем добавления к строящемуся остову некоторой ближайшей к нему вершины и соответствующего ребра.

Обозначения:

Ts – множество вершин строящегося остова

As – множество ребер строящегося остова

 

Для вершины Х₁ делаем пометку Х₁^*. Выписываем связи всех остальных вершин с помеченной вершиной: [помеченная вершина; вес] – если связь есть или [0;¥] – если связи нет. Среди имеющихся связей выбираем вершину, которая имеет с помеченной вершиной наименьшее соединение. Такую вершину добавляем к множеству Ts, а соответствующее ребро к множеству As. Алгоритм заканчивает свою работу, если n=N(Ts), где n – количество вершин графа, N(Ts) – количество вершин остова.

 

Пример: Найти кратчайший остов в графе (рисунок 3) алгоритмом Прима.

 

2 Х2

Х1 7 6 Х3

8 Х5 6

11 5

3 7 Х4

Х6 4

2 Х7

 

Рисунок 3 – Граф с весами

 

Решение:

1) Выписываем связи вершин графа с помеченной вершиной:

X1*: X2*: X3*:

x2-[x1; 2]-min x3-[x2; 6]-min x4-[x3; 6]-min

x3-[0, ¥] x4-[0, ¥] x5-[0, ¥]

x4-[0,¥] x5-[x2; 7] x6-[0, ¥]

x5-[x1; 8] x6-[0, ¥] x7-[0, ¥]

x6-[x1; 11] x7-[0, ¥]

x7-[0,¥]

 

 

X4*: X7*: X6*:

x5[x4; 5] x5[0, ¥] x5[x6; 3]-min

x6[x4; 7] x6[x7; 2]-min

x7[x4; 4]-min

 

Ts = {x1, x2, x3, x4, x7, x6, x5}

As = { (x1;x2), (x2;x3),(x3;x4),(x4;x7),(x7;x6),(x6;x5)}

 

2) Используя найденные множества Ts и As, построим кратчайший остов данного графа (рисунок 4).

 

Х2

Х1 Х3

 

Х5

Х4

Х6

Х7

 

Рисунок 4 – Кратчайший остов графа

 

3) Найдем длину получившегося остова: d = 2+6+6+4+2+3 = 23

 

Задание для лабораторной работы 1

Составить постановку задачи, выбрав предметную область (составить граф не менее чем из 8 вершин). Решить задачу алгоритмами Краскала и Прима аналитически;

Составить программу решения задачи в среде программирования Delphi (Реализация одного алгоритма - оценка «3» или «4»; реализация двух алгоритмов – оценка «5»);

 

1.5 Контрольные вопросы к защите лабораторной работы 1

 

1) Что называется графом? Приведите пример.

2) Какие графы называются ориентированными? Какие графы – неориентированные?

3) Какой граф называется взвешенным?

4) Что называется матрицей смежности, матрицей инциденции, матрицей достижимости.

5) Что называется полным графом? Какая закономерность между вершинами и ребрами в полном графе?

6) Что называется деревом? Приведите пример.

7) Что называется остовом? Приведите пример.

8) Какое количество остовов в полном графе?

9) Что называется кратчайшим остовом?

10) Что называется циклом в графе?

11) Алгоритм Краскала.

12) Алгоритм Прима.

 

Задания для лабораторной работы 2

Задание №1

Построить математическую модель задачи линейного программирования, согласно номера своего варианта.

 

Вариант 1

Автотранспортному предприятию (АТП) необходимо освободить из-под груза складские помещения клиента. Вывоз груза следует осуществить в два рейса колоннами автомобилей. Условия перевозки требуют, чтобы в составе каждой колонны, предназна­ченной для вывоза груза в первый район, было 8 автомобилей ЗИЛ-131 и 8 автомобилей ЗИЛ-130; в колоннах второго рейса 8 автомобилей ЗИЛ-130 и 16 — МАЗ-500. Каждая из колонн может сде­лать за сутки одинаковое количество поездок. Парк подвижного состава АТП состоит из 32 автомобилей ЗИЛ-131 грузоподъемнос­тью 3 т, 48 автомобилей ЗИЛ-130 грузоподъем-ностью 4 т, 48 авто­мобилей МАЗ-500 грузоподъемностью 7,5 т.

Определите количество колонн, которое нужно направить в каждый район, чтобы перевезти наибольшее количество груза.

 

Вариант 2

Четыре овощехранилища каждый день обеспечивают кар­тофелем три магазина. Магазины подали заявки соответственно на 17, 12 и 32 т. Овощехранилища имеют соответственно 20, 20, 15 и 25 т. Тарифы (в д.е. за 1 т) указаны в следующей таблице 6.

 

Таблица 6 – Условие задачи варианта 2

 

Овощехранилища	Магазины

 

Составьте план перевозок, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

 

Вариант 3

Имеются два склада готовой продукции: А₁ и А₂ с запаса-
ми однородного груза 200 и 300 т. Этот груз необходимо достав
трем потребителям: В₁, В₂ и В₃ в количестве 100, 150, 250 т соот-
ветственно. Стоимость перевозки 1 т груза из склада А₁ потреби-телям В₁, В₂ и В₃ равна 5, 3, 6 д.е., а из склада А₂ тем же потребителям — 3, 4, 2 д.е. соответственно.

Составьте план перевозок, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

 

Вариант 4

При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед. белков, 8 ед. углеводов и 11 ед. протеина. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в следующей таблице 7.

 

Таблица 7 – Условие задачи варианта 4

 

Питательные вещества	Количество единиц питательных веществ на 1 кг
	Корма 1	Корма 2
Белки Углеводы Протеин

 

Стоимость 1 кг корма первого вида - 4 д.е., второго - 6 д.е.

Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость.

 

Варианта 5

Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь 100 ед., труд - 120 ед., тяга - 80 ед. Хозяйство производит четыре вида продукции П₁, П₂, П₃, П₄. Организация производства харак- теризуется следующей таблицей 8.

 

Таблица 8 – Условие задачи варианта 5

 

Продукция	Затраты на 1 ед. продукции	Доход от единицы продукции
	площадь	труд	тяга
П1 П2 П, П4

 

Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий хозяйству максимальную прибыль.

 

Вариант 6

Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовле- ния трансформаторов обоих видов используются железо и проволока. Общий запас железа - 3 т, проволоки - 18 т. На один транс­форматор первого вида расходуются 5 кг железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида расходуются 3 кг железа и 2 кг проволоки. За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получает прибыль 3 д. е., второго - 4 д. е.

Составьте план выпуска трансформаторов, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

 

Вариант 7

Совхоз отвел три земельных массива размером 5000, 8000, 9000 га на посевы ржи, пшеницы, кукурузы. Средняя урожайность в центнерах на 1 га по массивам указана в следующей таблице 9.

 

Таблица 9 – Условие задачи варианта 7

 

Посевы	Массивы
	I	II	III
Рожь Пшеница Кукуруза

 

За 1 ц ржи совхоз получает 2 д. е., за 1 ц пшеницы - 2,8 д. е., за I ц кукурузы — 1,4 д. е. Сколько гектаров и на каких массивах совхоз должен отвести на каждую культуру, чтобы получить макси­мальную выручку, если по плану он обязан сдать не менее 1900 т ржи, 158 000 т пшеницы и 30 000 т кукурузы?

 

Вариант 8

Из трех продуктов - I, II, III составляется смесь. В ее смеси должно входить не менее 6 ед. химического вещества А, 8 ед. вещества В и не менее 12 ед. вещества С. Структура химических веществ приведена в следующей таблице 10.

 

Таблица 10 – Условие задачи варианта 8

 

Продукт	Содержание химического вещества в 1 ед. продукции	Стоимость 1 ед.
	А	В	С	продукции
I II III		1,5		2,5

Составьте наиболее дешевую смесь.

 

 

Вариан 9

В институте проводится конкурс на лучшую стенгазету. Одному студенту дано следующее поручение:

• купить акварельной краски по цене 30 д. е. за коробку, цветные карандаши по цене 20 д. е. за коробку, линейки по цене 12 д.е. блокноты по цене 10

д. е.;

• красок нужно купить не менее трех коробок, блокнотов - столько, сколько коробок карандашей и красок вместе, линеек не более пяти. На покупки выделяется не менее 300 д. е.

В каком количестве студент должен купить указанные предметы, чтобы общее число предметов было наибольшим?

 

Вариант 10

Цех выпускает три вида деталей - А, В, С. Каждая деталь обрабатывается тремя станками. Организация производства в цехе характеризуется следующей таблицей 11.

 

Таблица 11 – Условие задачи варианта 10

 

Станок	Длительность обработки детали, мин.	Фонд времени,
	А	В	С	час
I
II
III
Отпускная цена
за одну деталь

 

Составьте план загрузки станков, обеспечивающий цеху полу­чение максимальной прибыли.

 

Вариант 11

Предприятие должно выпускать два вида продукции — А и В, используя при этом последовательно четыре станка. Данные о технологическом процессе указаны в следующей таблице 12.

 

Таблица 12 – Условие задачи варианта 11

 

Станок	Трудоемкость на 1 ед. продукции	Фонд времени, час.
	А	В
Прибыль на 1 ед. продукции (д. е.)

 

Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию наибольшую прибыль.

 

Вариант 12

На предприятии для производства запасных частей автомобилей используются три вида ресурсов. Выпускаются три вида запасных частей. Организация производства на предприятии характеризуется следующей таблицей 13.

 

Таблица 13 – Условие задачи варианта 12

 

Ресурсы	Расход материалов на производство одной запасной части, кг	Запас кг
I II III Прибыль от реализации одной запасной части (д. е.)	-	-

 

Составьте план производства запасных частей, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль.

 

Вариант 13

Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката: 400 тыс. л. алкилата, 250 тыс. л. крекинг-бензина, 350 тыс. л. бензина прямой перегонки и 100 тыс. л. изопентона. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях обра­зуется три сорта авиационного бензина: бензин А-2:3:5:2, бензин В-3:1:2:1, бензин С-2:2:1:3. Стоимость 1 тыс. л. указанных сортов бензина характеризуется числами 120 д. е., 100 д. е., 150 д. е.

Составьте план выпуска разных сортов авиационного бензина из условия получения максимальной стоимости всей продукции.

 

Вариант 14

Планируется нанесение удара по некоторому объекту тремя различными видами оружия: оружием А -в течение 3 мин., оружи­ем Б - в течение 5 мин., оружием В - в течение 4 мин. Возможно­сти средств обеспечения стрельбы таковы, что при применении ору­жия А в течение 3 мин., оружия Б в течение 2 мин., оружия В в те­чение 4 мин. общее количество залпов не должно превышать 15. При применении оружия А в течение 2 мин. и оружия В в течение 3 мин. общее количество залпов не должно превышать 8 ед. Кроме то­го, для преодоления противодействия противника необходимо, что­бы количество залпов оружием В за 1 мин. было больше, чем 5 ед.

Рассчитайте темп стрельбы (количество залпов в 1 мин.) всеми
видами оружия, при котором общее количество залпов в ударе будет наибольшим.

 

Вариант 15

Для участия в соревнованиях спортклуб должен выставить команду, состоящую из спортсменов I и II разрядов. Соревнования проводятся по бегу, прыжкам в высоту, прыжкам в длину. В беге должны участвовать 5 спортсменов, в прыжках в длину — 8 спорт­сменов, а в прыжках в высоту - не более 10. Количество очков, га­рантируемых спортсмену каждого разряда по каждому виду, указа­но в следующей таблице 14.

 

Таблица 14 – Условие задачи варианта 15

 

Разряд	Бег	Прыжки в высоту	Прыжки в длину
I II

 

Распределите спортсменов в команды так, чтобы сумма очков команды была наибольшей, если известно, что в команде I разряд имеют только 10 спортсменов.

 

Вариант 16

Звероферма выращивает черно-бурых лисиц и песцов. На звероферме имеется 10 000 клеток. В одной клетке могут быть
либо две лисы, либо 1 песец. По плану на ферме должно быть не
менее 3000 лис и 6000 песцов. В одни сутки необходимо выдавать каждой лисе корма - 4 ед., а каждому песцу - 5 ед. Ферма ежедневно может иметь не более 200 000 единиц корма. От реализации одной шкурки лисы ферма получает прибыль 10 д.е., а от реализации одной шкурки песца — 5 д. е.

Какое количество лисиц и песцов нужно держать на ферме чтобы получить наибольшую прибыль?

Вариант 17

Имеются два элеватора, в которых сосредоточено ответственно 4200 и 1200 т зерна. Зерно необходимо перевезти трем хлебозаводам в количестве 1000, 2000 и 1600 т каждому. Расстояние от элеватора до хлебозаводов указано в следующей таблице 15.

 

Таблица 15 – Условие задачи варианта 17

 

Элеваторы	Хлебозаводы

Затраты на перевозку 1 т продукта на 1 км составляют 25 д.е. Спланируйте перевозки зерна из условия минимизации транс­портных расходов.

 

Вариант 18

Из двух сортов бензина образуются две смеси — А и В.
Смесь А содержит бензина 60% 1-го сорта и 40% 2-го сорта; смесь
В — 80% 1-го сорта и 20% 2-го сорта. Цена 1 кг смеси А — 10 д.е., а
смеси В — 12 д.е.

Составьте план образования смесей, при котором будет полу­чен максимальный доход, если в наличии имеется бензина 50 т 1-го сорта и 30 т 2-го сорта.

 

Вариант 19

Имеются две почвенно-климатические зоны, площади ко­торых соответственно равны 0,8 и 0,6 млн. га. Данные об урожай­ности зерновых культур приведены в следующей таблице 16.

 

Таблица 16 – Условие задачи варианта 19

 

Зерновые культуры	Урожайность (ц/га)	Стоимость 1 ц, д. е.
	1-я зона	2-я зона
Озимые Яровые

 

Определите размеры посевных площадей озимых и яровых
культур, необходимые для достижения максимального выхода продукции в стоимостном выражении.

 

Вариант 20

Для полива различных участков сада, на которых растут сливы, яблони, груши, служат три колодца. Колодцы могут дать соответственно 180, 90 и 40 ведер воды. Участки сада требуют для полива соответственно 100, 120 и 90 ведер воды. Расстояния (в метрах) от колодцев до участков сада указаны в следующей таблице 17.

 

Таблица 17 – Условие задачи варианта 20

 

Колодцы	Участки
сливы	яблони	Груши

 

Как лучше организовать полив?

 

Вариант 21

Предприятие производит сборку автомашин двух марок: А₁ и А₂. Для этого требуются следующие материалы: S_1- комплекты заготовок металлоконструкций в коли­честве b₁=17 шт., необходимые для сборки автомашин марок A₁ и А₂ (соответственно 2 и 3 ед.); S₂ - комплекты резиновых изделий в количестве b₂ = 11 шт. (соответст­венно 2 и 1 ед:); S₃ -двигатели с арматурой и электро­оборудованием в количестве b₃ = 6 комплектов, необходимых по одному для каждой автомашины марки А₁; S₄ - двигатели с арматурой и электрооборудованием в количестве b₄ = 5 комплектов, необходимых по одному для каждой автомашины марки А₁ Стоимость автомаши­ны марки A₁ - с₁ = 7 тыс. ден. ед., а автомашины А₂ - с₂ = 5 тыс. ден. ед. Определить план выпуска, обеспечивающий предприятию максимальную выручку.

 

Вариант 22

Для сохранения нормальной жизнедеятельнос­ти человек должен в сутки потреблять белков не менее 120 усл. ед., жиров не менее 70 и витаминов не менее 10 усл. ед. Содержание их в продуктах П₁ и П₂ равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1). Стоимость 1 ед. продукта П₁ - 2 ден. ед., П₂ - 3 ден. ёд. Требуется так организовать питание, чтобы его стоимость была ми­нимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ.

 

Вариант 23

Определить оптимальный план выпуска изделий с целью по­лучения наибольшей прибыли от их реализации. Условия задачи приведены в

таблице 18.

 

 

Таблица 18 – Условие задачи варианта 23

 

Изделия	Нормы расхода сырья на одно изделие	Стоимость ед. изделия, руб.
	Томаты, кг	Специи, кг	Эл. энергия, кВт-ч
Томаты неочищенные	2,1	0,09
Томаты маринованные	2,3	0,07
Томатная паста	3,2	0,7
Запасы сырья

 

Вариант 24

Кондитерская фабрика на одной поточной линии может выпускать четыре вида шоколадных конфет. Определить план выпуска каждого сорта конфет и обеспечить наибольший экономический эффект. Данные приведены в таблице 19.

 

Таблица 19 – Условие задачи варианта 24

 

Сорт конфет	Нормы расхода сырья на производство 1 кг конфет, кг	Цена 1 кг, руб.
	Шоколад	Сахар	Вафли	Фундук	Крахмал
Мишка на севере	0,2	0,4	0,1	-	0,3
Белочка	0,1	0,5	—	0,3	0,1
Трюфели	0,65	0,3	—	—	0,05
Юбилейные	0,15	0,4	—	—	0,45
Запасы сырья, кг

 

Вариант 25

Швейная фабрика выпускает мужские костюмы четырех ар­тикулов. Составить план выпуска костюмов и минимизировать за­траты на их изготовление по данным, приведенным в таблице 20.

 

Таблица 20 – Условие задачи варианта 25

 

Артикул кос­тюма	Трудоемкость, ч	Эл. энергия, кВт-ч	Тепл. энергия, ккал	Себестои­мость од­ного кос­тюма, руб.
	закрой­щика	швеи	Контро ­лера
	3,5		0,5	11,2
	2,5			8,2
	4,2	5,5	1,2
		4,5	0,8	10,2
Нормы затрат

 

 

Задание №2

Решить задачи линейного программирования графическим способом, согласно своего варианта.

Во всех задачах x₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

 

Вариант 1 Вариант 2

W = 2х₁ - 5х₂ → min; W = х₁ - 4х₂ → min;

3х₁ + 4х₂ ≤ 6 3х₁+ 5х₂ ≥ 8

2х₁ + 3х₂ ≤ 4 -3х₁+ 10х₂ ≤ 16

 

Вариант 3 Вариант 4

F = х₁ + x₂ → max; W = 2x₁ + 2x₂ → min;

х₁ + 3х₂ ≤ 30 x₁ + x₂ ≥ 1

2х₁ + х₂ ≤ 20 -x₁ + x₂ ≤ 1

 

Вариант 5 Вариант 6

F = 2x₁ + 3х₂ → max W = x₁ – 3x₂ → min;

х₁ ≥ 4 x₁ + x₂ ≤ 3

х₂ ≥ 3 - х₁ + 2х₂ ≤ 5

х₁ + х₂ ≤ 8

 

Вариант 7 Вариант 8

W = x₁ - 3x₂ → min; W = 2x₁ + 5x₁ → max;

-x₁ + 2x₂ ≤ 6 x₁ + x₂ ≤ 500

x₁ + 2x₂ ≤ 5 x₁ ≤ 400

x₂ ≤ 300

 

 

Вариант 9 Вариант 10

W = x₁ + 4x₂ → max; W = 2x₁ + x₂ → max;

x₁ + x₂ ≤ 7 2x₁ + 6x₂ ≤ 15

x₁ ≤ 3 4x₁ + 3x₂ ≤ 11

x₂ ≤ 1

 

Вариант 11 Вариант 12

W = 2x₁ + 2x₂ → min; W = 3x₁ + 2x₂ → max;

x₁ + x₂ ≥ 4 x₁ ≥ 1

-x₁ + 2x₂ ≤ 8 x₂ ≥ 0.6

0.1x₁ + 0.4x₂ ≤ 2

 

Вариант 13 Вариант 14

W = x₁ + x₂ → max; W = 5x₁ + x₂ → max;

3x₁ + x₂ ≤ 20 3x₁ + 6x₂ ≤ 11

2x₁ + 3x₂ ≤ 30 x₁ ≤ 2.75

3x₂ ≤ 1.1

 

Вариант 15 Вариант 16

W = 2x₁ + 7x₂ → max; W = x₁ – 2x₂ → min;

x₁ ≥ 3 x₁ + 10x₂ ≤ 1

x₂ ≥ 4 -2x₁ + 24x₂ ≤ 1

2x₁ + 2x₂ ≤ 9

 

Вариант 17 Вариант 18

W = x₁ + 3x₂ → max; W = 2x₁ + 4x₂ → max;

4x₁ + 8x₂ ≤ 17 4x₁ + x₂ ≤ 15

x₁ ≤ 3 x₁ + 6x₂ ≤7

x₂ ≤ 2

 

Вариант 19 Вариант 20

W = 2x₁ + 3x₂ → min; W = 4x₁ + 6x₂ → max;

5x₁ + 2x₂ ≥ 3 x₁ + 15x₂ ≤ 32

-4x₁ + 6x₂ ≤ 2 x₁ ≤ 31

x₂ ≤ 2

 

Вариант 21 Вариант 22

W = 4x₁ – x₂ → min; W = 2x₁ + x₂ → min;

4x₁ + 6x₂ ≤ 9 5x₁ + 3x₂ ≥ 7

-5x₁ + 8x₂ ≤ 4 -2x₁ + 9x₂ ≤21

 

Вариант 23 Вариант 24

W = x₁ + 5x₂ → max; W = 2x₁ + x₂ → min;

2x₁ + x₂ ≤ 8 5x₁ + 3x₂ ≥ 7

x₁ + 3x₂ ≤ 7 -2x₁ + 9x₂ ≤ 21

 

Вариант 25 Вариант 26

W = x₁ + 4x₂ → max; W = 3x₁ – 2x₂ → min;

x₁ ≥ 4 2x₁ + 5x₂ ≤ 8

x₂ ≥ 5 -3x₁ + 8x₂ ≤ 4

3x₁ + x₂ ≤ 16

 

2.5 Контрольные вопросы к защите лабораторной работы 2

 

1) Какие задачи относятся к задачам линейного программирования?

2) Что называется системой ограничения и целевой функцией задачи линейного программирования?

3) Что означает понятие каноническая форма записи задачи линейного
программирования?

4) Какое решение называется оптимальным?

5) Как определяется область допустимых решений?

6) Что означает понятие вектор решений (вектор-градиент)?

7) В каком случае задача линейного программирования не имеет решение?

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1) тему работы;

2) цель работы;

3) ход работы;

4) формулировку задания;

5) решение задачи своего варианта с использованием симплекс-таблиц.

 

Задания для лабораторной работы 3

Согласно номеру своего варианта выбрать условие задачи из лабораторной работы №2 (любую одну задачу из двух). Решить задачу линейного программирования с использованием симплекс-таблиц.

 

3.5 Дополнительное задание