Тема 7. Повторювані незалежні експерименти за схемою бернуллі

1. При новому технологічному процесі 80% усієї виготовленої продукції має найвищу якість. Знайти найбільш ймовірне число виготовлених виробів найвищої якості серед 250 виготовлених виробів.

2. Бізнесмен, вивчивши попит ринку на нові спортивні автомобілі, вирішив продати пробну партію з дев’яти таких автомашин. Ймовірність отримати високий прибуток за рахунок кожної машини оцінена в 0,8 і вважається успіхом, якщо за день їх буде продано не менше семи. Яка ймовірність успіху, якщо протягом дня продаж машин відбувається незалежно?

3. Встановлено, що 90% висіяних у грунт зерен насіння огірків проростає. Визначити найімовірніше число зернин, що проростуть, якщо в пакеті 70 зернин.

4. Під час тестування з математики студент має дати правильні відповіді на 5 запитань. Ймовірність того, що він на позитивну оцінку відповість на одне запитання, у середньому дорівнює 0,8. Щоб скласти тест, студентові необхідно дати відповідь не менше ніж на три питання. Знайти ймовірність того, що студент складе тест.

5. Садівником восени було посаджено сім саджанців яблуні. Ймовірність того, що будь-який із саджанців навесні проросте, у середньому складає 0,7. Обчислити ймовірність того, що із семи саджанців яблуні навесні проростуть: 1) три саджанці; 2) не менш як три. Знайти найімовірніше число саджанців, які навесні проростуть, і обчислити відповідну ймовірність.

6. Ймовірність виготовлення робітником деталі відмінної якості становить 0,75. Яка ймовірність того, що серед 6 виготовлених деталей робітником хоча б одна буде відмінної якості? Знайти найімовірніше число, виготовлених робітником деталей, відмінної якості й обчислити ймовірність цього числа.

7. Є 12 стандартних та 4 нестандартних деталі. Навмання беруть 3 з них (з поверненням). Знайти ймовірність того, що серед взятих деталей: а) усі три стандартні; б) не більше однієї стандартної; в) хоча б одна нестандартна.

8. У виробництві деякої продукції третій сорт складає 20%. Знайти ймовірність того, що з 5, навмання взятих, виробів цієї продукції не менше, ніж три будуть третього сорту.

9. На складі є вироби двох сортів, причому виробів другого сорту в 1,5 рази більше, ніж виробів першого сорту. Знайти ймовірність того, що серед трьох, навмання взятих, виробів хоча б один першого сорту.

10. Ймовірність виготовлення стандартного виробу дорівнює 0,95. Яка ймовірність того, що серед 10 виробів не більше одного нестандартного?

11. Фірма, що проводить поштове опитування, встановила, що 40% одержувачів анкет повертає їх назад. Яка ймовірність того, що рівно 8 сімей повернуть анкети, якщо опитують 20 сімей? 15 сімей?

12. Студент складає екзамен, де має дати ствердну або заперечну відповідь. Екзамен складається з 10 запитань. Припустимо, що ймовірність правильної відповіді на кожне запитання дорівнює 0,7. Яка ймовірність того, що студент пройде тест (для одержання тесту треба мати 7 чи більше правильних відповідей). Якщо тест складається з 20 запитань, і потрібно дати 14 чи більше правильних відповідей, то чи зміниться ймовірність складання екзамену?

13. Було доведено, що вакцина проти грипу (для створення імунітету) ефективна на 95%. Якщо навмання вибрати 4 людей, яким було зроблено щеплення, то яка ймовірність того, що жоден з них не захворіє?

14. У кошику є 5 червоних м’ячів і 5 синіх. М’ячі вибирають навмання і повертають назад у кошик. Якщо навмання вибрати 2 м’ячі, то яка ймовірність того, що вони будуть червоні? сині?

15. Встановлено, що під час процесу виробництва ймовірність того, що партія товару буде мати дефекти, дорівнює 0,1. Якщо є 10 партій, то яка ймовірність, що дефектів буде менше, ніж 2?

16. У місцевому пологовому будинку 45% усіх новонароджених чоловічої статі. Одного дня народилося 5 малюків. Яка ймовірність того, що троє чи більше з них – хлопчики? Яке найімовірніше число хлопчиків народиться?

17. Було встановлено, що 25% сімей міста мають кабельне телебачення. Яка ймовірність, що з 10 сімей 5 мають кабельне телебачення? Не більше ніж 5?

18. Яка ймовірність того, що при 5 підкиданнях монети від 2 до 4 разів випаде герб?

19. Знайти ймовірність того, що подія А настане рівно 80 раз в 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,2.

20. Ймовірність влучити в мішень за один постріл дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що за 10 пострілів стрілок влучить в мішень 8 раз.

21. Гральний кубик підкидають 800 разів. Яка ймовірність того, що кількість очок кратна трьом з’явиться 267 разів?

22. Знайти ймовірність того, що подія А настане 20 разів у 200 незалежних випробуваннях, якщо подія А з’являється в кожному випробуванні з ймовірністю 0,3.

23. За допомогою статистичних даних підраховано, що ймовірність захворіти грипом під час епідемії для кожної людини дорівнює 0,2. Яка ймовірність того, що з 400 перевірених осіб хворими виявляться: а) рівно 80 осіб; б) від 70 до 100 осіб?

24. Гральний кубик підкидають 800 разів. Яка ймовірність того, що кількість очок кратна трьом з’явиться не менше 260 та не більше 274 разів?

25. Ймовірність того, що деталь не пройшла перевірку ВТК, дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що серед 400 випадково відібраних деталей неперевірених буде від 70 до 100 деталей.

26. Ймовірність присутності студента на лекції дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що із 100 студентів на лекції будуть: а) не менш як 75 та не більше як 90; б) не менше 75; в) не більше 74.

27. Завод відправив на базу 500 виробів. Ймовірність пошкодження виробу при транспортуванні дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні буде пошкоджено: а) три вироби; б) менше трьох виробів; в) більше трьох виробів.

28. Засівний фонд має 92% насіння першого сорту. Навмання взято 150 насінин. Знайти ймовірність того, що серед цих насінин 140 першого сорту.

29. Виробництво дає 10% браку. Знайти ймовірність того, що із 200, навмання вибраних, виробів 15 будуть бракованими.

30. Ткаля обслуговує 1000 веретен. Ймовірність обриву нитки на одному веретені протягом однієї хвилини дорівнює 0,005. Знайти ймовірність того, що протягом однієї хвилини обрив станеться на 7 веретенах.

31. Знайти наближено ймовірність того, що при 400 випробуваннях подія настане рівно 104 рази, якщо ймовірність її появи в кожному випробуванні дорівнює 0,2.

32. Ймовірність того, що покупець, який завітав до взуттєвого магазину, здійснить покупку, дорівнює в середньому 0,1. Знайти ймовірність того, що із 900 покупців, що завітали до магазину, здійснять покупку: 1) 90 покупців; 2) від 100 до 180 покупців.

33. У партії однотипних деталей стандартні становлять 82%. Навмання із партії беруть 400 деталей. Знайти ймовірність того, що серед них стандартних буде: 1)355; 2) від 355 до 300.

34. Ймовірність виходу із ладу виробу під час його випробування на надійність дорівнює 0,05. Знайти ймовірність того, що під час випробування 900 виробів із ладу вийдуть: 1) 30; 2) не більше як 30.

35. Процент проростання пшеничного насіння становить 95%. Знайти ймовірність того, що з 2000 посіяних насінин проросте від 1880 до 1920.

36. Електростанція обслуговує мережу з 10000 ламп; ймовірність включення кожної з них 0,6. Визначити ймовірність одночасного включення від 5900 до 6100 ламп.

37. Досліджують 500 проб руди. Ймовірність промислового вмісту заліза у кожній пробі дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що кількість проб з промисловим вмістом заліза буде між 300 та 370.

38. Знайти ймовірність того, що подія А настане 1400 разів у 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6.

39. Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 новонароджених виявиться 50 хлопчиків.

40. Ймовірність появи події в кожному із незалежних випробувань дорівнює 0,8. Скільки потрібно провести випробувань, щоб з ймовірністю 0,9 можна стверджувати, що подія з’явиться не менше 75 разів?

41. Ймовірність появи додатного результату в кожному із п випробувань дорівнює 0.9. Скільки треба здійснити випробувань, щоб з імовірністю 0,98 можна було чекати, що не менше 150 випробувань будуть мати додатний результат?

42. Робітник обслуговує 10 верстатів-автоматів. Імовірність того, що верстат потребує уваги робітника протягом однієї години в серед­ньому складає 0,6. Знайти ймовірність того, що за 1 годину уваги робітника потребують: 1) 4 верстати; 2) від 4 до 6 верстатів (ураховуючи межі). Знайти найімовірніше число m ₀ верстатів, які потребують уваги робітника за 1 год і обчислити ймовірність цього числа.

43. На автобазі є 12 пасажирських автобусів. Імовірність того, що на маршрутну лінію вийде автобус, у середньому дорівнює 0,85. Знайти ймовірність того, що автобаза працюватиме в нормальному режимі, якщо для цього потрібно, аби на маршрутну лінію виїхало не менше як 9 автобусів.

44. У разі ввімкнення запалювання мотор автомобіля почне працювати з імовірністю 0,99. Яка ймовірність того, що: 1) мотор почне працювати при двох увімкненнях запалювання; 2) не більше як двох.

45. Завод виготовляє однотипні телевізори, з яких 85% вищої якос­ті. Із партії виготовлених заводом телевізорів навмання вибирають сім. Яка ймовірність того, що серед них телевізорів вищої якості буде: 1) 4; 2) не менше як 4.

46. У партії однотипних деталей кількості стандартних і бракованих деталей відносяться, як 5: 2. Навмання з партії беруть 8 деталей. Яка ймовірність того, що серед них стандартних виявиться 6? Знайти найімовірніше число появи стандартних деталей серед семи, навмання взятих, і обчислити відповідну ймовірність.

47. У кожному із семи ящиків міститься по 6 стандартних і 4 браковані однотипні деталі. Навмання з кожного ящика беруть по одній деталі. Обчислити ймовірність того, що серед семи взятих деталей стандартних буде: 1) 3; 2) не менше як 3; 3) не більше як 3.

48. Імовірність виходу з ладу конденсатора дорівнює . Навмання беруть 10 конденсаторів і вмикають паралельно в електричну мережу. Знайти найімовірніше число m ₀ конденсаторів, які вийдуть із ладу, і обчислити відповідну ймовірність.

49. Відомо, що серед виробів заводу стандартні деталі становлять у середньому 85%. Скільки необхідно взяти цих деталей, щоб m ₀ = 65?

50. Імовірність того, що покупець, який завітав до взуттєвого магазину, здійснить покупку дорівнює в середньому 0,1. Яка ймовірність того, що із 900 покупців, що завітали до магазину, здійснять покупку: 1) 90 покупців; 2) від 100 до 180 покупців?

51. В яких межах має перебувати ймовірність появи випадкової події в одному експерименті, коли відомо, що в результаті проведення n = 600 незалежних експериментів за схемою Бернуллі m ₀ = 60?

52. Імовірність появи випадкової події в кожному з n незалежних експериментів за схемою Бернуллі є величиною сталою і дорівнює р = 0,8. Скільки необхідно провести таких експериментів, щоб імовірність появи випадкової події дорівнювала 0,99?

53. Телефонна станція обслуговує 1000 абонентів. Імовірність того, що протягом години абонент розмовлятиме по телефону, дорівнює в середньому 0,002. Яка ймовірність того, що протягом години одночасно розмовлятимуть по телефону: 1) 5 абонентів; 2) не більш як 5?

54. Імовірність появи випадкової події в кожній зі 100 незалежних спроб є величиною сталою і дорівнює 0,3. З якою ймовірністю можна стверджувати, що відносна частота появи випадкової події при цих спробах міститься в межах [0,2; 0,4]?

55. Імовірність того, що виготовлена на заводі електролампочка при вмиканні її в електромережу перегорить через певний відтинок часу є величиною сталою і дорівнює 0,02. Скільки необхідно взяти таких електролампочок, щоб імовірність відхилення відносної частоти електролампочок, що перегорить, від імовірності 0,02, взяте по абсолютному значенню, не перевищувала величини 0,001, дорівнювала б 0,999.

56. Імовірність виготовити на заводі виріб найвищої якості дорів­нює 0,85. Навмання беруть 700 виробів. Визначити межі, в яких перебуватиме відносна частота появи виробів найвищої якості з імовірністю 0,999.

57. Завод відправив на базу 9000 доброякісних виробів. Імовірність пошкодження кожного виробу під час транспортування на базу становить 0,0001. Знайти ймовірність того, що серед 9000 виробів при транспортуванні буде пошкоджено: 1) 3 вироби; 2) не більше як 3.

58. Частка діабетиків у певній місцевості становить у середньому 0,2%. Навмання було обстежено 4000 осіб. Яка ймовірність того, що серед них діабетиків буде: 1) 4 особи; 2) від 3 до 6 осіб; 3) не більше як 4 особи.

59. Імовірність виявити помилку на сторінці книжки дорівнює 0,001. Яка ймовірність у результаті перевірки книжки на 1000 сторінок виявити помилку: 1) на 5 сторінках; 2) не більше як на 5 сторінках?

60. У водойму випустили 100 помічених риб. Згодом із неї було виловлено 400 рибин, серед яких виявилося 5 мічених. Визначити з імовірністю 0,9 кількість рибин у цій водоймі.

Тема 8. Випадкові величини

1. За заданим законом розподілу дискретної випадкової величини Х маємо:

Х = хі	– 4	–1
Р (Х= х і)= рі	а	1,5 а	0,5 а	3,5 а	2,5 а	а

Знайти а. Обчислити: P (X < 2), P (– 4 < X 8).

Побудувати функцію розподілу ймовірностей і накреслити її графік.

2. За заданою функцією розподілу ймовірностей

обчислити:

3. Дано функцію розподілу ймовірностей (рис.).

Обчислити:

4. Троє складають іспит із теорії ймовірностей. Імовірність того, що перший студент складе екзамен, становить 0,9, для другого та третього студентів ця ймовірність дорівнює відповідно 0,85; 0,8. Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х – числа студентів, які складуть іспит з теорії ймовірностей, побудувати F (x) і накреслити її графік.

5. У першому ящику міститься 7 стандартних і 3 браковані деталі, у другому – 6 стандартних і 4 браковані. Навмання з першого ящика беруть чотири деталі, а з другого – одну. Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х – появи числа стандартних деталей серед п’яти, навмання взятих, – і побудувати F (x).

6. Під час виготовлення деталі робітникові необхідно виконати чотири незалежні між собою технологічні операції. Імовірність того, що при виконанні першої операції робітник не припуститься дефекту, дорівнює 0,95; для другої, третьої і четвертої операцій ця ймовірність становить відповідно 0,9; 0,85; 0,8. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа операції, під час виконання яких робітник не припуститься браку.

7. На шляху руху автомобіля стоять п’ять світлофорів, кожний із яких з імовірністю 0,5 дозволяє або забороняє рух. Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової Х – числа світлофорів, що їх автомобіль промине без затримки.

8. Імовірність того, що футболіст реалізує одинадцятиметровий штрафний удар дорівнює 0,9. Футболіст виконав три такі удари. Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х – числа реалізованих штрафних.

9. П’ять приладів потрібно перевірити на надійність. Кожний наступний прилад підлягає перeвірці лише в тому разі, якщо перевірений прилад перед цим виявляється надійним. Імовірність того, що прилад витримає перевірку на надійність, для кожного з них дорівнює 0,8. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа приладів, які пройшли випро-
бування.

10. У лотереї розігруються мотоцикл, велосипед і годинник. Усього є 100 лотерейних білетів. Навмання покупець придбав один з них. Побудувати закон розподілу ймовірностей Х – поява виграшного білета.

11. За заданою функцією розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини Х

побудувати її графік і обчислити P (–2 < X < 0).

12. Задано функцію розподілу ймовірностей

Знайти f (x). Побудувати графіки F (x), f (x) і обчислити .

13. Функція розподілу ймовірностей є лінійною (рис.).

Знайти вирази для F (x) і f (x).

Побудувати графік f (x).

14. Випадкова величина Х має закон розподілу ймовірностей Коші:

Знайти а і F (x).

 

 

15. Випадкова величина Х має ймовірнісний трикутник, зображений на рис.

Записати вирази для f (x) і F (x) і побудувати графік функції F (x).

16. Крива щільності ймовірності – півеліпс із півосями а = 4; b = 2.

Записати вираз для f (x) і F (x).

Побудувати графік функції F (x).

17. За заданими функціями

визначити, яка з них є щільністю випадкової величини Х, визначеної на проміжку [0; 1].

18. Дано щільність імовірності

Знайти а і F (x). Побудувати графіки f (x), F (x).

19. Дано функцію розподілу ймовірностей

Знайти f (x). Побудувати графіки F (x) і f (x).

20. За заданою щільністю ймовірностей

побудувати графіки f (x), F (x). Обчислити .

21. Графік заданої щільності ймовірностей зображено на рис.

Записати вирази для f (x), і F (x). Побудувати графік F (x).