Импликация, эквивалентность.

С помощью союзов «и», «или», «если, то», частицы «не» из нескольких высказываний (повествовательных предложений) можно составить различные новые высказывания.

Определение. Высказывания, которые нельзя разбить на еще более мелкие, называются простыми, а сконструированные при помощи логических связок – сложными.

Самой простой логической операцией, применяемой только к одному высказыванию, является операция отрицания, которая в русском языке соответствует частице «не». Отрицание высказывания А обозначается ØА или . Символ читается «не А» или «не верно, что А». Например, если высказывание А – «подсудимый виновен», то - «подсудимый не виновен».

По смыслу, отрицание высказывания – высказывание, противоположное данному. То есть, если высказывание А – истинное, то высказывание - ложное, и наоборот, если А – ложное, то - истинное. Запишем в виде таблицы значения нового, сложного высказывания в зависимости от значений простого А, на основе которого оно построено.

А

Подобная таблица называется таблицей истинности. Именно эту таблицу берут за определение операции отрицания. Высказывание называется отрицанием высказывания А, если оно истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно.

Пример 3. Сформулируйте отрицания следующих высказываний; укажите значения истинности данных высказываний и их отрицаний:

а) Волга впадает в Каспийское море;

б) Число 28 не делится на число 7;

в) 6 > 3;

г)5 + 3 = 9;

д) Африка – остров.

Решение: а) Волга не впадает в Каспийское море. Поскольку исходное простое высказывание истинно, то его отрицание будет ложным: А=1, ØА=0.

Операция дизъюнкция применяется к двум высказываниям А и В и соответствует соединению их с помощью союза «или». Дизъюнкция обозначается с помощью знака Ú, который ставится между высказываниями: А Ú В, что читается «А или В» или «или А, или В». Например, «Грабеж может быть совершен с применением физического или психического насилия», «Договор может быть заключен в устной или в письменной форме».

Дизъюнкция АÚВ – сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно ложны. Таблица истинности операции дизъюнкция будет следующей:

А	В	AÚB

Значения операции АÚВ (кроме первой строчки), как видно из таблицы, получаются простым алгебраическим сложением значений А и В. Поэтому дизъюнкцию также называют логическим сложением и обозначают, также как и в алгебре, знаком «+ ».

Операция конъюнкция применяется к двум высказываниям А и В и соответствует соединению их с помощью союза «и». Она обозначается с помощью знака Ù или &, который ставится между высказываниями: АÙВ, что читается «А и В» или «и А, и В». Например, «Юрист должен знать и теорию государства и права,иисторию, иинформатику». «Это преступление наказывается лишением свободы и конфискацией имущества». «Оскорбление – это унижение чести и достоинства человека...».

Конъюнкция АÙВ – сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно истинны. Таблица истинности операции конъюнкция такова:

А	В	АÙВ

Проанализировав приведенную таблицу, можно заметить, что значения операции АÙВ получаются простым алгебраическим умножением значений А и В. Поэтому конъюнкцию также называют логическим умножением и обозначают, также как и в алгебре, знаком «× », который, также как и в алгебре, может опускаться.

Пример 4. Определите значения истинности следующих высказываний:

а) Санкт-Петербург расположен на Неве и 2 + 3 = 5;

б) 7 – простое число и 9 – простое число;

в) 7 – простое число или 9 – простое число;

е) 2-2 = 4 или белые медведи живут в Африке;

ж) 2-2 = 4, и 2-2<5, и 2-2>4;

з) 2 – рациональное число или -5 – иррациональное число;

и) Фобос и Луна – спутники Марса;

Решение. а) Оба простых высказывания, к которым применяется операция конъюнкции, истинны, поэтому на основании определения этой операции и их конъюнкция есть истинное высказывание. А=1, В=1, АÙВ=1.

Одной из важнейших логических операций является операция импликация. Она соответствует объединению двух высказываний с помощью союза «если …, то …». Импликация обозначается с помощью знака ® (или Þ), ставящегося между высказываниями: А®В, что читается «А влечет В» или «если А, то В». Или «из А следует В».

Импликация высказываний А и В (А®В) – сложное высказывание, которое истинно всегда, кроме случая когда А – истинно, а В – ложно. Таким образом, таблица истинности импликации такова:

А	В	A ® B

Последней введем операцию эквивалентности. Эта операция обозначается символом «, либо ~. Сложное высказывание А«В читается: "А эквивалентно В", либо "А равносильно В", либо "А тогда и только тогда, когда В", либо "В, если и только если А". Эквивалентность примерно соответствует употреблению выражения "тогда и только тогда, когда", хотя, как и в случае с импликацией, такое соответствие далеко не полное.

Эквивалентность высказываний А и В (А«В) – сложное высказывание, которое истинно, когда А и В одновременно либо истинны, либо ложны и ложно во всех других случаях. Эквивалентность определяется следующей таблицей истинности:

А	В	А«В

Эквивалентность соответствует двум операциям импликации, соединенных конъюнкцией. А«В равносильно (A ® B)Ù(A ® B), т.е. имеет такую же таблицу истинности (рассмотрим это позднее). Поэтому эквивалентность также называют двойной импликацией.

Пример 5. Определите значения истинности следующих высказываний:

а) Если 9 делится на 3, то 4 делится на 2;

б) Если 11 делится на 6, то 11 делится на 3;

в) Если Саратов расположен на Неве, то слоны — насекомые;

г) 12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3;

д) 4 > 5 тогда и только тогда, когда -4 > -5;

е) 11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3.

Решение. а) Так как высказывание-посылка «9 делится на 3» истинно и высказывание-следствие «4 делится на 2» истинно, то и составное высказывание по определению импликации истинно. А=1, В=1, (А®В)=1.

е) Из определения эквивалентности видим, что высказывание вида Р«Q истинно, если логические значения высказываний Р и Q совпадают, и ложно в противном случае. В данном примере оба высказывания, к которым применяется связка «тогда и только тогда», ложны. Поэтому все составное высказывание истинно. Р=0, Q=0, (Р«Q)=1.

Пример 6. Записать в символической форме следующие суждения:

а) Игра может закончиться либо победой одного из соперников, либо ничьей (АÚВ).

б) Если Петр любит ходить в гости, то Павел домосед (А®В).

в) Параллелограмм является квадратом, если и только если он прямоугольник и его стороны равны (А«(ВÙС)).

г) Он похудел то ли от того, что мало спит, то ли от того, что мало ест, то ли оттого, что много двигается (АÚВÚС)®D.

д) "Не продается вдохновенье, но можно рукопись продать". (Пушкин А.С. "Разговор книгопродавца с поэтом") ØАÙВ.

Пример 7. Записать в виде логических формул высказывания:

а) Граждане Российской Федерации, совершившие преступление на территории иностранного государства, не подлежат выдаче этому государству. Статья 13 УК РФ.

Решение: Введем следующие обозначения:

А – данный гражданин является гражданином Российской Федерации;

В – преступление совершено на территории иностранного государства;

С – гражданин подлежит выдаче иностранному государству.

Тогда (АÙВ)®ØС.

б) Преступление признается совершенным группой лиц, если в его совершении совместно участвовали два или более исполнителя без предварительного сговора. Статья 35 УК РФ.

Решение: Введем следующие обозначения:

А – в совершении преступлений совместно участвовало два исполнителя;

В – в совершении преступлений совместно участвовало более двух исполнителей;

С – исполнители были в предварительном сговоре;

D – преступление совершено группой лиц.

Тогда ((АÚВ) Ù(ØС))®D.

в) Преступление признается совершенным с прямым умыслом, если лицо осознавало общественную опасность своих действий (бездействия), предвидело возможность или неизбежность наступления общественно опасных последствий и желало их наступления. Статья 25 УК РФ.

Решение: Введем следующие обозначения:

А – лицо осознавало общественную опасность своих действий (бездействия);

В – лицо предвидело возможность наступления общественно опасных последствий;

С – лицо предвидело неизбежность наступления общественно опасных последствий;

D – лицо желало их наступления;

Е – преступление признается совершенным с прямым умыслом.

Тогда (АÙ(ВÚС)ÙD)®Е.