Подобие граничных и начальных условий

При исследовании какого-либо объекта или технологического процесса составляют систему дифф. Уравнений, которые описывают этот процесс на основе одного или нескольких физических законов.

Эта система описывает процесс и устанавливает связь между пространственно-временными изменениями физических величин. Сами по себе эти физические величины характеризуют процесс в общем виде.

Чтобы из системы дифф. Уравнений и целого ряда процессов выделить один конкретный, необходимо ограничить систему дифуров определенными условиями.

Для ограничения нужно:

- задать распределение в пространстве или в объеме важных для данного объекта знач. Факторов в начальный момент времени

- задать взаимоотношения с окружающей средой на границах систем (равентсво скорости потока = 0 у стенок трубопровода).

Граничные условия бывают 4 родов:

I рода имеют место быть если зависимость изменения температуры задана в виде функции в интервале времени.

II рода задаются тепловым потоком

III рода соответствуют зависимости температуры стенки объекта от температуры среды

IV рода – граничные условия задаются при модкор. Среды

Подобие граничных и начальных условий соблюдается при подобии геометрических, физических и временных величин.

Теоремы подобия

Практическое применение теорий подобия к экспериментальному и теоретическому исследованию процессов основано на трех теоремах подобия

Теорема Ньютона – Бертрана

Подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия или у подобных явлений критерии подобия равны 1.

Теорема Бэкингема – Федермана

Любая зависимость между физическими величинами, характеризующими явление или процесс, может быть представлена в виде взаимной зависимсти между критериями подобия.

Теорема Кирпичева – Гухмана (обратная первой)

Подобны те явления или системы, которые описываются одинаковыми уравнениями связи, и условия однозначности которых подобны.

Теорема ОСНОВНАЯ Бэкингема (П-теорема)

Первые 3 теоремы формулируют необходимость и достаточность условий для рассмотрения подобия явлений и процессов.

Всякое уравнение, связывающее между собой n физических величин, среди которых m величин обладают независимыми размерностями, может быть преображено к уравнению, связывающему (n-m) безразмерных комплексов (критериев П и симплексов, состоящих из этих величин).

 

 

Лекция 4

Метод анализа размерностей и основные критерии подобия

𝜋-теорема широко используется при проведении экспериментальных исследований, так как она позволяет находить связь не между отдельными физическими величинами, а между их безразмерными соотношениями 𝜋. Каждое из этих соотношений составляется по определенному закону.

Метод анализа размерностей

Позволяет выражать функциональную зависимость для любого процесса в виде уравнения связи между ними. Это уравнение связи строго определяется числом безразмерных комплектов, которые состоят из физических величин со своей размерностью.

Метод анализа размерностей базируется на двух допущениях:

- из практических данных известно от каких параметров процесса и переменных зависит функция или рассматриваемая физическая величина

- связь между всеми необходимыми для данного процесса физическими величинами выражается в виде степенного многочлена

Для того чтобы использовать степенной многочлен на практике нужна степенная однородность. В уравнение подставляют размерности входящих в него величин, и тем самым достигается размерная однородность. Размерная однородность обеспечивает независимость уравнения от переменных, которые имеют каждая свою единицу измерения. Это называется инвариантностью уравнения.

Пример:

Рассмотрим ламинарное движение жидкости в прямой трубе. Допустим, что мы не знаем закона движения этой жидкости, но имеем ряд практических данных и можем предположить, что перепад давления в начале и в конце трубы зависит от

Функция этого степенного уравнения имеет размерную однородность. Каждый член этого уравнения имеет свою единицу измерения и чтобы сделать это уравнение инвариантным мы должны привести его к инвариантному виду, поэтому

Для достижения инвариантности добавляем безразмерный постоянный коэффициент В.

Размерная однородная система, которая состоит из размерных величин, может быть заменена безразмерной системой. Для этого составляется матрица величин, и мы выражаем все размерности через 3 основные (m, l, t)

После всех математических преобразований уравнения мы получаем 3 основных комплекса безразмерных

 

– критерий Эйлера;

- критерий Рейнольдса;

- геометрический симплекс или инвариантное постоянство.

Запишем уравнение в критериальной форме

Для перехода от функциональной зависимости к критериальной форме используют критерии подобия. Эти критерии применяют для описания гидравлических, механических и прочих процессов.

Критерии подобия