Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний.
В графе состояний каждой дуге необходимо приписать интенсивность соответствующего перехода из одного состояния в другое. l - поток отказов. m - поток «окончаний ремонтов».
m1 l2
l1 m2
l2 l1
m2 m1
Пусть рассматривается система S, имеющая n возможных состояний S1, S2, … Sn. pi(t) – вероятность i-го состояния, вероятность того, что в момент t система будет находиться в состоянии Si. t По различному графу состояний можно найти все вероятности pi(t) как функции времени. Для этого составляются и решаются уравнения Колмогорова – особого вида дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Пример построения функций Колмогорова:
l21 l13 l12
l32
S – система, у которой 4 состояния S1, S2, S3, S4. Dt – малое приращение времени. Тогда p1(t+Dt)= p1(t)(1-(l12+l13) Dt)+ p2(t) l21Dt (l12+l13) Dt– вероятность выхода S за момент время Dt из S1 в S2 или S3 соответственно. Раскроем скобки, перенесем p1(t) в левую часть, разделим на Dt: При Dt–>0 слева получаем в пределе производную: Аналогично получаем остальные дифференциальные уравнения и записываем их в систему:
Правило составления уравнений Колмогорова: В левой части каждого из уравнений Колмогорова стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного i-го состояния. Пусть t->∞. Если существует limpi(t)=pi, i= и все пределы не зависят от начального состояния системы. Тогда они называются финальными вероятностями состояний. В теории случайных процессов доказывается, что, если число n состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое, то финальные вероятности существуют (это условие достаточно, но не необходимо). При t->∞ в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система случайным образом меняет свои состояния, но их вероятности уже не зависят от времени. Финальную вероятность состояния Si можно истолковать как среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.
Т. к. финальные вероятности p1,p2,…, pn постоянны, то левые части уравнений Колмогорова полагаем равными нулю и решаем обычную систему алгебраических уравнений, дополнив ее нормировочным условием . Т. к. p1,p2,… постоянны, то их производные равны нулю. Поэтому:
Т. к. p1+p2+p3+p4=1, то можно решать однородное уравнение, найти финальные вероятности состояний системы, которые могут помочь оценить эффективность работы системы.
67. Схема гибели и размножения. Функциональные вероятности. Формула Литтла
Схема гибели и размножения. Мы знаем, что имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «схему гибели и размножения». Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 19.1. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S1, S2,..., Sn-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний — правым и левым, а крайние состояния (S0, Sn) — только с одним соседним состоянием. Термин «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции. Схема гибели и размножения очень часто встречается в разных задачах практики, в частности — в теории массового обслуживания, поэтому полезно, один раз и навсегда, найти для нее финальные вероятности состояний. Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа,— простейшие (для краткости будем называть и систему S и протекающий в ней процесс — простейшими). Пользуясь графом рис. 19.1, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний (их существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, и число состояний конечно). Для первого состояния S0 имеем:
(8.1) Для второго состояния S1: В силу (8.1) последнее равенство приводится к виду далее, совершенно аналогично и вообще где k принимает все значения от 0 до n. Итак, финальные вероятности р0, p1,..., рn удовлетворяют уравнениям (8.2) кроме того, надо учесть нормировочное условие p0 + р1+ р2+…+ рn=1 (8.3) Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (8.2) выразим р1 через р0. (8.4) Из второго, с учетом (8.4), получим: (8.5) из третьего, с учетом (8.5), (8.6) и вообще, для любого k (от 1 до N): (8.7) Обратим внимание на формулу (8.7). В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного состояния Sk), а в знаменателе — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до Sk). Таким образом, все вероятности состояний p1, р2, …, pn выражены через одну из них (p0). Подставим эти выражения в нормировочное условие (8.3). Получим, вынося за скобку p0: отсюда получим выражение для р0. (8. 8) (скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные вероятности выражены через р0 (см. формулы (8.4) — (8.7)). Заметим, что коэффициенты при p0 в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (8.8). Значит, вычисляя р0, мы уже нашли все эти коэффициенты. Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания. Формула Литтла Рассмотрим СМО произвольного типа: одноканальная, многоканальная, с неограниченной или ограниченной очередью. С ней связаны два потока заявок, прибывающих в СМО и покидающих СМО. Если в системе установился предельный стационарный режим, то оба потока имеют одинаковую интенсивность. X(t) – число заявок, прибывших в СМО до момента t. Y(t) – число заявок, покинувших СМО до момента t. Обе функции случайны и меняются скачком (увеличиваются на 1 в моменты прихода или ухода заявок). Z(t)=X(t)-Y(t) – число заявок, находящихся в СМО. Пусть T – большой промежуток времени. Для него среднее число заявок, находящихся в СМО: Интеграл равен сумме прямоугольников, высота которых равна 1, а основание равно времени пребывания в системе соответствующей заявки (первой, второй и т. д.). Обозначим эти времена t1, t2, … Тогда (1) |:T - среднее число заявок, пришедших за время T. Wсист. – среднее время пребывания заявки в системе. Тогда Lсист=λWсист, и - формула Литтла (первая формула). Формула может быть использована для любой СМО (любой характер потока заявок, любое распределение времени обслуживания и дисциплины обслуживания). - вторая формула Литтла Lоч – среднее число заявок в очереди. Wоч – среднее время пребывания заявки в очереди. 68. Одноканальные СМО с неограниченной очередью. Пусть потоки обслуживания и поступления заявок стационарны. λ – интенсивность поступления заявок. μ – интенсивность обслуживания заявок. Потоки λ и μ – простейшие. Граф состояний: S0 – канал свободен. S1 – канал занят (обслуживает заявку), очереди нет. S2 – канал занят, одна заявка в очереди. S3 – канал занят, две заявки в очереди. … Sk – канал занят, (k-1) заявок стоят в очереди.
… Теоретически число состояний ничем не ограничено (∞). Таким образом – это схема гибели и размножения с бесконечным числом состояний. Для такой системы финальные вероятности существуют не всегда (при t->∞ очередь может неограниченно возрастать), а только при r<1, когда система не перегружена. При <1 ряд сходится. При >1 ряд расходится и является косвенным доказательством, что финальные вероятности состояний p0, p1, …, pk, … существуют только при <1. Пусть <1: Следовательно, p0=1-ρ (1) p1=ρp0 p2=ρ2p0 … (2) pk=ρkp0,… Тогда, учитывая (1), , …, ,…. Самое вероятное число заявок = 0. Z – случайная величина, характеризующая число заявок в системе, имеет возможные значения с вероятностями (нулевой член = 0) – среднее число заявок в системе, выраженное через математическое ожидание Сумма быстро убывает – геометрическая прогрессия с первым членом и знаменателем . Эта сумма равна . , По формуле Литтла Найдем среднее число заявок в очереди Число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус число заявок, находящихся под обслуживанием. По правилу сложения математических ожиданий, среднее число заявок в очереди минус (среднее число заявок под обслуживанием) . X - число заявок под обслуживанием, pk=pканала
- средне число заявок под обслуживанием.
По формуле Литтла
70. n-канальные СМО с неограниченной очередью. - в СМО нет ни одной заявки - в СМО находится 1 заявка (один канал занят, остальные свободны) … - - // - занято, очереди нет - 1 заявка в очереди … - в очереди заявок Естественное условие существования финальных вероятностей . Если , очередь растет до бесконечности. Пусть и финальные вероятности существуют. - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия , , Тогда -среднее число занятых каналов - среднее число заявок в очереди Пусть , тогда - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. , ,
, ,
71. n-канальные СМО с отказами. Задача Эрланга – классическая задача ТМО, возникла из практических нужд телефонии, была решена датским математиком Эрлангом. Постановка задачи: n – количество каналов связи (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Потоки простейшие. Граф состояний соответствует схеме гибели и размножения.
- в СМО нет ни одной заявки - в СМО находится 1 заявка (один канал занят, остальные свободны) … - - // - - // - ( занято, остальные свободны) - - // - - // - (все каналы заняты) чтобы из перейти в нужно, чтобы освободился 1 канал, интенсивность чтобы из перейти в нужно, чтобы закончил обслуживание или первый канал или второй (суммарная интенсивность обслуживаний ). Вычислим характеристики работы СМО. Финальные вероятности существуют (1) , , …, , …, (2) (1)и (2) называются формулами Эрланга. Относительная пропускная способность . Абсолютная пропускная способность: . - среднее число занятых каналов. Т.к. - абсолютная пропускная способность не что иное, как интенсивность потока обслуженных заявок, следовательно, каждый занятый канал обслуживает в единицу времени заявок и значит среднее число занятых каналов
72. Языки моделирования Языки и системы моделирования упрощают построение программ-имитаторов и проведение имитационных экспериментов за счет частичной или полной автоматизации переходов от одного уровня представления модели к другому. В этом состоит основное назначение языков моделирования, именно здесь и проявляется их главное преимущество перед универсальными алгоритмическими языками. Язык моделирования содержит абстрактные конструкции, непосредственно отражающие понятия, в которых представлена формализованная модель, или близкие концептуальному уровню описания моделируемой системы, с помощью которых четко классифицируют элементы моделируемой системы, элементы различных классов различают по характеристикам и свойствам, описываются связи между элементами системы и внешней среды, позволяющие изменять структуру модели. Язык моделирования предоставляется пользователем как часть системы моделирования. Система моделирования – это совокупность языковых и программных средств, которая включает: • собственно язык моделирования; • язык управления системой моделирования– язык команд интерактивного взаимодействия с пользователем; • управляющая программа – программные средства, обеспечивающие трансляцию модели и другие стандартные функции системы моделирования (продвижение модельного времени, генерацию случайных чисел, сбор статистической информации, вывод результатов и т. д.). Системы моделирования проблемно-ориентированные включают также средства разработки языков конечного пользователя. Среди большого числа языков моделирования довольно сложно выделить какое-то базовое подмножество языков, покрывающих основные потребности пользователей в средствах автоматизации моделирования. На практике существует проблема выбора системы моделирования, подходящей для поставленной задачи.
|
|||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 1009; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.188.218.184 (0.088 с.) |