Неявные и параметрически заданные функции

Формула у = f (x) определяет явный способ задания функции.

Если каждое значение х D и соответствующее ему значение функции у удовлетворяют некоторому (одному и тому же) уравнению F (x; y) = 0, то говорят, что эта функция задана неявно уравнениемF (x; y) = 0.

 

ГрафикомуравненияF (x; y) = 0 называется множество точек координатной плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

 

Пусть на некотором множестве Т R заданы две функции x = x (t) и

у = у (t). Тогда множество точек на плоскости Оху с координатами (x (t); у (t)), где t R, называется кривой (или линией), заданной параметрически. Если кривая, заданная параметрически, является графиком некоторой функции

y = f (x), то эта функция также называется функцией, заданной параметрически.

 

 

 

 

Пример 6. Определить, является ли данная функция периодической, и найти ее

период, если он существует: a) f (x) = sin4 x; b) f (x) = cos²5 x;

c) f (x) = tg (x/ 3); d) f (x) = sin2 x + cos3 x; e) f (x) = x ².

 

 

· a) Периодом функции sin x является число 2 p. Покажем, что период sin4 x – число 2 p / 4 = p / 2. Действительно,

sin 4 (x + p / 2) = sin (4 x + 2 p) = sin4 x, т.е. Т = p / 2 – период данной функции.

Аналогично можно показать, что периодом функций sin (kx + b) и cos (kx + b) является число 2 p / k;

b) Т.к. cos²5 x = (1 + сos10 x) / 2, то период данной функции совпадает с периодом функции cos 10 x, который равен 2 p / 10 = p / 5;

c) Период функции tg x равен p Þ период функции tg (x/ 3) равен p / (1/3) = 3 p;

d) Периоды функций sin2 x и cos3 x соответственно равны 2 p / 2 = p и 2 p / 3. Период суммы этих функций равен наименьшему общему кратному их периодов, т.е. числу 2 p;

е) При х > 0 функция x ² определена и возрастает, поэтому не может быть периодической.

Пример 8. Найти обратную функцию для данной:

a) у = x –1; b) у = 2 / (x + 3); c) у = .

 

· a) Функция у = x –1 возрастает на промежутке (–¥, +¥), а значит, для любых х ₁ ¹ х ₂ имеем f (х ₁) ¹ f (х ₂) Þ эта функция имеет обратную. Для ее нахождения разрешим уравнение у = x –1 относительно х Þ х = у +1. Записывая полученную формулу в обычном виде (т.е. меняя местами х и у), найдем окончательно у = x +1 - обратная функция к исходной;

b) Функция у = 2 / (x + 3) убывает на множестве (–¥, –3) È (–3, +¥), являющемся ее областью определения Þ у этой функции есть обратная Þ разрешим уравнение у = 2 / (x + 3) относительно х Þ х = 2 / y – 3. Окончательно, у = 2 / х – 3 - обратная функция к исходной;

c) Функция у = Ö` x возрастает на промежутке [ 0, +¥)Þ имеет обратную Þ х = y ² Þ y = x ².

Пример 9. Доказать, что функция y = x ² не имеет обратной на интервале (–¥, +¥).

 

· Для любого у ₀ > 0 уравнение y ₀= x ² имеет два решения х ₁ = Ö` y <sub>0</sub> и х <sub>2</sub> = –Ö` y ₀(т.е. каждая горизонтальная прямая у = y ₀ пересекает график функции y = x ² в двух точках). Но функция имеет обратную только в том случае, если такое решение единственно Þ эта функция не имеет обратной.

 

Пример 10. Ф ункция y задана неявно. Выразить ее в явном виде:

a) xy = 7; b) x ² + y ² = 1, y £ 0.