Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

, (5.1)

которое называется уравнением с разделяющимися переменными (здесь и в дальнейшем все функции подразумеваются непрерывными в некоторой области). Предполагая, что , преобразуем его следующим образом:

. (5.2)

Интегрируя левую и правую части, получим общий интеграл уравнения (5.1):

.

Дифференциальное уравнение типа (5.2) или вида

называют уравнением с разделенными переменными.

Его общий интеграл есть

.

Уравнение вида

, (5.3)

в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от , также называется уравнением с разделяющимися переменными. Общий интеграл этого уравнения имеет вид

.

Лекция 10. §5. Однородные уравнения первого порядка

Определение 1. Функция называется однородной функцией -го измерения относительно переменных x и , если при любом и любых х и у из области определения функции справедливо тождество

.

Определение 2. Уравнение первого порядка

(6.1)

называется однородным уравнением, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно x и .

Метод решения однородного уравнения следующий. Определим новую функцию и(х) с помощью соотношения

, т.е. .

Тогда будем иметь

.

Подставляя это выражение производной в исходное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными

.

Интегрируя, найдем

.

Подставляя вместо u отношение , получим общий интеграл уравнения (6.1).

Замечание. Уравнение вида будет однородным в том и только в том случае, когда и являются однородными функциями одного и того же измерения.

К однородным уравнениям приводятся уравнения вида

. (6.2)

Если , то уравнение (6.2) есть однородное. Пусть теперь и c отличны от нуля. Сделаем замену переменных

, (6.3).

где p и q константы, пока неизвестные.

Подберем и так, чтобы выполнялись равенства

. (6.4)

При этом условии уравнение (6.2) становится однородным:

.

Решив это уравнение и, перейдя снова к x и по формулам (6.3), получим решение уравнения (6.2). Если система (6.4) не имеет решения, тогда с помощью замены уравнение (6.2) приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

§5.1. Уравнения в полных дифференциалах

 

Рассмотрим дифференциальное уравнение

. (9.1)

Предположим, что функции дифференцируемы в некоторой области .

Определение. Если левая часть уравнения (9.1) представляет собой полный дифференциал некоторой функции , то (9.1) называется уравнением в полных дифференциалах.

Другими словами, уравнение (9.1) представляется в виде ; откуда, интегрируя, найдем его общий интеграл .

Теорема. Для того чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области выполнялось условие

.

Общий интеграл уравнения (9.1) имеет вид (или ). Здесь (, ) - некоторая точка из D.

Лекция 11 §6. Линейные уравнения первого порядка

Определение.Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида

, (7.1)

где и - непрерывные функции от x.

Будем искать решение уравнение (7.1) в виде произведения двух функций

.

Дифференцируя обе части этого равенства, находим

.

Подставляя полученное значение производной в уравнение (7.1.), имеем

. (7.2).

Выберем функцию так, чтобы

.

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении, находим

.

Подставляя найденное значение в (7.2), получим

.

Окончательно, .

Уравнения Бернулли

Уравнение вида

,

где называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли приводится к линейному дифференциальному уравнению. Для этого сделаем замену

,

тогда

.

Отсюда получим линейное дифференциальное уравнение

.

Найдя его общий интеграл и, подставив вместо выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли.

Замечание. Уравнение Бернулли можно решить таким же методом, как и линейное уравнение с помощью замены .