Пучок прямых. Задача о нахождении прямой, принадлежащей пучку и проходящей через заданную точку.

Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром S.

Теорема 5.3. Уравнение

(5.27)

есть уравнение пучка прямых, пересекающихся в точке , если и не обращаются в нуль одновременно, а уравнения

и (5.28)

суть уравнения двух прямых, пересекающихся в точке .

Любая прямая, проходящая через точку , определяется уравнением (5.27) при некоторых значениях чисел и .

Доказательство. Преобразуем уравнение к следующему виду:

(5.29)

Это уравнение прямой, если выражения в скобках не равны нулю одновременно. Предположим противное: пусть обе первые скобки равны нулю. Тогда, из

следует ,

Из следует .

В итоге (5.30) Это условие параллельности прямых (5.28), что противоречит условиям теоремы. Тем самым доказано, что уравнение (5.27) всегда определяет некоторую прямую. Эта прямая проходит через точку , так как подстановка её координат обращает в нуль каждое из уравнений (5.28), а следовательно, и уравнение (5.27).

. (5.31)

Покажем, что любая прямая, принадлежащая пучку определяется уравнением (5.27) при некоторых значениях чисел и . Фиксируем точку , отличную от точки . Эти две точки определяют прямую, принадлежащую пучку, единственным образом. Подставив координаты точки в уравнение (5.27), получим уравнение относительно неизвестных и . . (5.32)

В этом уравнении круглые скобки не могут обратиться в нуль одновременно, так как точка не может принадлежать двум различным прямым, так как не совпадает с точкой (5.28).

Пусть ,

Тогда (5.33)

Из (5.33) значения и определяются с точностью до произвольного общего множителя.

Можно представить уравнение пучка прямых в другом виде, разделив (5.27) на и положив : Уравнение (5.34) не эквивалентно (5.27), так как не позволяет получить прямую .

 

18. Пучок прямых. Задача о нахождении прямой, принадлежащей пучку и а) параллельной данной прямой, б) перпендикулярной данной прямой.

Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром S.

а) Задано , (5.40)

уравнение пучка прямых и прямая : . (5.41)

Составить уравнение прямой, принадлежащей пучку, параллельной прямой .

Решение.

Преобразуем уравнение (5.40)

(5.42)

параллелен вектору

Условие параллельности векторов (5.43)

содержит единственную неизвестную величину . Определив и подставив его в уравнение (5.40), получим искомое уравнение.

Задачу из 17 и 2-ю часть из 18 найти не удалось... Если кто-то найдет, тому Спасибо.

19. Нормальное Уравнение прямой на плоскости. Нахождение биссектрис углов, образованных пересечением заданных прямых.

Общее уравнение

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.

 

В векторном виде: + С = 0, где - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox;

5) x = 0 - ось Oy.

 

Уравнение прямой в отрезках

 

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

 

Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)

где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

 

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если и произвольно, если C = 0.