Майбутня вартість грошей – це сума інвестованих у теперішній час коштів, у яку вони перетворяться через певний період часу з урахуванням певної ставки процента.

Визначення майбутньої вартості грошей пов’язане з процесом нарощування цієї вартості, що являє собою поетапне збільшення суми вкладу шляхом приєднання до первісного його розміру суми процента (процентних платежів). Ця сума розраховується за так званою процентною ставкою.

В міжнародних інвестиційних розрахунках процентна ставка застосовується не лише як інструмент нарощування вартості грошових коштів, а й у ширшому значенні – як вимірник ступеня доходності інвестиційних операцій.

Теперішня вартість грошей – це сума майбутніх грошових надходжень, зведених з урахуванням певної процентної ставки (так званої „дисконтної ставки”) до теперішнього періоду.

Визначення теперішньої вартості грошей пов’язане з процесом дисконтування цієї вартості, що є операцією, зворотною до нарощування при обумовленому кінцевому розмірі грошових коштів. У цьому разі сума процента відраховується з кінцевої суми (майбутньої вартості) грошових коштів. Така ситуація виникає в тих випадках, коли необхідно визначити, скільки коштів потрібно інвестувати сьогодні для того, щоб через певний проміжок часу отримати заздалегідь обумовлену їхню суму.

При проведенні фінансово-економічних розрахунків, пов’язаних з міжнародним інвестуванням коштів, процеси нарощування та дисконтування вартості можуть здійснюватися як за простими, так і за складними процентами.

 

(2) Простим процентом називається нарахування з теперішньої вартості вкладу в кінці одного періоду платежу, зумовленого умовами міжнародного інвестування (місяць, квартал тощо).

Простий процент обчислюється за такою формулою (1.1):

(1.1)

 

де I – величина прибутку власника інвестицій;

i – процентна ставка;

t – період часу інвестування;

P – первісна сума інвестиції (вкладу).

Сутність методу нарахування за простими процентами зводиться до того, що проценти нараховуються упродовж усього терміну інвестицій (кредиту) на ту саму величину капіталу, що інвестується. Наприкінці періоду t сума, одержувана інвестором, дорівнює P+I. Тоді:

 

(1.2)

Величина зветься множником нарощування простих процентів.

При використанні простих процентів, коли термін угоди не дорівнює цілому числу років, період нарахування процентів виражається дробовим числом, тобто як відношення числа днів функціонування угоди до числа днів у році (1.3):

 

(1.3)

де n – число днів функціонування угоди;

K – часова база (кількість днів у році).

В цьому разі формула (1.2) набуває такого вигляду:

(1.4)

В ряді країн для зручності обчислень рік триває 360 днів, а місяць – 90 днів. Це так звана „німецька практика”. Проценти, що розраховані за часовою базою днів, називаються звичайними чи комерційними.

Існує також „французька практика”, коли тривалість року днів, а тривалість місяців за днями відповідає календарному обчисленню. І, нарешті, в цілій низці країн використовується „англійська практика”, що враховує тривалість року днів, а тривалість місяців року – згідно з календарним обчисленням.

При математичному дисконтуванні розв’язується задача, обернена до визначення нарощуваної суми. Вона формулюється таким чином: яку суму необхідно інвестувати на t років, щоб при нарахуванні на неї процентів за ставкою I отримати суму, що дорівнює S.

Використовуючи формулу (1.2) розрахунку нарощуваної суми за простою процентною ставкою, отримаємо:

(1.5)

де знаменник – дисконтний множник, що показує, у скільки разів первісна сума є меншою від нарощеної.

Перелічимо низку похідних формул з формули (1.5):

(1.6)

Метод нарахування по складних процентах полягає в тому, що в першому періоді нарахування здійснюється на первісну суму інвестицій (кредиту), після цього вона складається з нарахованим процентом і в кожному наступному періоді проценти нараховуються на вже нарощену суму. Тож база для нарахування процентів постійно змінюється.

при

при

при

.......................................................................

при (1.7)

де – складний декурсивний коефіцієнт;

– множник нарощування складних процентів.

Якщо впродовж терміну угоди процентні ставки змінюються в часі, але в певні терміни, то нарощена сума в цьому разі визначається за формулою:

 

(1.8)

де i ₁, i ₂, …, i _k – послідовні значення процентних ставок;

n ₁, n ₂, …, n _k – періоди, упродовж яких використовуються відповідні ставки.

Використання в міжнародних інвестиційних розрахунках простих і складних процентів дає неоднакові результати. Відмінності в них зумовлені термінами угод. При рівній величині простої і складної процентної ставки та при терміні позички (інвестування), меншому за 1 рік <1), нарощена сума, обчислена за простими процентними ставками, буде більшою за нарощену суму, обчислену за складними процентами, тобто При терміні угоди, що є більшим за 1 рік >1), нарощування за складними процентами випереджає нарощування за простими, тобто

Використовуючи множники нарощування за простими і складними процентними ставками, визначимо час, необхідний для збільшення первісної суми в N разів.

Щоб первісна сума P збільшилася в N разів, потрібно, щоб множники нарощування дорівнювали N, тобто:

· для простих процентних ставок звідки:

(1.9)

· для складних процентних ставок звідки:

(1.10)

В депозитних угодах, у контрактах на отримання кредиту передбачається капіталізація процентів декілька разів на рік по півріччях, кварталах, інколи щомісячно. Однак квартальні чи щомісячні процентні ставки не вказуються, а вказується річна процентна ставка, яку називають номінальною. Крім того, зазначається кількість періодів нарахування процентів на рік – m. Якщо n – кількість років, то – кількість періодів нарахування процентів за весь термін угоди (контракту). Тоді для нарахування відсотків m разів на рік використовується формула (1.11):

(1.11)

Ефективна ставка вимірює той реальний відносний прибуток, що одержує кредитор (інвестор) у цілому за рік. Ефективна ставка показує, яку річну ставку складних процентів необхідно встановити, щоб отримати такий самий фінансовий (інвестиційний) результат, як і при m -разовому нарахуванні процентів за рік за ставкою .

Позначимо ефективну ставку I _e.

Рівність нарощуваних сум буде забезпечена в тому разі, якщо рівні первісні суми P, періоди нарощування n і множники нарощування, тобто:

Оскільки то:

(1.12)

Відтак:

(1.13)

 

(3) Нарахування процентів на первісний капітал, або дисконтування нарощуваних сум, може здійснюватися так часто, що цей процес можна розглядати як безперервний. У цьому разі використовується нарахування безперервних процентів. Суть безперервних процентів у тому, що кількість періодів нарощування чи дисконтування прагне до нескінченності, а часовий інтервал між періодами – до нуля.

Безперервне нарощування процентів здійснюється за допомогою особливого виду процентної ставки, поіменованої силою зростання. Сила зростання – це відносний приріст нарощуваної суми в нескінченно малому проміжку часу.

Формула обчислення нарощуваної суми при нарахуванні безперервних процентів має такий вигляд:

(1.14)

де e^jn – множник нарощування безперервної капіталізації процентів;

j – ставка безперервних процентів;

n – кількість років.

Оскільки безперервні та дискретні проценти функціонально пов’язані один з одним, то можна записати рівність множників нарощування:

де j – ставка безперервних процентів;

i – ставка складних процентів.

 

Звідси Тоді:

(1.15)

(1.16)

 

(4) Інвестування грошових коштів у різноманітні міжнародні інвестиційні проекти, створення грошових фондів цільового призначення, погашення банківської та міжнародної кредитної заборгованості тощо передбачають виплати, здійснювані через певні проміжки часу. При цьому виникає ряд послідовних платежів, що називають потоком платежів.