Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Свойства определителя n-ого порядка.Стр 1 из 6Следующая ⇒
Ранг матрицы. Две системы векторов α и β называются эквивалентными, если каждый вектор α{ β(выражается) и β{ α. Предложение. Ранги эквивалентных систем совпадают. αi1, αi2,…, αir – МЛНП α, βi1, βi2,…, βik – МЛНП β, αi1, αi2,…, αir < β < βi1, βi2,…, βik → r<=k Поменяв местами α и β местами → r>=k >>> Значит, r=k. Определение. Пусть дана матрица A= αi=<ai1,ai2,…ain> Рангом матрицы А называется ранг системы векторов α1, α2,…, αm, составленных из это матрицы >>rank(A)-ранг Из определения очевидно, что при перестановке столбцов ранг не меняется. Покажем, что при перестановке столбцов ранг так же не меняется. А’= α’i=<a1n, ai2,…,ai1> Линейно зависимы: b1α1+ b2α2+…+ bmαm=θ, b1а11+b2a21+…+bmam1=0, b1α’1+ b2α’2+…+ bmα’m, b1а11+b2a21+…+bmam1=0 Основная теорема о рангах матрицы. Ранг матрицы совпадает с максимальным порядком отличных от нуля миноров этой матрицы. Док-во: предположим, что в матрице имеется минор n-го порядка не равный нулю, а все его более высокие миноры нулевые. Доказат ь, что ранг матрицы равен n. Переставляя строки и столбцы, можем переместить этот минор в левый верхний угол. D= ≠0 Докажем, что первые r строк линейно независимы и что любая другая строка линейная комбинация этих r строк: если бы первые r строк были линейно зависимы, то какая то строка была линейной комбинацией остальных, тоже самое было бы справедливо для выделенного минора и он равнялся 0. Докажем, что любая строка есть линейная комбинация этих строк: α1=<ai1,ai2,…,air> Составим определитель (добавим i-тую строку) D1= 1<=j<=r Если j<=r в определителе два одинаковых столбца и определитель равен 0 Если i>r, то минор r+1 порядка и равен 0. D1=0=a1j(-1)r+2 D1(1|r+1)+a2j(-1)r+3D1(2|r+1)+…+aij(-1)2r+2D (D≠0) aij= (a1j(-1)r+2 D1(1|r+1)+a2j(-1)r+3D1(2|r+1)+…) Вся i-тая строка есть линейная комбинация первых r строк Следствие.1) При транспонировании матрицы ранг не меняется (Ранг матрицы можно определять ка по строкам, так и по столбцам 2)Определитель квадратной матрицы равен 0, тогда и только тогда, когда какая-то строка матрицы является линейной комбинацией остальных. (Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя квадратной матрицы) Доказательство. Дана матрица А n×n. |A|=0
Если |A|=0, то максимальный порядок не равных нулю миноров меньше n. Из основной теоремы следует, что rank(A)<n.Значит, строки матрицы линейно зависимы и определитель равен 0. Ранг произведения матриц. Система координат. Сист. коорд. в аффинном пр-ве нзв. точка О (начало коорд) и базис в пр-ве векторов. Часто сист. коорд. на пл-ти задают двумя пересекающимися прямыми, начало коорд. есть точка пересечения прямых, а базисные векторы имеют единичную длину и //ны соответ. прямым. Если выбрана сист. коорд., то каждая точка Р получает коорд.: это коорд. вектора, идущего из начала в эту точку, подсчитанные в выбранной базе. ОР = aα + bβ α β O Р u cmV2LnhtbEyPQU/DMAyF70j8h8hI3La0ZRqjNJ0QY2fEAIlj1pi2kDhVkm3tv8c7sZvt9/T8vWo9 OiuOGGLvSUE+z0AgNd701Cr4eN/OViBi0mS09YQKJoywrq+vKl0af6I3PO5SKziEYqkVdCkNpZSx 6dDpOPcDEmvfPjideA2tNEGfONxZWWTZUjrdE3/o9IDPHTa/u4NTEG378jN9Tn5TmDBttvELX/OF Urc349MjiIRj+jfDGZ/RoWamvT+QicIqmOXL1T17FdzlXOrsyIoFT3u+POQg60pedqj/AAAA//8D AFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9U eXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9y ZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADNqlFv0AQAA9QMAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRy cy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhANvi7WTeAAAACwEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAATgQA AGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAABZBQAAAAA= " strokecolor="#4579b8 [3044]"/> Свойства определителя n-ого порядка. 1.|A|=|AT| При транспонировании матрицы, определитель не меняется. Пусть B=AT → B[i|j]=A[j|i] |B|=Σ± B[1|i1]..B[n|in]= Σ±A[i1|1]..A[in|n]→|B|=|A| 2.Если какая-то строка матрицы состоит из 0,то определитель =0. A[k|*]=0→|A|=0. Каждое слагаемое содержит элемент k-ой строки, поэтому все произведение=0. 3. A[k|*]→cA[k|*] = |A|→c|A| 4.Если в матрице поменять местами 2 строки, то определитель матрицы поменяет знак. B[i|*]=A[i|*],i≠k,i≠j. B[k|*]=A[j|*] B[j|*]=A[k|*] |B|=Σ± B[1|i1]..B[k|ik]..B[j|ij]..B[n|in]=Σ±A[1|i1]..A[j|ik]..A[k|ij]..A[n|in]= -Σ±A[1|i1]..A[j|ik].. A[k|ij]..A[n|in]= -|A| 5.Если в матрице есть 2 одинаковые строки, то ее определитель равен 0. Поменяем местами равные строки |A|= -|A|→|A|=0 6. A[i|*]=A′[i|*]+A′′[i|*]. |A|= Σ±A[1|j1]..A[i|ji]..A[n|jn]= Σ±A[1|j1]..(A′[i|ii]+A′′[i|ii])..A[n|jn]= Σ±A[1|j1]..A′[i|ji]..A[n|jn]+ Σ±A[1|j1]..A′′[i|ji]..A[n|jn] 7.Если какая-то строка матрицы есть линейная комбинация остальных, то определитель=0. A[n|*]=ΣbkA[k|*] 8.Если к какой-то строке матрицы прибавить линейную комбинацию остальных, то определитель не меняется. A[n|*]→ A[n|*]+ΣbkA[k|*] Определитель треугольной матрицы. Матрица называется верхней треугольной, если все элементы ниже главной диагонали нулевые. |A|=Σ±a1i1∙a2i2..anin=Σ±a1i1..an-1in-1∙ann=Σ±a1i1..an-1n-1∙ann=a11∙a22..ann Определитель = произведению диагональных элементов.
Разложение определителя по строке. Теорема: для любой кв.матрицы справедливы формулы: |A|=ΣiA[i|j]Aij= ΣjA[i|j]Aij Рассмотрим частный случай 1.(в последнее строке все столбцы нулевые кроме последнего)|A|= Σ±a1i1∙a2i2..anin=Σ±a1i1..an-1in-1∙ann= ann Σ±a1i1..an-1in-1= ann|A(n|n)|= annA(n|n) 2.(из матрицы A iый столбец перенесли в конец, получили матрицу B) |B|=aniBnn |B|=(-1)n-i|A|=ani|A(n|i)| |A|= aniAni. (ani,an2..ann)=(ani,0..0)+(0,an2..0)+..(0,0..ann) |A|=ΣankAnk
1 1 … 1 Вычитая первый столбец из всех последующих получаем Δ(x1,x2,…,xn)= x1 x2 … xn первую строку равную 1 0…0 все последущии х1п-1 …хпп-1-х1п-1 x1n-1 x2n-1… xnn-1 далее разложение по 1-ой строке после вычитаем из каждой строки предыдущую строку умноженную на x1 далеемы можем вынести за знак определителя общий множитель первого столбца равный (x2-x1) общий множитель второго столбца x3-x1 и т.д.в рез-те получим Δ(x1,x2… xn)=(x2-x)(x3-x1)…(xn-x1)Δ(x2,x3…xn) со стоящим в правой части определителем поступим так же,продолжая такие рассуждения далее окончательно получим исходный определитель det(A)=(x2-x1)(x3-x1)…(xn-x1)(x3-x2)…(xn-x2)…(xn-xn-1) Определитель Вандермонта. Обратная матрица Определение: Матрица B называется обратной матрицей для квадратной матрицы А, если . Из определения следует, что обратная матрица A будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено). Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то . Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны. Предложение Если матрица имеет обратную, то и . Доказательство. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то . , поэтому , что невозможно при . Из предыдущего равенства следует также . Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-25; просмотров: 330; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.239.77 (0.016 с.) |