Моделирование СМО в классе непрерывных марковских процессов

Под операцией в СМО понимают комплекс мероприятий по обслуживанию входящего потока заявок на интервале времени .

В зависимости от типа системы показателями исхода операции или эффективности системы массового обслуживания являются следующие.

Для СМО с отказами:

• абсолютная пропускная способность ()- среднее число заявок, обслуживаемое системой за время ;
• относительная пропускная способность ()- средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой (отношение среднего числа обслуженных заявок к среднему числу поступивших за время );
• среднее число занятых каналов ();
• коэффициент занятости (использования) каналов (, где - число каналов в системе);
• коэффициент простоя каналов, .

Для СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная, так и относительная пропускная способности теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой СМО важными показателями являются:

• среднее число заявок в очереди ();
• среднее число заявок в системе (в очереди и на обслуживании, );
• среднее время ожидания заявки в очереди ();
• среднее время пребывания заявки в системе (в очереди и на обслуживании, );
• коэффициенты использования и простоя каналов ();
• среднее число свободных и занятых каналов (, ).

Для СМО смешанного типа используются обе группы показателей: как относительная и абсолютная пропускная способности, так и характеристики ожидания.

В зависимости от цели операции массового обслуживания любой из приведенных показателей (или совокупность показателей) может быть выбран в качестве критерия эффективности.

Аналитической моделью СМО является совокупность уравнений или формул, позволяющих определять вероятности состояний системы в процессе ее функционирования и рассчитывать показатели эффективности по известным характеристикам входящего потока и каналов обслуживания.

Всеобщей аналитической модели для произвольной СМО не существует. Аналитические модели разработаны для ограниченного числа частных случаев СМО. Аналитические модели более или менее точно отображающие реальные системы, как правило, сложны и труднообозримы.

Аналитическое моделирование СМО существенно облегчается, если процессы, протекающие в СМО, марковские (потоки заявок простейшие, времена обслуживания распределены экспоненциально). В этом случае все процессы в СМО можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в предельном случае, для стационарных состояний - линейными алгебраическими уравнениями и, решив их, определить выбранные показатели эффективности.

Рассмотрим примеры некоторых СМО.