Физико-математические модели с сосредоточенными параметрами.

Физико-математические модели с сосредоточенными параметрами.

 

Обычно с помощью таких моделей описывают динамику систем, состоящих из дискретных элементов. С математической стороны - это

системы обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений.

 

Физико-математические модели с сосредоточенными параметрами широко применяются для описания систем, состоящих из дискретных объектов или совокупностей идентичных объектов. Например, широко используется динамическая модель полупроводникового лазера. В этой модели фигурируют две динамические переменные - концентрации неосновных носителей заряда и фотонов в активной зоне лазера.

 

В случае сложных систем число динамических переменных и, следовательно, дифференциальных уравнений может быть велико (до 10²...

 

10³). В этих случаях полезны различные методы редукции системы, основанные на временной иерархии процессов, оценке влияния различных факторов и пренебрежении несущественными среди них и др.

 

Метод последовательного расширения модели может привести к созданию адекватной модели сложной системы.

 

Физико-математические модели с распределенными параметрами.

 

Моделями этого типа описываются процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной природы и т. п. Эти процессы могут быть не только физической природы. Математические модели с распределенными параметрами широко распространены в биологии, физиологии и других науках. Чаще всего в качестве основы математической модели применяют уравнения математической физики, в том числе и нелинейные.

 

Алгоритмизация модели и ее компьютерная реализация

 

Вторым этапом моделирования является этап алгоритмизации модели и ее машинная реализация. Этот этап представляет собой этап, направленный на реализацию идей и математических схем в виде машинной модели М процесса функционирования систем S.

 

УСЛОЖНЕННЫЕ МОДЕЛИ

Методы анализа КТС предназначены для оценки вычислительной мощности комплекса и необходимой емкости оперативной и внешней памяти вычислительных средств и базируются на применении методов имитационного и аналитического моделирования. Методы имитационного моделирования позволяют учесть большое число параметров и достигнуть большой степени адекватности при соответствующем усложнении модели проектируемого объекта. Однако процесс построения имитационных моделей является довольно трудоемким и требует в качестве первоначальных методов оценки структур КТС САПР использования аналитических методов, которые применяют для построения моделейсинтеза оптимальных структур.  

С другой стороны, необходимо, чтобы математические компоненты обеспечивали минимальные затраты машинного времени и объема памяти при их реализации в САПР. Однако повышение точности и универсальности неизбежно связано с усложнением моделей и методов, что в свою очередь, ведет к увеличению затрат времени и памяти.  

Усложненная модель колебаний оптического электрона

Проведем незначительное усложнение модели. Пусть колебание каждого гармонического осциллятора (оптического электрона) состоит из "вспышек" средней продолжительностью т, следующих одна за другой в среднем через время т, причем от вспышки к вспышке фаза ф меняется хаотически (рис. 5.8). Тогда для суммарного колебания снова применимо соотношение Е = o() os(w< - (0].но при вычислении необходимо учесть соотношение между т и т. Введенные параметры т и т имеют смысл средних величин и определяются физическими процессами в источнике света.

Переход к каждому последующему этапу характеризуется уточнением, а следовательно, и усложнением моделей и углублением задач анализа. Соответственно возрастает объем проектной документации и трудоемкость ее получения. Пример, показывающий процесс развития модели ЭМУ от этапа к этапу проектирования, приведен на рис. 1.4. Если на первых шагах применяется небольшое число обобщенных параметров (как правило, не более 10—12) и упрощенные модели для предварительной оценки основных рабочих показателей, то в дальнейшем число параметров увеличивается в 10—15 раз, кроме того, вступают в действие математические модели, учитывающие взаимодействие физических процессов (электромагнитных, тепловых, деформационных), а также явления случайного разброса параметров объекта. В, итоге описание проектируемого объекта, в начале представленное перечнем требований ТЗ (не более 3-5 страниц), многократно увеличивается и составляет несколько десятков чертежей, сотни страниц технологических карт и пр.

 

14.Опишите аналитическое, имитационное и комбинированное моделирование.

 

Аналитическое моделирование: описание S функциональными соотношениями (дифференциальные и интегральные уравнения, алгебраические уравнения) с последующей попыткой решить их аналитически или численными методами.

Аналитическая модель может быть исследовано методами:

а) аналитическим: получают в явном виде зависимости для искомых характеристик;

б) численными: получают числовые результаты при конкретных начальных данных;

в) качественными: не имея в явном виде решения можно найти свойства решения.

При усложнении систем применение аналитических методов вызывает затруднения, приходится идти на упрощение модели.

Численный метод позволяет использовать более широкий класс систем, но решения носят при этом частный характер.

 

Имитационное моделирование: при этом подходе реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени.

При этом имитируются элементарные явления в моделируемом объекте, их связь и последовательность. Имитационное моделирование позволяет учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейности, случайного воздействия и т.д.

Если результаты работы имитационного моделирования являются реализациями случайных величин и функций, то для нахождения характеристик процесса требуется его многократное повторение со статобработкой информации. Метод имитационного моделирования позволяет исследовать большие системы, оценивать варианты структуры системы, эффективность алгоритмов управления, влияние различных параметров системы.

Комбинированное (аналитико–имитационное) моделирование: предварительно производят декомпозицию процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и для тех из них, где это возможно, используют аналитические модели, для остальных имитационные. Особое место в моделировании занимает кибернетическое моделирование. Здесь отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессом. Отображают некоторую функцию, рассматривая объект как “черный ящик”, имеющие входной и выходной. Обычно этот подход используют для анализа поведения объекта при различных воздействиях внешней среды. Для построения имитационного моделирования при этом подходе выделяют исследуемую функцию объекта, формализуют ее в виде некоторых операторов связи между входным выходным и воспроизводят на модели. При исследовании вычислительных систем для построения имитационного моделирования наиболее широко используют метод статистических испытаний (метод Монте - Карло). Это численный метод, который применяется для моделирования случайных чисел и функций. Метод машинной реализации имитационного моделирования поэтому называют статистическим моделированием. Важнейшее свойство статистического моделирования – универсальность, дающая возможность анализа систем

практически любой сложности с произвольной степенью детализации изучаемых процессов

15.Опишите метод графической интерпретации результатов трехмерного моделирования с использованием графического редактора ParaView.

 

 

16.Опишите основные принципы моделирования (принцип информационной достаточности, осуществимости, множественности, агрегирования и параметризации).

1) Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об исследуемом объекте построить его модель невозможно. Если информация полная, то моделирование лишено смысла. Должен существовать некоторый критический уровень априорных сведений об объекте (уровень информационной достаточности), при достижении которого может быть построена его адекватнаямодель.

2) Принцип осуществимости. Модель должна обеспечивать достижения поставленной цели с вероятностью отличной от нуля и за конечное время. Обычно задают некоторое пороговое значение вероятности P0 и приемлемую границу времени t0 достижения цели. Модельосуществима,если

 

P(t)≥P0 и t ≤ t0.

3) Принцип множественности моделей. Создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства моделируемой системы или процесса, которые влияют на выбранный показатель эффективности. Соответственно, с помощью конкретной модели можно изучить лишь некоторые стороны реальности. Для более полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющих более разносторонне и с разной степенью детальности отражать рассматриваемый объект илипроцесс.

4) Принцип агрегирования. Сложную систему обычно можно представить состоящей из подсистем (агрегатов), для математического описания которых используются стандартные математические схемы. Кроме того, этот принцип позволяет гибко перестраивать модель в зависимости от целей исследования.

5) Принцип параметризации. В ряде случаев моделируемая система может иметь относительно изолированные подсистемы, которые характеризуются определенным параметром (в том числе векторным). Такие подсистемы можно заметить в модели соответствующими числами, а не описывать процесс их функционирования. При необходимости зависимость этих величин от ситуации может быть задана в видетаблицы, графика или аналитического выражения (формулы). Это позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Однаконадопомнить, чтопараметризацияснижаетадекватностьмодели.

 

 

17.Опишите имитационное и аналитико-имитационное моделирование физических объектов.

Традиционно математические модели разделяют на аналитические и имитаци-онные модели. Аналитические модели представляют собой уравнения или системы уравнений, записанные в виде алгебраических, интегральных, дифференциальных, ко-нечно-разностных и иных соотношений и логических условий. Они записаны и решены в буквенном виде. Отсюда и происходит их название. Аналитическая модель, как пра- вило, статическая. Аналитическое представление подходит лишь для очень простых и сильно идеализированных задач и объектов, которые, как правило, имеют мало общего с реальной (сложной) действительностью, но обладают высокой общностью. Данный тип моделей обычно применяют для описания фундаментальных свойств объектов, так как фундамент прост по своей сути. Сложные объекты редко удаётся описать аналити- чески. Альтернативой аналитическим моделям являются имитационные модели (дина-мические). Основное отличие имитационных моделей от аналитических состоит в том, что вместо аналитического описания взаимосвязей между входами и выходами иссле- дуемой системы строят алгоритм, отображающий последовательность развития про- цессов внутри исследуемого объекта, а затем «проигрывают» поведение объекта на компьютере. К имитационным моделям прибегают тогда, когда объект моделирования настолько сложен, что адекватно описать его поведение математическими уравнениями невозможно или затруднительно. Имитационное моделирование позволяет разлагать большую модель на части (объекты, «кусочки»), которыми можно оперировать по от- дельности, создавая другие, более простые или, наоборот, более сложные модели. Та- Секция­0­ Теоретические основы и методология­­ имитационного и комплексного моделирования 74 ИММОД-2009 ким образом, основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач, так как имита- ционную модель можно постепенно усложнять, при этом результативность модели не падает. При имитационном моделировании воспроизводится алгоритм функционирова-ния системы во времени – поведение системы, причем имитируются элементарные яв- ления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последова- тельности протекания, что позволяет по исходным данным получить сведения о состо- яниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить ха- рактеристики системы. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные харак-теристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и другие, кото- рые часто создают трудности при аналитических исследованиях. Имитационное моде-лирование тяготеет к объектно-ориентированному представлению, которое естествен- ным образом описывает объекты, их состояние, поведение, а также взаимодействие между ними. В настоящее время имитационное моделирование – наиболее эффектив-ный метод исследования систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования. Имитационная модель в отличие от аналитической представляет собой не закон-ченную систему уравнений, а развернутую схему с детально описанной структурой и поведением изучаемого объекта. Для имитационного моделирования характерно вос- произведение явлений, описываемых моделью, с сохранением их логической структу- ры, последовательности чередования во времени, взаимосвязей между параметрами и переменными исследуемой системы. В аналитических моделях можно использовать широкий арсенал математиче-ских методов, что часто позволяет найти оптимальное решение и иногда провести ана- лиз чувствительности. Однако, к сожалению, аналитические решения не всегда суще-ствуют, а существующие не всегда просто найти. Что касается имитационных моделей, то оптимальность решения не гарантирована, и даже более того – часто трудно полу-чить решение, хотя бы в какой-то степени близкое к оптимальному. Иногда требуется провести много испытаний имитационной модели, чтобы получить приемлемую досто- верность «добротности» какого-либо решения. Однако с помощью имитационного мо-делирования можно получить такие данные, которые с помощью аналитических моде- лей получить очень сложно или совсем невозможно, например, определить влияние из- менчивости параметров модели, поведение модели до достижения ею установившегося состояния и т.п

 

 

 

 

18.На какие уровни, по мере сложности, можно разделить целевые системы и их модели? Опишите их.

По мере сложности их информационных потоков целевые системы и их модели можно разделить на следующие уровни:

 

1. Пассивные системы - это системы, которые никак не влияют на процесс моделирования и процесс моделирования никак не влияет на целевую систему. Примерами служат косные природные явления: планетная система и процесс ее моделирования, тектонические процессы и их моделирование, химические реакции и их моделирование.

 

2. Управляемые системы - системы, в которых происходят реакции на внешнее управляющее воздействие. Примерами служат: внешние устройства компьютера и его аппаратная часть, автомобили и другие транспортные средства ручного управления, станки, стадо домашних животных, растения, колонии бактерий.

 

3. Управляющие системы - системы, которые производят управление какими-либо процессами или объектами и имеющие обратные связи. Примерами служат автоматические системы управления, роботы.

 

4. Интеллектуальные системы - распознающие системы с собственной системой принятия решений (инициативного действия), то есть такие системы, как правило, составляют "игровую систему" с другими подобными системами, самостоятельно моделируя ситуацию и отвечая на внешние воздействия соответственно собственной модели. Примерами служат: система общественных отношений людей и животных, информационные системы, состоящие из интеллектуальных средств, таких, как антивирусные программные средства и сетевые программы преодоления компьютерной защиты (компьютерные черви и пр.), моделирование театра военных действий и политических ситуаций.

 

19. Опишите принцип формализации и алгоритмизации компьютерных моделей.

Физико-математические модели с сосредоточенными параметрами.

 

Обычно с помощью таких моделей описывают динамику систем, состоящих из дискретных элементов. С математической стороны - это

системы обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений.

 

Физико-математические модели с сосредоточенными параметрами широко применяются для описания систем, состоящих из дискретных объектов или совокупностей идентичных объектов. Например, широко используется динамическая модель полупроводникового лазера. В этой модели фигурируют две динамические переменные - концентрации неосновных носителей заряда и фотонов в активной зоне лазера.

 

В случае сложных систем число динамических переменных и, следовательно, дифференциальных уравнений может быть велико (до 10²...

 

10³). В этих случаях полезны различные методы редукции системы, основанные на временной иерархии процессов, оценке влияния различных факторов и пренебрежении несущественными среди них и др.

 

Метод последовательного расширения модели может привести к созданию адекватной модели сложной системы.