Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Двойное векторное произведение. ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7
Определение 1. Двойное векторное произведение векторов , , это произведение вида . Выразим двойное векторное произведение через скалярное. Пусть Þ ^ и ^ . Тогда, в силу ^ Þ лежит в плоскости векторов и Þ . Умножим это равенство скалярно на . Имеем . Пусть вектор не перпендикулярен одновременно векторам и (в противном случае в обоих случаях). Тогда Þ , такое что , . Тогда . Для того, чтобы найти , вычислим левую и правую части в некотором базисе. Пусть вектор направлен вдоль вектора , лежит в плоскости векторов и , определяется из условия, что , , образуют правую тройку. Тогда , , . Имеем , . . . Отсюда видно, что . Итак, справедлива формула: . Пример 1. Доказать тождество Якоби: . Имеем , , . Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби. Пример 2. Вычислить . Имеем: () .
§15.Уравнение прямой линии на плоскости. 10. Векторное, параметрическое, общее и каноническое уравнение прямой.
Зафиксируем на плоскости аффинную систему координат, определяемую точкой О - началом координат, базисным вектором Тогда " точка плоскости определяется координатами . Зафиксируем на плоскости некоторую прямую линию. Определение 1. Всякий ненулевойвектор ∥ прямой l называется направляющим вектором этой прямой. Пусть есть точка , тогда производная точки лишь при условии, когда вектор коллинеарен . Другими словами это означает, что (1) С другой стороны всякая точка М, для которой выполнено уравнение (1) принадлежит прямой в силу определения произведения вектора на число. Таким образом т. М выполняется (1). Уравнение (1) называется векторным уравнением прямой. Если обозначить радиус вектора т. через и соответственно, то и уравнение (1): , (2) также называется векторным уравнением прямой. Если , то (2) в координатах: (3) - параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через т. в направлении .
Рис.1 Исключая из уравнения (3) параметр t получаем (4) - каноническое уравнение прямой на плоскости. Уравнение (4) необходимо воспринимать, как пропорцию, если , то это прямая ∥-ая оси Oy, проходящей через т. . Приведем уравнение (4) к общему знаменателю: . Если обозначить получаем: (5)
- общее уравнение прямой на плоскости. Так как , то один из коэффициентов А или В отличен от нуля ⇒ уравнение (5) представляет собой уравнение первого порядка. Показали, что " прямая является алгебраической линией первого порядка. Покажем, что " алгебраическая линия первого порядка на плоскости является прямой. Действительно, уравнение (5) имеет частное решение, например: , то можно выбрать , , тогда полученное решение можно???, как координаты точки , через которую проходит искомая прямая. В качестве прямой K вектор Покажем, что т. прямой лишь при условии, когда её координаты удовлетворяют уравнению (5). Действительно, по построению прямой, если , т.е.
0=0 получаем тождество Таким образом доказана следующая теорема: Теорема 1. Прямые на плоскости – алгебраические линии первого порядка. Из доказательства теоремы 1 следует, что если - уравнение прямой, то вектор является направляющим вектором этой прямой.
Рис.2. Если , то из уравнения (5) получаем: , т.е. , где . . Вместе с каноническим уравнением (4) используется уравнение прямой, проходящей через 2 точки: если l проходит через точку и , то можно выбрать K в качестве направляющего вектора прямой, поэтому уравнение (6) называется уравнением прямой, проходящей через т. и . ??? частные случаи уравнения (5): 1. А=0 прямая ∥-ая Ox 2. B=0 прямая ∥-ая Oy 3. C=0 проходящая через начало координат 4. A=C=0 ось Ox 5. B=C=0 ось Oy
20. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости. Пусть на плоскости задана аффинновая система координат . Утверждение 1. Для того, чтобы прямые и , заданные уравнениями (7) (8) соответственно совпадали необходимо и достаточно, чтобы (9) |Þ l1 и l2 совпадают, это означает, что их направляющие вектора и коллинеарные, т.е. (10) Возьмем т. этим прямым, тогда , Умножая первое уравнение на и прибавляя по??? в силу (10): (11) Формулы (10), (11) эквивалентны (9) Ü| пусть выполняется (9), тогда уравнения (7) и (8) эквивалентны Þ соответствующие прямые совпадают, ч.т.д.∎ Утверждение 2. Прямые и , заданные уравнениями , параллельны и не совпадают Û (12)
Доказательство. |Þ прямые параллельны и не совпадают Þ несовместна, а это возможно, по теореме Кронекера-Конелли Û , возможно лишь при условии это возможно при выполнении (12) Ü| Если выполняется первое равенство Þ прямые параллельны, а не выполнение второго Þ система (7), (8) несовместна Þ прямые параллельны и не совпадают, ч.т.д.∎ Следствие (из 1,2). Прямые и пересекаются Û (13) Утверждение 3. Пусть прямые и , задаваемые уравнениями (7,8), пересекаются в единственной точке с координатами , тогда прямая l3 проходит через т. Û она задается уравнением: (14) Т.е. уравнение (14) – линейная комбинация (7,8) Доказательство. |Þ Очевидно, а именно, если уравнение l3 задается (14), то она проходит через т. Ü| пусть l3 проходит через т. и имеет уравнение . Возьмем на прямой l3 " т. , отличную от т. . Выберем Покажем, что уравнение для l3 пропорционально (14) с выбранными . Т.к. т. не может одновременно принадлежать прямым и и Þ хотя бы одно из и отлично от нуля. Поэтому уравнение является уравнением первой степени Þ определяет некоторую прямую. По построению эта прямая проходит через т. , т.к. через две точки плоскости, то она совпадает с прямой . Поэтому в силу утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.∎ Уравнение (14) называется уравнением пучка прямых, проходящих через т. .
30. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой. Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , тогда угол между прямыми, определяющийся углом между направляющими векторами может быть определен формулой: . Отметим, что угол между прямыми принимает значение от , угол между направляющими . Поэтому угол между прямыми определяется углом между векторами. Получаем, что прямые (7), (8) в прямоугольной системе координат ортогональны Û (15) Отметим, что только прямоугольной декартовой системе координат вектор является перпендикулярной к прямой В дальнейшем построим нормальное уравнение на плоскости. В начале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Ox и l1 – ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.
Рис.3.
Пусть прямая и пусть длина , - угол между l1 и . Если т. М лежит на l1, то очевидно, что проекция Последнее условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы т. М . или , (16) где - расстояние от т. М до начала координат, - угол между и .
Другими словами, - полярные координаты т. М. Таким образом, уравнение (16) является уравнением прямой в полярной системе координат. Уравнение (16) можно переписать: , где - координаты т. М в соответствующей прямоугольной декартовой системе координат. Получаем: (17) – нормальное уравнение прямой на плоскости, где - длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую, - угол наклона нормали к оси абсцисс. Отметим, что и - координаты ортонормали. Покажем, что общее уравнение прямой привели к нормальному виду. Пусть прямая l: , тогда нормальное уравнение получается умножением на некоторый нормирующий множитель : при этом , знак выбирается из условия
Если С= 0, то знак произвольный. Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния между от произвольной точки плоскости до прямой.
Рис.4.
Произвольная точка . , . Очевидно, что расстояние от до l:
Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты т. и полученную величину взять по модулю. Замечание. Из рисунка видно, что если т. и начало координат лежат по разные стороны от l, то . В первом случае: , во втором - . Последнее может быть использовано, чтобы узнать лежит ли т. и начало координат по одну сторону или по разные от прямой l. Пример. . § 16. Уравнение плоскости в пространстве. 10. Различные виды уравнения на плоскости.
Принципы построения уравнения плоскости в пространстве во многом совпадают с построением прямой на плоскости. Это связано с тем, что размерность прямой отличается от??? плоскости на единицу. Размерность плоскости отличается на единицу от??? пространства. Поэтому плоскость определяется двумя линейно-независимыми векторами и точкой, через которую эта плоскость проходит. Утверждение 1. Пусть в плоскости задана т. и два неколлинеарных вектора и . Тогда т. . (1) Доказательство. |Þ Пусть т. М лежит в плоскости, тогда это означает, что компланарны Þ в силу неколлинеарности и , вектор может быть представлен как линейная комбинация и , т.е. справедливо (1). Ü| если справедливо (1), то компланарен с и Þ , ч.т.д.∎ Уравнение (1) будет называться уравнением плоскости в векторной форме. Оно означает лишь, что плоскость проходит через т. и параллельно и . Зафиксируем в пространстве аффинновую систему координат. Пусть и - радиус-вектора т. и М. Тогда (1) перепишем: - векторное уравнение плоскости. (2) Если теперь зафиксировать координаты векторов , , , , например , то уравнение (2): (3) Уравнение (3) называется параметрическим уравнением плоскости. Если его переписать в виде: , Представляет собой линейную зависимость столбцов матрицы: = 0 (4) Разлагая этот определитель по первому столбцу получим: (5) где (6) Уравнение (4) является уравнением плоскости, проходящей через т. и параллельно .
Если в плоскости заданы 3 точки , , то в качестве векторов и : . Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки: (7) Если в уравнение (5) раскрыть скобки и обозначить , то - общее уравнение плоскости (8) Отметим, что в силу неколлинеарности хотя бы один из определителей (6) отличен от нуля Þ уравнением первой степени. Таким образом, показали, что любое уравнение плоскости может быть записано в виде уравнение первой степени. Докажем и обратное: любое уравнение первой степени вида (8) представляет собой уравнение некоторой плоскости. Пусть в (8) , тогда (8) имеет частное решение: , которое определяет координаты точки, через которую проходит плоскость. А вектора имеют значения . Покажем, что плоскости, проходящие через полученную точку параллельно и определяются уравнением (8). Действительно, уравнение плоскости имеет вид: , где эквивалентно (8) доказана теорема 1: Пусть в пространстве- в точности поверность первого порядка.
20. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Полупространства. Утверждение 1. Вектор параллелен плоскости , заданной уравнением (8) (9) Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо и достаточно показать, что, если отложить от некоторой точки плоскости, то конец также будет лежать на плоскости. Пусть , , , проверим, что . Подставляя в уравнение (8): ,ч.т.д.∎ Утверждение 2. Плоскости (10) (11) параллельны (12) Доказательство. Ü| Плоскости параллельны, если вектор параллельный одной плоскости, будет параллелен другой. Поэтому, если выполняется условие (12), то в силу утверждения 1 плоскости параллельны. |Þ пусть , тогда вектора , которые параллельны плоскости , должны быть параллельны Þ в силу утверждения 1 выполняется: , ч.т.д.∎ Утверждение 3. Плоскости и , заданные уравнениями (10,11), совпадают (13) Доказательство. Ü| очевидно |Þ пусть плоскости совпадают, тогда первые два равенства следуют из утверждения 2 и доказываем третье равенство. Пусть т обеим плоскостям, тогда В силу соотношения (12) получим: . Умножим первое уравнение последней системы на и прибавим ко второму: мы доказали уравнение (13), ч.т.д.∎ Утверждение 4. Плоскости и , заданные уравнениями (10,11), параллельны и не совпадают Û (14) Утверждение 5. Плоскости и , заданные уравнениями (10,11), пересекаются Û - неколлинеарны. Утверждение 6. Пусть плоскости и , заданные уравнениями (10,11), пересекаются на прямой l, тогда плоскость проходит через эту прямую Û её уравнение имеет вид: , (15) где одновременно. Доказательство. Аналогично для пучка прямых, так как (15) – это уравнение пучка плоскостей, проходящих через l.
30. Плоскость в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат. Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Пусть плоскость проходит через т. и - некоторый вектор , тогда . Условие перпендикулярности двух векторов в ортогональном базисе: В ортогональном базисе коэффициенты А, В, С общего уравнения (8) можно??? как коэффициенты векторной нормали.
Вектор нормали используется для решения задач нахождения угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью и т.д. По аналогии с прямой на плоскости строится нормальное уравнение плоскости. Пусть в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат задана плоскость . Проведем из начала координат ось . Пусть т. N – это точка пересечения прямой l с плоскостью , Тогда произвольная т. М пространства Û Другими словами, , (16)
Получаем нормальное уравнение плоскости: . § 17. Уравнение прямой в пространстве.
10. Уравнение прямой в произвольной аффиновой системе координат. В предыдущем § было указано, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Поэтому в произвольной аффиновой системе координат уравнение прямой в следующем виде: (1) Плоскости и не параллельны. Условие не параллельности плоскостей и равносильно: (2) Тогда система (1) при условии (2) представляет систему линейно независимых уравнений, совместную и имеет общее решение следующего вида: , (3) где - частные решения (1), - ФСР соответствующей системы линейно ОУ.
Геометрически (3) означает, что т. , тогда " т. получается прибавлением к радиус-вектору т. некоторого коллинеарного вектора,
Таким образом, , по аналогии с прямыми на плоскости, является направляющим вектором прямой. Система уравнений (1), удовлетворяющая условию (2) называется общим уравнением прямой в пространстве. Уравнение (3) называется векторно-параметрическим уравнением прямой в пространстве.
Можно переписать в виде: , (3’) где - радиус-вектор т. , - направляющий вектор. Перепишем уравнение (3): (4) - параметрическое уравнение прямой в пространстве. Если исключить из (4) параметр t получим: (5) - каноническое уравнение прямой в пространстве, (5) – пропорция. Пример. , значит прямая лежит в плоскости . Если и равны нулю, то прямая лежит в плоскостях и , что означает есть линия пересечения плоскостей – прямая параллельная оси . Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки и . - направляющий вектор (6) - уравнение прямой, проходящей через две точки. Каждая прямая может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-24; просмотров: 434; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.59.231.155 (0.205 с.) |