Методика обучения решению задач на вычисление

 

Прежде поясним, почему именно они подвергаются детальному анализу. Задачи на доказательство, как мы уже сказали, по существу являются теоремами. Задачи на построение требуют отдельного рассмотрения в теме “Геометрические построения на плоскости”.

Задачи на вычисление составляют основное содержание задачного материала учебников геометрии основной школы. Более того, задача на вычисление обычно включает в себя элементы построений, а также доказательство некоторых геометрических фактов, то есть они зачастую значительно богаче по геометрическому содержанию, чем другие классы задач.

Введем рабочее понятие задачи на вычисление.

Задача на вычисление – это задача, в которой требуется выразить неизвестные величины (отрезки, углы, площади и др.) или их отношения через известные величины, которые могут быть даны в общем виде или числовыми значениями.

Иногда данные величины выражены буквами и ответ должен быть дан в общем виде. Но в большинстве задач данные выражены числами и решение их следует доводить до числа. При решении вычислительных задач учащиеся пользуются теми навыками в преобразованиях формул и вычислениях, которые получены ими на уроках математики (арифметики) и алгебры. Поэтому процесс решения таких задач в значительной мере сводится к:

– составлению уравнений, формул;

– алгебраическим преобразования,

– арифметическим вычислениям.

Таким образом, именно эти задачи в наибольшей степени реализуют внутрипредметные связи с арифметикой, алгеброй, в дальнейшем – тригонометрией.

Геометрические задачи на вычисление имеют свои специфические особенности. Рассмотрим их в контексте основных этапов решения любой задачи. Напомним эти этапы:

1) анализ условия задачи,

2) поиск способа решения задачи, составление плана;

3) осуществление плана, оформление решения задачи;

4) изучение полученного решения.

Охарактеризуем специфические особенности первого этапа решения геометрической задачи на вычисление – работы с условием. Основной метод обучения здесь – чаще всего метод беседы. Учитель должен тщательно отработать систему вопросов к учащимся.

В начале работы с условием чаще всего ставится вопрос: “Какие геометрические фигуры рассматриваются в задаче?”, выделяется основная фигура.

После этого полезно поработать с содержанием геометрических понятий, входящих в условие задачи, ее терминологией. Уместны вопросы типа:

– Какая фигура называется...?

– Что значит, что...? и др.

Параллельно строится чертеж, причем правильный чертеж во многом определяет ход решения задачи.

Мы уже рассматривали подробно требования к чертежу. Переформулируем их в более простом, понятном ученикам виде, в котором их можно использовать на уроке:

– максимально возможное соответствие условию;

– наглядность, оптимальные размеры (не только на доске; учителем, особенно на первых порах, даются и необходимые указания по построению чертежей в тетрадях);

– рассматриваются (и это специально оговаривается учителем) геометрические фигуры общего вида, а не частные случаи.

По окончании построения чертежа на нем выделяются данные и искомые элементы цветом, обозначениями:

– углы – цифрами и дугами;

– равные отрезки значками “ï”, “ïï”, “ïïï”;

– прямые углы значком “” и др.

Иногда на чертеже указываются данные величины. При этом основное требование – не загромождать чертеж.

Раскроем специфические особенности второго этапа решения геометрической задачи на вычисление.

Чаще всего используется аналитический метод поиска решения: рассуждения ведутся от требования задачи к ее условию. Здесь уместны вопросы типа:

– Что надо найти в задаче?

– А что для этого надо знать?

– В какую фигуру входит...?

– Что отсюда следует? И так далее.

Синтетический путь поиска решения задачи (от условия задачи к ее требованию) уместен, если не удается анализ:

– Рассмотрим фигуру...

– Сделаем дополнительные построения...

И тому подобное.

На этапе поиска решения определяющую роль играет чертеж. На нем ищутся фигуры, в которые входят искомые и данные элементы и таким образом устанавливаются соотношения между ними. Часто выполняются дополнительные построения – только необходимые, не загромождающие чертеж.

Учителю очень важно ненавязчиво руководить выбором и использованием теории (определений, теорем, аксиом). Здесь уместны вопросы типа:

– Какая геометрическая фигура называется...?

– Сформулируйте определение...

– Какими свойствами обладает...?

– Какое из них связывает данные и искомые элементы?

– Как эту связь выразить в виде формулы, уравнения, отношения?

После этого подводятся итоги: из предложенных вариантов решения выбирается наиболее эффективный, намечается общий (недетализированный) план решения задачи.

III этап – осуществление плана во всех деталях, оформление решения.

При выполнении вычислений возникает вопрос: в каком виде должен быть получен ответ и промежуточные результаты? Постепенно следует приучать учащихся решать задачу в общем виде, подставляя числовые данные в заключительную формулу или уравнение, так как иногда при вычислении промежуточных результатов выполняется лишняя работа (некоторые величины, которые были найдены в процессе решения задачи, могут не входить в конечную формулу).

При оформлении решения чаще всего практикуется пошаговая запись решения с обоснованиями (аналогичная оформлению доказательства теорем). Заключает оформление ответ на вопрос задачи.

Последний этап решения задачи (исследование полученного решения) в случае геометрической задачи на вычисление предполагает:

– оценку полученного ответа на достоверность.

– проверку решения (в отдельных случаях).

Пример методики работы с задачей на вычисление.

Задача № 412 [3]. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катетом АС=12см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е – на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

1 этап. Основной метод – вопросно–ответный (беседа).

– Какие геометрические фигуры рассматриваются в задаче? (Равнобедренный прямоугольный треугольник и квадрат).

– Выясним, как они расположены относительно друг друга. Для этого вспомните, какими свойствами обладает равнобедренный прямоугольный треугольник? (Катеты равны, угол прямой). Квадрат? (Углы прямые и стороны равны).

– В обозначении квадрата использована буква С, что это значит? (Одна вершина квадрата и вершина прямоугольного треугольника с прямым углом при ней совпадут в точке С).

 

– Что сказано о трех других вершинах квадрата? (Е – на гипотенузе, а D, F – должны лежать на катетах, потому, что по условию стороны квадрата с общей вершиной С лежат на катетах) Параллельно строится чертеж, оформляется краткая запись.

Этап.

Аналитический метод поиска решения:

– Какие величины даны в условии? (Длина катета треугольника). Что надо найти в задаче? (Периметр квадрата)

– По какой формуле он рассчитывается? (Р=4а).

–А что для этого надо знать? (Длину стороны квадрата).

– Частью каких элементов треугольника являются стороны квадрата? (Частью сторон).

– Можно ли визуально предположить, как связаны стороны треугольника и стороны квадрата? (Видимо, равны половине стороны). Если бы нам удалось это доказать, смогли бы мы ответить на вопрос задачи? (Да. 6 умножить на 4).

– Итак, надо попытаться доказать, что сторона треугольника равна по длине двум сторонам квадрата. Одна сторона квадрата непосредственно является частью стороны треугольника. Значит нужно доказать, что оставшаяся часть FB равна стороне квадрата.

– В состав какой фигуры входит отрезок FB? (DEFB). Может быть, можно визуально найти равный ему треугольник, в состав которого входит сторона квадрата? (DADE, сторона DE).

– Итак, нужно доказать равенство треугольников. Что мы можем сказать о виде треугольников? (они прямоугольные). Какие признаки равенства прямоугольных треугольников знаем? Какие равные элементы имеются в треугольниках? (Два угла соответственно равны и два катета как стороны квадрата).

– Какой можно вывод сделать, опираясь на признак равенства? (Треугольники равны).

– Что из этого следует? (DE=FB).

–Чему равна длина стороны треугольника? (Сумме длин сторон квадрата CB=CF+DE=2CF).

– Чему равна длина стороны квадрата из этого выражения? (Половине длины стороны треугольника).

– Зная длину стороны треугольника, сможем найти сторону квадрата? Периметр?

Намечается общий план решения задачи.

1. Доказать, что треугольники DEFB и DADE – прямоугольные и обосновать их равенство.

2. Сделать вывод о равенстве отрезков DE и FB.

3. Найти длину стороны квадрата.

4. Найти периметр квадрата.

3 этап – осуществление плана во всех деталях, оформление решения.

Решение

1. DEFB и DADE – прямоугольные (при их вершинах D и F углы являются смежными с углами квадрата, тогда их величина по 90°).

2. DEFB=DADE (по катету и острому углу): Ð1=Ð2 как углы при основании равнобедренного треугольника, DE=EF как стороны квадрата.

3. DЕ=FB из равенства треугольников, тогда СВ=CF+FB=CF+DE=2CF. Откуда CF=1/2CВ=6см.

4. Р=6×4=24 (см).

Ответ. 24см.

4 этап. Исследование. Оценка полученного ответа на достоверность: периметр выражается положительным числом, в нашем случае – верно.