Интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра

Функции от матриц.

Простейшими функциями от матриц являются полиномы. Если задан числовой полином относительно , то f(A), A , находиться непосредственной подстановкой:

.

Рассмотрим теперь произвольную функцию скалярного аргумента . Пусть

(1)― минимальный полином матрицы А степени . Здесь ― все различные собственные значения матрицы А: .

Опр. Если для функции в точках (k=1,s) из (1) определены производные (2), то говорят, что функция определена на спектре матрицы А, а систему чисел (2) называют системой значений функции матрицы А. Совокупность этих значений будем символически обозначать f[δ(A)].

Если функция f не определена на спектре матрицы А, то не определенно и f(A).

Лемма. Значения полиномов g(λ) и h(λ) на матрице А совпадают тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Опр. Пусть функция f определена на спектре матрицы А. Тогда f(A)=g(A), где - любой полином, принимающий на спектре матрицы А те же значения, что и : f[δ(A)]=g[δ(A)].

 

 

Интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра

Опр. Полином r(λ), определяемый интерполяционными условиями ,

Называется интерполяционным полиномом Лангранжа-Сильвестра функция на спектре матрицы А.

Опр. Если функция f(λ) определена на спектре матрицы А, а r(λ) - соответствующий интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра, то f(А) = r(А).

Виды интерполяционный полином Лангранжа-Сильвестра:

1. где все собственные значения различны:

2. есть кратные собственные, но минимальный имеет простые корни:

3. минимальный имеет кратные корни:

, где

Свойство функции матрицы:

1. Если - собственные значения матрицы n-го порядка А, то - полная система соб. Значений матрицы f(A).

2. Если две матрицы А и В подобны и матрица S преобразует А в В: то матрица f(A), f(B) подобны и та же матрица S преобразует f(A) в f(B): f(B)=S^-1 f(A)S.

3. Если А- блочно-диогональная матрица: A=diag{A₁,A₂,…,A_u}, то f(A)=diag{f(A₁₎,f(A₂₎,…,f(A_u)}.

 

Теорема о существовании псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза.

Опр. Матрица называется псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза для матрицы , если выполнимы следующие условия: , , где , - некоторые матрицы.

Теорема. Для любой матрицы А псевдообратная матрица Мура-Пенроуза существует, единственна и выражается по формуле , где В и С- компоненты скелетного разложения А=ВС матрицы А.

Док-во:

Докажем существование матрицы Если А=0, положим . Пусть А≠0. Рассмотрим разложение А=ВС и будем искать сначала Из определения псевдообратной мтарицы имеем:

.

Умножим последнее равенство слева на В*:

Теперь умножая последнее равенство справа на В*, получим , аналогично получаем .

Рассмотрим матрицу и покажем, что она удовлетворяет условиям , , т.е. является псевдообратной. Обозначим К= .

Тогда используя А=ВС и получим:

,

, где .

Сопряжённое отображение

Пусть дано линейное отображение А: → .

Опр. Отображение называется сопряженным отображением для А, если для любого и для любого выполняется следующее соотношение: .

Теорема. Для любого заданного линейного отображения А сопряженное отображение существует, линейно и единственно.

Докво. Построим отображение удовлетворяющему условию для заданного отображения А. Для того чтобы задать отображение , надо для каждого функционала указать соотвествующий ему функционал , являющийся образом g при отображение . Но надо задать функционал из .—это значит определить его действие на произвольный вектор . Зададим правило этого действия. С учетом определяющего соотношения для сопряженного отображения имеем: .

Из этого следует, что для данного функционала действие искомого функционала на произвольный вектор определяется следующим образом. Сначала применим отображение А: → к вектору , в результате чего получаем его образ – вектор . Затем вычисляем значение заданного функционала на векторе и получаем значение <g|A(u)>, что является результатом действия f на u.

Т.о. сопряженное отображение определяется как композиция . Т.к. выполняются эти условия: , то можем утверждать, что данное отображение будет линейным.

Докажем единственность .

Пусть -- два отображения, для которых справедливо . Тогда для всех . Отсюда следует, что <( |u>=0. Фиксируем g и будем менять u. Тогда элемент (. Как линейная функция на принимает только нулевые значения, и, значит, равен нулю. Поэтому , что доказывает единственность и завершает доказательство теоремы.

Теорема. Пусть А: → – линейное отображение Е и Н – базисы пространств и , соответственно, - биортогональные базисы пространства и . Тогда если отображение А в базисах Е и Н имеет матрицу А, то сопряженное отображение в биортогональных базисах и имеет матрицу .

 

Унитарное подобие.

Так как для унитарной матрицы U*=U^-1, то преобразование А → U*AU, определенное на С^n×n, явл. подобием которое называется унитарным подобием.

Опр. Матрица B Є С^{n × n} называется унитарно подобной матрице А Є С^{n × n}, если найдется унитарная матрица U Є С^{n × n} , такая, что B = U*AU. Если Г можно выбрать вещественной (а значит, ортогональной), то В называется ортогонально подобной матрице А.

Рассмотрим два специальных типа унитарных матриц, которые осуществляют преобразования унитарного подобия, весьма важные для вычисления собственных значений.

Пример 1. (Плоские вращения). Матрица U(θ;i,j) осуществляет вращение (на угол θ) в плоскости координат i,j. Заметим, что если матрица умножается слева на U(θ; i, j), то в ней изменяются только i-я и j-я строки, а если она умножается справа, то изменяются только i-й и j-й столбцы. Таким образом, при переходе к унитарно подобной матрице, осуществляемом с помощью U(θ;i,j), происходит изменение только строк и столбцов с номерами i и j. Унитарное подобие, существляемое посредством плоских вращений, используется при вычислении собственных значений.

Пример 2. (Преобразования Хаусхолдера). Возьмем произвольный ненулевой вектор w ∈ Cⁿ и образуем матрицу

U_w = E – tww^* (U_w ∈ C^{n × n}),

где t = 2(w^*w)^-1. Заметим, что w^*w - это положительный скаляр, ww^* ∈ C^{n × n} матрица. Если вектор w был нормирован (w^*w = 1), то t должно быть равно 2, а матрица U_w должна иметь вид U_w = E − 2ww^*. Часто образуют матрицу U_w, выбирая заранее именно нормированный вектор w.

Любая матрица U_w называется преобразованием Хаусхолдера.

 

Теорема. Дляунитарно подобных матриц A и B из С^n×n имеет место равенство

Доказательство:

 

Достаточность.

Рассмотрим утверждение а) для вектора (x + y) ∈ :

A(x + y) = ( Ax + Ay) + ( Ay + Ax) ∈ R ∀x,y ∈ .

Поскольку Ax ∈ R, Ay ∈ R по предположению, то Ay + Ax ∈ R, ∀ x,y ∈ . (6.1)

Возьмем в (6.1) x = , y = ( - k-й вектор естественного базиса .):

A + A = + ∈ R ⇒ Im = −Im . (6.2)

Возьмем x = i , y = :

− i A + i A = −i + i ∈ R ⇒ Re = Re . (6.3)

Из (6.2) и (6.3) следует, что = , ∀j, k = 1,…, n, а, следовательно, A = .

b) По спектральной теореме для нормальных матриц нормальная матрица унитарно диагонализуема, т.е. A = , где U ∈ - унитарная матрица, Λ = diag{ ,.., }∈ , ∈ σ (A).

Рассмотрим = () = = = A,

следовательно А - эрмитова.

c) Положим S = : = () ⇒ A = A .

 

 

Теорема Рэлея-Ритца

Теорема Рэлея-Ритца. Пусть A -эрмитова и ее собственные значения упорядочены (Пусть A – эрмитова, ). Тогда

Доказательство. Поскольку матр. А – эрмитова, то по спектральной теореме для эрмитовых матриц сущ. такие унитарные март. и диагональная матрица , что . При любом векторе верны равенства

Каждый сомножитель неотрицателен, поэтому

Поскольку март. U унитарна, а унитарные матр.изометричны, то имеют место равенства

Таким образом, справедливы соотношения:

что и доказывает (2).

Покажем, что оценки в соотношении (2) точны.

Действительно, если x – собст.векторматр. A, соответствующий собственному значению λ1, то

Точность оценки сверху устанавливается аналогично.

Остальные утверждения является простыми следствиями соотношений(2).

Покажем, например, справедливость (3). При из правой части соотношения (2) имеем:

Это неравенство обращается в равенство, когда x- собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению . Следовательно, .(5)

Наконец, при можно перейти к нормированному вектору:

Таким образом, равенство (5) эквивалентно следующему

Рассуждения для минимального собственного значения аналогичны.

 

Полярное разложение матриц

Теорема (Полярное разложение). Если A∈ , то существуют положительно полуопределенные эрмитовы матрицы H и K, однозначно определяемые матрицей A, и унитарные матрицы W и Y из , такие что

Более того, .

Доказательство. Положим (2),

Где U,V – матрицы из сингулярного разложения (1). Несложно проверить, что W – унитарная матрица, а H – положительно полуопределенная эрмитова матрица. Тогда имеем:

Далее, так как =, то верно и .

Применяя полученный результат к , получим

.

 

 

Матричные нормы

Опр. Ф-ция ||•||: , наз. матричной нормой, если для любой A ∈ выполняются следующие условия:

1)||A||≥0(неотрицательность);

1а) A||=0 A=0 (невырожденность);

2)||αA||=|αA|| (абсолютная однородность);

3)||A+B||≤||A||+||B|| (неравенство треугольника);

4)||AB||≤||A|B|| (кольцевое свойство)

Примеры матричных нормна

1*. ||A||₁ ≡ Столбцовая норма (1-норма),

2*. ||A||_∞ ≡ Строчная норма (∞-норма),

3*. ||A||_E ≡ Евклидова норма

4*. ||A||_E ≡ Спектральная норма

5*. ||A||_M ≡ М-норма

6 *. ≡ l1-норма

 

 

Доказательство

Следствие. Матричная норма ||•||_M, подчиненная векторной норме ||•||_V, согласована с этой нормой.

Матричная норма, подчиненная векторной норме ||•||_∞

Получим оценку сверху для величины ||Ax||_∞

||Ax||_∞ .

Покажем, что эта оценка достигается.

Пусть максимум по i имеет место при i=l. Возьмем x=(sign(a_l1),…,sing(a_ln)).

Имеем и точные равенства во всей цепочке выше.

Таким образом, подчиненная векторной норме ||•||_∞

 

Число обусловленности.

Определение. Величина

(1)

называется числом обусловленности матрицы A по отношению к матричной норме ||•||.

Свойства числа обусловленности

1⁰. Для любой матричной нормы cond(A)≥1.

2⁰. Для любой матрицы A и любого числа α выполняется равенство cond(A) =cond(αA).

3⁰. Для спектральной и евклидовой норм число обусловленности не меняется при умножении матрицы слева и справа на любую унитарную матрицу.

4⁰. Для 1-, 2-, ∞-норм и евклидовой нормы число обусловленности не меняется при перестановке строк и столбцов.

5⁰. Для спектральной нормы число обусловленности любой матрицы равно отношению максимального сингулярного числа к минимальному.

 

 

Сходимость матриц

Определение. Матрица А называется сходящейся, если

Лемма. ||•||: ||A||<1 .

Доказательство .

||A^k||≤||A||^k→_k→0 0 A^k→_||•||0 A^k→_||•||∞0

Теорема. Матрица является сходящейся тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть A^k→0.Рассмотрим собственный вектор x≠0: Ax=λx. Тогда A²x=A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ²x…A^kx=λ^kx→0 .

Обратно || ||:||A||<1 A^k→_k→∞0

Следствие.

 

 

Теорема Гершгорина

Теорема Гершгорина и ее следствия. Для произвольной матрицы AЄ обозначим - строчная почти-нормы, а также

- столбцовые почти – нормы матр. А.

Наиболее полезная и легко применяемая теорема, дающая оценка для собственных значений – теоремы Гершгорина.

Теорема Гершгорина (строчная). Все собственные значения матрицы A заключены в объединении n кругов

Кроме того, если объединение k из этих кругов есть связная область, не пересекающаяся с остальными n−k кругами, то в ней находится ровно k собственных значений матрицы A.

Теорема (Гершгорина (столбцовая)). Все собственные значения матрицы AЄ принадлежат объединению nкругов (столбцовой области Гершгорина)

Кроме того, если k из этих кругов образуют область, изолированную от остальных n-k кругов, то в ней находится ровно kсобственных значений матрицы А.

 

 

32. Уточнение оценок собственных значений с помощью преобразования подобия.

Если относительно матрицы имеется некоторая дополнительная информация, в силу которой собственные значения принадлежат (или не принадлежат) конкретным множествам, то в сочетании с теоремой Гершгорина эта информация может привести к более точной локализации собственных значений.

Определяющие свойства некоторых типов матриц и свойства их собственных значений приведены в таблице

матрица	определение	Собственныезначения
эрмитова	A=A*	вещественные
косоэрмитова	A=-A*	чистомнимые
унитарная	AA*=A*A=En	по модулю равны 1
ортогональная	AЄ AA^T=A^TA=En	равны .

Следствие. Пусть и пусть p₁,p₂,…,p_n- произвольные положительные числа. Все собственные значения матрицы A принадлежат каждой из двух областей

Пусть

 

33. Локализация собственных значений Неравенство Шура. Теорема Бендиксона.

Теорема (Неравенство Шура). Если A = (a_ij) ∈ имеет собственные значения λ₁,…,λ_n, то

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда матрица А нормальная.

Доказательство. Согласно теореме Шура сущ. унитарная матрица , такая, что U*AU =T, где T – верхняя треугольная матрица с диагональными элементами t_ii=λ_i, i=1,n. Тогда

,а значит

т.е. матрицыAA^∗и TT^∗подобны.

Поскольку след у подобных матриц равен, то

trAA^∗ =trTT^∗ (2)

Далее с учётом (2) справедливы соотношения

что и доказывает (1). Равенство возможно тогда и только тогда, когда , т.е. тогда итолько тогда, когдаматрицаA– нормальная.

 

Теорема (Бендиксона). Если ,то

Доказательство. Пусть x - нормированный собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению λ_k:

Ax=λ_kx, x*x=1. (1).

Тогда (Ax)*x=x*A*x=(λ_kx)*x= x*x.(2).

Т. к. матр. Bэрмитова, то для нее справедлива теор Рэлея-Ритца:

Отсюда с учетом первого соотношения теоремы Рэлея-Ритца имеем

Аналогично, применяя теоремуРэлея-Ритца к эрмитовой матрице C, получим второе соотношение теоремы.

 

Невырожденность матриц.

Определение. Матрица ,называетсяматрицей с диагональным преобладанием, если выполнены нестрогие условия Адамара:

Теорема (Адамара). Если А – матрица со строгим диагональным преобладанием, то она обратима.

Теорема. Если у матрицы все диагональные элементы ненулевые и она является матрицей с диагональным преобладанием, причем для всех, кроме одного, значений i=1,2,..,n это свойство выполняется в сильной форме, т.е. |a_ii|>R_i(A), то А обратима.

Определение. Матрица наз. разложимой, если перестановкой строк вместе с одноименной перестановкой столбцов она может быть приведена к виду

где B и D - квадратныематрицы. В противномслучаематрица A называется неразложимой.

Определение. Матрица M(A) с элементами (8.25) называется индикаторной матрицей для A.

Теорема. Матрица тогда и только тогда неразложима, когда

Определение. Ориентированным путём в графе Г из вершины P_i1в вершину P_ik наз.последовательность дуг

Длина ориентированного пусть – это чисто луг в нём, если оно конечно.

Определение Ориентированный граф называется сильно связным, если в нем любые два узла P_i,P_j соединены ориентированным путем конечной длины, начинающимся в P_i изаканчивающимся в P_j.

Теорема. Матрица тогдаитолько тогда неразложима, когда ориентированный граф Г(A) сильносвязный.

Следствие Матрица, у которой все элементы ненулевые, неразложима.

Теорема Ольги Тауски. Если для неразложимой матрицы А выполняются ослабленные условия Адамара и по крайней мере в одном из этих условий имеет строгого неравенства(>), то матрица А – невырожденная.

AE. Теорема. Пусть A,B∈. Если |A| ≤B, тоρ(A)≤ρ(|A|)≤ρ(B). Следствие. ПустьA, В∈. Если 0 ≤ A ≤ B, то ρ(A)≤ρ(B). Лемма. Пусть A∈ иA≥0. Если строчные суммы для А постоянны, то ρ(A)=||A||∞. Если для A постоянны. столбцовые суммы, то ρ(A)=||A||1. Теорема. Пусть A∈ и A≥0. Тогда Следствие. Пусть A∈, А≥0 и. Тогда. В частности, если А>0 или если А неразложима и неотрицательна. Теорема. Пусть A∈ и предположим, чтоА≥0. Тогда для любого положительного вектораxЄCnсправедливы неравенства: Следствие. Пусть A∈, x ∈Rn, и предположим, что A≥0 и x>0. Если числа α,β≥0 таковы, чтоαx≤Ax≤βx, то α≤ρ(A)≤β. Если αx<Ax, то α<ρ(A); если Ax<βx, то ρ(A) <β. Следствие 9.4. Пусть A∈ и A≥0. ЕслиA имеет положительный собственный вектор, то отвечающее ему собственное значение есть ρ(A). Другими словами, если Ax=λx, x>0 и A≥0, то λ=ρ(A)  

Теорема Перрона-Фробениуса

Теорема (Перрона— Фробениуса).

Пусть A ∈ неразложима и A ≥ 0. Тогда

а) ρ(A) > 0;

b) ρ(A) есть собственное значение матрицы A:

ρ(A) = ∈ σ(A);

с) для некоторого ∈ имеем > 0 и A = ρ(A) ;

d) ρ(A) есть алгебраически (а значит, и геометрически) простое собственное значение для A.

 

Теорема Фань-Цзы.

Теорема (Фань Цзы). Пусть A∈C ^n×n и B∈R ^n×n, B ≥ 0 и B ≥ |A|. Тогда любое собственное значение матрицыA принадлежит области

.

Доказательство. Будем считать, что B> 0. Если это не так, то можно рассматривать матрицу B _ε ≡ [b _ij + ε], где ε> 0. ПриэтомB _ε > |A| и ρ(B _ε) − (b _ii + ε) ρ(B) − b _ii.

По теореме Перрона длякакого-то положительного векто-раx имеем Bx = ρ(B)x. Рассматривая это равенство покомпонентно для ∀i = ⌐i, n, имеем

ρ(B)x _i = + + ⇒ ρ(B) - , (i = ⌐ 1,n)

Положив в (8.4)p _i = x _i, убеждаемся в (9.1).

 

Стохастические матрицы.

Определение. Неотрицательная матрица A ∈R ^n×n, для которой все строчные суммы равны +1, называется (строчной) стохастической матрицей.

Столбцовая стохастическая матрица — это матрица, транспонированная к строчной стохастической матрице.

Стохастическая матрица A ∈R ^n×n, для которой A ^T также является стохастической, называется двоякостохастической.

Теорема. Неотрицательная матрица A является стохастической тогда и только тогда, когда она имеет собственное значение 1 с правым собственным вектором e = .

Кроме того, спектральный радиус стохастической матрицы равен 1.

Теорема. Пусть A — неотрицательная матрица с максимальным собственным значением λ. Пусть существует положительный правый собственный вектор x, соответствующий λ. Положим X = diag {x₁,..., x_n}. Тогда

A = λXP X⁻¹, где P — стохастическая матрица.

Доказательство. Пусть P = λ ⁻¹ X ⁻¹ AX. Покажем, что P —стохастическая. Так как по определению собственного вектора и собственного значения Ax = λx, то , (i = ⌐1, n).По определению p_ij = λ⁻¹ a _ij x _i, и, следовательно , а значит, P — стохастическая.

Теорема (Биркгофа). Матрица A∈R ^n×n является двоякостохастической в том и только том случае, когда для некоторого N< ∞ существуют матрицы перестановокP ₁,..., P _N ∈R ^n×n и положительные числа α ₁,..., α _N ∈R, такие, что α ₁ +... + α _N = 1 и A = α ₁ P ₁ +... + α _N P _N.

Теорема. Если A ∈R ^n×n — неразложимая стохастическая матрица, то матрица A ^∞ = существует тогда и только тогда, когда A примитивна.

 

 

1. Функции от матриц.

2. Интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра

3. Скелетное разложение матрицы: лемма о ранге, лемма о существовании и неединственности скелетного разложения

4. Свойства компонент скелетного разложения A=BC: лемма о невырожденности В*В, СС*

5. Теорема о существовании псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза.

6. Теорема о единственности псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

7. Свойства псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

8. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений с использованием псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

9. Нормальное псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений.

10. Матричные уравнения AX = XB

11. Матричные уравнения AX = XA

12. Сопряженное пространство и его базис