Определение действительной функции одной действительной переменной

Действительная функция - функция, у которой как множество её определений, так и множество её значений являются некоторыми подмножествами множества действительных чисел.

Для каждого одного значения x, принадлежащему некоторому множеству по определенному закону ставится в соответствии единственное значение y из множества y; y=f(x).

 

3)Определение окрестности конечной точки, ∞,±∞

Окрестностью конечной точки а принадлежащей R называется любой интервал содержащий а

(a-e;a; a+e); e>0, e- окрестность т.а.

Окрестностью +∞ называется (e;+∞); e>0

Окрестностью -∞ называется (-∞;-e); e>0

Окрестностью ∞ называют объединение промежутков (-∞;-e) и (e;+∞); e>0.

 

Определение сходящейся последовательности

Последовательность называется сходящейся, если её предел равен конечному числу.

 

Определение бесконечно малого и бесконечно большого (БМ и ББ)

Последовательность называется бесконечно малым, если её предел равен 0

(обозначается буквами греческого алфавита (α,β,γ))

Последовательность называется бесконечно большой, если её предел модуля | | = +∞

= +∞

 

Определение эквивалентных БМ последовательностей

Если = 1, то α(x) и β(x) называются эквивалентными БМ при x и обозначается α(x) β(x).

 

Определение функции, непрерывной в точке

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и выполняется равенство:

С учетом необходимого и достаточного условия существования предела функции в точке получим:

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если приращение БМ аргумента соответствует БМ приращения функции, то есть при x 0 =

 

Определение производной функции в точке

Пусть функция y=y(x) определена в точке и некоторой её окрестности и приращение выбирается так, чтобы рассматриваемой окрестности.

Если существует , то его значение называется производной функции в точке и обозначается ), учитывая определение приращения аргумента и функции получим, что:

Функция называется дифференцируемой в точке , если существует и конечен.

 

Геометрический смысл производной

Уравнение касательной ; ;

Нормалью называется прямая, перпендикулярная касательной данной точке k данной прямой

Если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны равенством:

уравнение нормали:

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.