Оцінка випадкової помилки при прямих вимірюваннях.

До прямих вимірювань належать величини, що виробляються безпосередньо приладами.

Визначення помилки засобом середнього.

Нехай шукана величина х виміряна n разів в однакових умовах і при цьому отримано ряд близьких значень x_j.

Різні значення величин x_j отримались тому, що при її вимірюваннях були допущені випадкові помилки.

Завдяки статистичному характеру випадкових помилок найбільш близькими до істинного значення виміряної величини буде середнє арифметичне результатів всіх вимірювань:

. (1)

При цьому, чим більше буде зроблено вимірювань, тим ближче буде середнє арифметичне значення до істинного значення шуканої величини.

Так як істинне значення х вимірюваної величини в багатьох випадках невідомо, за цю величину приймають середнє арифметичне результатів окремих вимірювань х»х_ср.

За помилку окремих вимірювань приймається різниця між виміряними значеннями шуканої величини і їх середнім арифметичним:

Dx_j=x_j-x_ср. (2)

Сума помилок в цьому випадку повинна дорівнювати нулю (і якщо відмінна від нуля, то тільки з-за округлення середньоарифметичного значення). Тому за середню абсолютну помилку вимірювань приймається величина, що дорівнює середньоарифметичному із абсолютних величин окремих помилок вимірювань, тобто:

(3)

При такому обчислюванні абсолютної помилки ймовірність того, що істинне значення величини х буде лежати в межах x_ср±Dx(за теорією ймовірності) складе 64%, якщо число вимірювань менше чотирьох. При числі вимірювань, що дорівнює чотирьом, ймовірність такого співпадіння збільшиться до 90%, а при числі вимірювань, що дорівнює дев'яти – до 98%. Внаслідок цього, знання абсолютної помилки дозволяє вказати межи, в яких з визначеною ймовірністю лежить шукана величина. Результат можна записати

x=x_ср±Dx (4)

Згідно з теорією виходить, що абсолютна помилка визначається з малою точністю, тому значення абсолютної помилки D х треба записувати з однією значущою цифрою.

Середньоарифметичне значення шуканої величини x_ср треба округлити до того ж розряду, що й абсолютну помилку.

Відносна помилка.

Відношення абсолютної помилки вимірювання до середнього значення шуканої величини називається помилкою вимірювання Е, щозвичайно виражаєть­ся у відсотках:

(5)

Відносна помилка розраховується з двома значущими цифрами.

Приладна похибка.

З-за різних дефектів в виробленні приладів, а також з-за відхилення умов вимірювання від ідеальних, в вимірюваннях завжди спостерігається похибка, що притаманна даному приладу, що називається приладною похибкою. Приладна похибка вважається, як правило, однаковою на всій шкалі. Відносна помилка вимірювань буде тим менша, чим більша частина шкали приладу використовується для вимірювання.

1.3.1. Визначення приладної похибки за класом точності. Приведений клас точності – помножене на 100 відношення приладної похибки до межі вимірювання. Межа вимірювання вказується на клемах приладу або на перемикачі меж вимірювання. Клас точності – цілі і десяті долі, що розділені крапкою, – вказаний на циферблаті приладу (наприклад 0,5; 1,5 і таке інше), тобто:

звідси

Метод середнього.

Цей метод застосовується в тому випадку, коли вимірювання проводять в різних умовах. Наприклад, для визначення в'язкості рідини методом Стокса вимірюють діаметр dірізноманітних кульок і часу tіїх падіння в рідині; для визначення модулю Юнга вимірюють подовження дроту Dlіпри різноманітних вантажах (різноманітні маси m₁) і т.д. Неправильно брати середнє з діаметрів кульок і часу їх падіння, так як різноманітність зумовлена не стільки випадковими помилками, скільки фактичною різноманітністю кульок у вазі.

В цьому випадку у вихідній формулі (6) для визначення А необхідно виділити таку комбінацію змінюючихся величин х, у, яка повинна бути постійною на протязі всіх дослідів. Позначивши постійну величину через B, знаходять її середнє значення B_ср і помилку DB аналогічно методу середнього для прямих вимірів(см. пункт 1.1). Остаточно величина А та її помилка D А знаходяться методом частинного диференціювання або методом диференціювання натурального логарифма функції із врахуванням помилок вимірювання та заокруглення інших величин.

Зауваження.

1. 1. Якщо шукана величина А дорівнює сумі або різниці вимірюваних величин А = х ± у, то, виконавши частинне диференціюван­ня, знаходимо, що помилка шуканої величини дорівнює сумі абсолют­них помилок вимірюваних величин, тобто:

DА=Dх+Dу.

В цьому випадку вимірювання х та у треба виконувати з однаковою абсолютною похибкою D х»D у і всі три величини заокруглити до однакового розряду.

2. 2. Якщо шукана величина А дорівнює добутку або частці від виміряних величин, то відносна помилка А дорівнює сумі відносних помилок виміряних величин:

В цьому випадку вимірювання всіх величин слід виробляти з однаковою відносною помилкою і з однаковою кількістю значущих цифр.

3. 3. Аналіз формул (8)-(11) дозволяє організувати експеримент найбільш раціональним образом. Припустимо, вимірювання якої-небудь величини у, виконане з помилкою D у, дає найбільший доданок ×D у виразі помилки D А.

Звісно, треба намагатись зменшити саме цей доданок, застосувавши для вимірювання у більш точніші прилади. Якщо збільшити точність вимірювання у не вдається, то вимірювання інших величин x, y, z,і т.д. треба, якщо можливо, виконувати такими приладами, щоб відповідні доданки були на порядок (в 2-5 разів) менше максимального доданку.

Недоцільно надмірно збільшувати точність вимірювання величин x, y, z; випадкова помилка вимірювання DА повинна бути того ж порядку, що і систематична помилка вимірювання DАсист.

Наприклад, необхідно визначити об'єм прямокутної пластини V,

V = a×b×c,

де а – довжина, в – ширина, с – товщина пластини.

Формула (10) в цьому випадку має вигляд .

Припустимо, нам потрібно виміряти об'єм з точністю до 1%. Тобто, кожне вимірювання повинно бути проведено з відносною помилкою Е= 0.3%. Для вимірювання пластини шириною b» 21мм необхідно забезпечити помилку вимірювання Db= 21мм×0.003= 0.06мм, тобто, для цієї мети придатний штангенциркуль, точність якого 0.05мм. Товщина пластини с»3мм і Dс=3мм*0.003=0.009мм повинна бути виміряна мікрометром, який забезпечує точність 0.005мм. І, оскільки а»200мм, Dа=200*0.003=0.6мм, виміряти а можна звичайною лінійкою. Після проведення вимірювань всі ці оцінки помилок уточнюються згідно п.1.4. і визначається DV згідно п.2.2.