Теоремы сложения скоростей и ускорений

Теорема сложения скоростей

Для установления зависимостей между абсолютными, относительными и переносными скоростями и ускорениями точки будем предполагать, что подвижная система отсчета Ax_ry_rz_r движется поступательно вместе с полюсом А, и совершает вращение вокруг мгновенной оси АР с угловой скоростью ω _е и угловым ускорением ε _е переносного движения (рис. 2.26).

Рис.2.26

 

Движение точки М относительно системы Ax_ry_rz_r задано с помощью радиус-вектора , а относительно неподвижной системы отсчета – с помощью радиус-вектора . Движение начала подвижной системы отсчета А относительно неподвижной системы Oxyzопределяетс я радиус-вектором . Очевидно:

 

.

(2.73)

 

Запишем:

,

(2.74)

где - орты подвижных осей координат.

Продифференцируем соотношение (2.73) с учетом (2.74) по времени:

 

.

(2.75)

В соответствии с определением скорости, – абсолютная скорость точки М; – скорость начала (т. А) подвижных координат или скорость точки Мпри переносном поступательном движении, - относительная скорость точки М.

Производные по времени от вращающихся геометрических векторов постоянной длины есть скорости движения их концов, которые определяются в соответствии с формулой (2.51):

.

(2.76)

Таким образом, второе слагаемое в правой части (2.75) приобретет вид: - это скорость точки Мпри переносном вращательном движении с угловой скоростью ω _е. Тогда выражение (2.75) можно записать в виде:

 

.

(2.77)

 

В последней форме записи (2.77) поступательные и вращательные скорости переносного движения объединены в соответствии с (2.70) в общую скорость .

Итак, сформулируем теорему сложения скоростей (2.77): вектор абсолютной скорости точки при сложном движении равен геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей.

Теорема сложения ускорений

Если продифференцировать по времени полученное уравнение (2.77), то можно получить выражение, связывающее ускорения в неподвижной и подвижной системах отсчета. Оно носит название теорема о сложении скоростей, или теорема Кориолиса. Опустив необходимые преобразования, сформулируем ее в окончательном виде:

 

.

(2.78)

 

Абсолютное ускорение точки при сложном движении является векторной суммой трех ускорений – переносного, относительного и ускорения Кориолиса.

 

В формулировке теоремы обозначены:

· - вектор абсолютного ускорения;

· - вектор переносного ускорения, имеющий поступательную , вращательную и осестремительную составляющие, в соответствии с (2.72);

· - вектор относительного ускорения, который в соответствии с (2.20), (2.21) и (2.27) можно расписать в декартовых и естественных осях подвижной системы координат;

· - т.н. «поворотное» ускорение, названного в честь французского механика Густава Гаспара Кориолиса (1792 – 1843 г.г.), рис.2.27.

Рис.2.27

Ускорение Кориолиса определяется по следующей формуле:

 

.

(2.79)

Ускорение Кориолиса есть удвоенное векторное произведение вектора угловой скорости переносного движения на вектор относительной скорости.

Как видно из определяющей формулы (2.79), вектор ускорения Кориолиса зависит как от угловой скорости переносного движения, так и от относительной скорости точки. Его величина определяется выражением:

 

.

(2.80)

 

Из формулы следует, что это ускорение будет отсутствовать при = 0, = 0, илипараллельности векторов и ‌ .

 

Рис.2.28

Направление вектора ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения (рис. 2.28).

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

1. Что такое абсолютные, относительные и переносные движения, скорости и ускорения точки?

2. Сформулируйте теоремы о сложении скоростей и ускорений при сложном движении точки.

3. Как определить направление и величину ускорения Кориолиса?